邢洪明 高翔

[摘 要]單導(dǎo)體棒在雙軌上滑動(dòng)問題涉及電磁感應(yīng)、歐姆定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)等知識(shí)，學(xué)生對(duì)這類問題進(jìn)行分析解答時(shí)常感到難以下手。由于這類問題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，且分析難度大，在實(shí)際教學(xué)中，教師也常易出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象。為了便于教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)，本文對(duì)單導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行分類分析。

[關(guān)鍵詞]有源回路 無源回路 力和運(yùn)動(dòng) 功能轉(zhuǎn)換

單導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，若回路閉合，則產(chǎn)生感應(yīng)電流。導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，因受安培力作用而使導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，同時(shí)產(chǎn)生不同形式的功和能之間的轉(zhuǎn)換。從能量轉(zhuǎn)化角度看，一是將其他形式的能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的機(jī)械能和閉合回路的焦耳熱，二是消耗導(dǎo)體棒的機(jī)械能，轉(zhuǎn)為閉合回路的焦耳熱。

安培力與磁場(chǎng)強(qiáng)度、電流強(qiáng)度、導(dǎo)體棒的有效切割長(zhǎng)度有關(guān)。導(dǎo)體棒切割運(yùn)動(dòng)速度影響通過導(dǎo)體的電流，進(jìn)而影響導(dǎo)體棒所受的安培力。但反過來導(dǎo)體棒所受的合外力又影響導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度，在這樣的相互制約的作用下，導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)趨向一種相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析清楚這一變化過程，這樣能有效提高學(xué)生的分析能力和解決實(shí)際問題的能力。導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題可分為導(dǎo)體棒所在回路有源和無源兩類，本文從以下幾方面作些分析探討。

一、有源和無源回路對(duì)比分析

依據(jù)導(dǎo)體棒受力情況來分，我們可將導(dǎo)體棒在雙軌上的運(yùn)動(dòng)問題分為導(dǎo)體棒受外力和不受外力作用兩種情況。

二、實(shí)例分析

1.有源和無源回路中導(dǎo)體棒受外力作用對(duì)比分析

【例1】 如圖1所示，甲圖中的電容器C原來不帶電，除電阻外，其余導(dǎo)體的電阻均不計(jì)，光滑且足夠長(zhǎng)的導(dǎo)軌水平放置，現(xiàn)給導(dǎo)體棒ab水平向右的初速度v，則甲、乙、丙三種情形下，ab棒最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是（ ? ）。

圖1

A.三種情形下導(dǎo)體棒ab最終均做勻速運(yùn)動(dòng)

B.甲、丙中導(dǎo)體棒ab最終將以不同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，乙中導(dǎo)體棒ab最終靜止

C.甲、丙中導(dǎo)體棒ab最終將以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，乙中導(dǎo)體棒ab最終靜止

D.三種情形下導(dǎo)體棒ab最終均靜止

【認(rèn)知困惑點(diǎn)分析】

1.三幅圖中導(dǎo)體棒均因平動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，而消耗導(dǎo)體棒的機(jī)械能，消耗的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能。認(rèn)知困惑點(diǎn)是如何判定圖丙中感生電動(dòng)勢(shì)和原電源提供電壓的疊加關(guān)系。

2.圖甲是含容電路，電容器兩極板之間的絕緣電介質(zhì)使電路處于斷路，但由于導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度變化使平動(dòng)切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)不斷改變，實(shí)現(xiàn)對(duì)電容器充電或者放電，形成了充電或者放電電流，電路好像處于“閉合”狀態(tài)。判斷甲圖中是否有電流是此問題的難點(diǎn)。

3.導(dǎo)體棒趨向穩(wěn)態(tài)過程中消耗的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為何種形式的能是求解本題的關(guān)鍵，也是對(duì)比分析純電阻電路和含容電路的重點(diǎn)。

[基金項(xiàng)目] 本文系山東省教學(xué)研究十二五重點(diǎn)課題《關(guān)于“標(biāo)準(zhǔn)”和認(rèn)知心理下的有效構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計(jì)研究》（課題編號(hào)：zd20130085）階段性成果。 ? ?解析：圖甲中ab棒以速度v向右運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=BLv，由右手定則判斷Ua>Ub。對(duì)電容器充電形成了充電電流i=Δq/Δt，金屬棒受到向左的安培力F安=BLΔq/Δt作用，而做減速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv隨速度減小而減小，當(dāng)導(dǎo)體棒產(chǎn)生 的感生電動(dòng)勢(shì)與電容的充電電壓相等時(shí)，電路中沒有電流，導(dǎo)體棒也不再受安培力作用，此時(shí)，導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，終態(tài)時(shí)v從功能角度看 ：充電電流流經(jīng)閉合回路，使導(dǎo)體棒受安培力作用，消耗的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電容器儲(chǔ)存的電能和充電電流流經(jīng)閉合回路時(shí)產(chǎn)生的焦耳熱。

圖乙中，ab棒向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=BLv，Ua>Ub。閉合回路產(chǎn)生感應(yīng)電流I=BLvR+r，導(dǎo)體棒受安培力F安=B2L2vR+r作用，做加速度減小，速度減小的變減速運(yùn)動(dòng)，最終停下來。從功能角度講是消耗的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為閉合回路的焦耳熱。

圖丙中，涉及外電源供電和導(dǎo)體棒平動(dòng)切割產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)。因?qū)w棒向左或向右運(yùn)動(dòng)的差異而出現(xiàn)正向和反向電動(dòng)勢(shì)。對(duì)于圖示中的向右運(yùn)動(dòng)，E總=E外+BLv，導(dǎo)體棒受向后的 F安=BLE+BLvR+r 作用，而做減速運(yùn)動(dòng)，直至停下來。在這一過程中消耗的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為閉合回路焦耳熱的一部分（還有電源提供的電能轉(zhuǎn)化為另一部分焦耳熱）。電源向外電路供電，導(dǎo)體棒又開始向左做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)外部電源提供的電壓U路=RR+rE 和加速后平動(dòng)切割產(chǎn)生的反電動(dòng)勢(shì)E′=BLv相等時(shí)，導(dǎo)體棒以v=RBL（R+r）E做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以答案選B。

2.無源回路中導(dǎo)體棒受外力作用問題分析

無源回路中導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上受外力作用，做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，若回路閉合，則有感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒受F安作用，從而改變導(dǎo)體棒的加速度，關(guān)聯(lián)性制約使得導(dǎo)體棒最終趨向穩(wěn)定的狀態(tài)，通過外力做功使得外部其他形式的能量發(fā)生轉(zhuǎn)化。

圖2 【例2】 如圖2所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

【認(rèn)知困惑點(diǎn)分析】

1.電容器在電路中“隔直流通交流”，無法組成穩(wěn)恒直流通路，所以不少學(xué)生認(rèn)為導(dǎo)體棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)，“有勢(shì)無流”，故導(dǎo)體棒不受F安作用，只有重力做功，誤認(rèn)為沿光滑軌道做a=gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

2.沒有認(rèn)清導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)切割產(chǎn)生變化的電動(dòng)勢(shì)對(duì)電容器持續(xù)性充電，形成充電電流這一事實(shí)，誤將直流電路中I=E/R的計(jì)算認(rèn)定為唯一計(jì)算電流的方式，缺少了i=Δq/Δt，致使表征F安時(shí)依然用直流電路電流來表征，錯(cuò)誤使用F安=B2L2vR+r 計(jì)算，結(jié)果造成了無法找到電阻R，而出現(xiàn)求解困難。

3.導(dǎo)體棒趨向穩(wěn)態(tài)過程中消耗的機(jī)械能向何種形式的能轉(zhuǎn)化，是求解本題的關(guān)鍵，也是對(duì)比分析純電阻電路和含容電路的要點(diǎn)。從本題解析可以看出，導(dǎo)體棒下滑過程中減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能、電容器儲(chǔ)存的電能和電流產(chǎn)生的焦耳熱。

解析：導(dǎo)體棒PQ在重力作用下沿光滑導(dǎo)軌下滑，切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，由右手定則判定可知UQ>UP，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)全部加在電容器兩極板上U=E=BLv。

∵C=qU=qBLv，∴q=CBLv

對(duì)電容器充電形成充電電流：i=Δq/Δt=CBLv/t

分析導(dǎo)體棒受力可得：mgsinθ-B2L2Ctv-μmgcosθ=mv/t

解得：v=mg（sinθ-μcosθ）m+B2L2Ct

含容電路中因?qū)w棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化的電動(dòng)勢(shì)，對(duì)電容器持續(xù)充電形成充電電流，當(dāng)充電電流流經(jīng)閉合回路時(shí)，導(dǎo)體棒受安培力作用而做負(fù)功，這一部分能量轉(zhuǎn)化為電阻的焦耳熱。對(duì)電容器充電使得電容器儲(chǔ)存的電能不斷增加，因此導(dǎo)體棒減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電路的焦耳熱和電容器儲(chǔ)存的電能。

【引申探究】如果在電容器兩端并聯(lián)一個(gè)電阻，電路將成為直流通路和含容電路的充電通路，這也因此使得導(dǎo)體棒減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為閉合回路的焦耳熱和電容器的電能，這兩種形式能量轉(zhuǎn)化是通過克服安培力做功來實(shí)現(xiàn)的。

圖3 【例3】 如圖3所示，在光滑裸導(dǎo)軌的左端接一定值電阻R，在R的右端并聯(lián)一個(gè)電容為C的電容器，導(dǎo)體棒ab在恒力F的作用下向右勻速運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，試判定該導(dǎo)體棒克服安培力所做的功能否等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱？

解析：導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生恒 定的電動(dòng)勢(shì)，在由定

值電阻組成的閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=BLv/R， 電流通過電阻時(shí)，電流所做的功為Q=I2Rt。

感生電動(dòng)勢(shì)加在電容器兩端，電容器充電后儲(chǔ)存的電場(chǎng)能EC=12CU2=12qU。

導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)=F安=B2L2v/R ，在勻速運(yùn)動(dòng)的過程中流經(jīng)導(dǎo)體棒的電流為I=BLv/R，在電容器充電階段，導(dǎo)體棒中的電流為iab=（E/R）+i充電，從能量守恒角度講WF=ΔQ+ΔEC。