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        處理二元變量最值的方法探析

        2015-05-30 19:22:06宣進(jìn)
        關(guān)鍵詞:最值分析

        宣進(jìn)

        [摘 要]求二元變量最值或范圍的題型幾乎每年都出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試卷里,而我們的考生在這一題型中失分是非常多的.從理論和實(shí)際兩個(gè)角度闡述和分析高中階段出現(xiàn)的二元變量的處理方法,以鍛煉學(xué)生的綜合能力.

        [關(guān)鍵詞]二元變量 最值 分析

        一、本質(zhì)分析

        所謂二元變量,就是多了一個(gè)字母,其他和高中教材給的一元函數(shù)定義完全相同,所以如何突破“兩個(gè)字母”也就成為我們教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).大多題目都給定了兩個(gè)變量滿足的條件,這里的條件往往是等式和不等式,或代數(shù)變形為等式和不等式,即x、y有一定的內(nèi)在聯(lián)系,它們相互制約,并非完全獨(dú)立.下面通過介紹一道題目的五種不同的處理方法及其內(nèi)在本質(zhì).

        二、五種處理方法

        題目:已知x,y∈R+,1x+9y=1 ,求x+y的最小值.

        1.消元法.由1x+9x=1 ,得y=9xx-1>0,故x>1.

        所以z=f(x,y)=g(x)=x+9xx-1=x-1+9x-1+10≥16 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí),等號(hào)成立,

        所以x+y的最小值為16.

        評(píng)析:此法就是將條件等式消元為一元函數(shù)g(x)來進(jìn)行處理,解決了“兩個(gè)字母”的困惑.

        2.基本不等式法.x+y=(x+y)(1x+9y)=10+9xy+yx≥16 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí),等號(hào)成立,

        所以x+y的最小值為16.

        評(píng)析:此法比較簡(jiǎn)潔,但其本質(zhì)還是把“兩個(gè)字母”處理成“一個(gè)字母”,即化為一元函數(shù)來處理,只是代數(shù)變形不同而已,因?yàn)閤+y=f(t)=t+9t+10 ,t=yx>0 .若x、y范圍的改變使基本不等式取不到等號(hào)時(shí),則可用消元法,利用一元函數(shù)圖像來解決最值問題.

        上面兩種方法在高考題中有時(shí)會(huì)綜合起來用,如2008年江蘇卷11題和2014年江蘇卷14題,這兩道題都是利用條件等式把三元消為二元,然后代數(shù)同除形成“ba+ab”型,換元后即為一元函數(shù),或直接用基本不等式求解,讀者可據(jù)此自行分析.

        3.線性規(guī)劃法.由1x+ 9y=1,得y=9xx-1=9x-1+9=f(x),x>1 ,

        令z=x+y,則y=-x+z=g(x),在平面直角坐標(biāo)系中作出y=f(x)的圖像如右圖, 目標(biāo)函數(shù)y=g(x)平移到切點(diǎn)A(x0,f(x0))時(shí),z取最小值,

        由f′(x0)=-9(x0-1)2=-1 ,得x0=4或x0=-2(舍去),

        將x0=4代入切點(diǎn)f(x0),得A(4,12),故z=x+y的最小值為16.

        評(píng)析:此法本質(zhì)還是化為一元函數(shù)來處理.利用兩個(gè)一元函數(shù)的圖像(其圖像是曲線,而不是二元函數(shù)的曲面) 有交點(diǎn),平移使得直線截距z最小,從而在切點(diǎn)處取得.這是一個(gè)代數(shù)到幾何的過程.這種方法也適用于條件是不等式的題型,如2013年江蘇卷9題和2012年江蘇卷14題,當(dāng)然,后題在線性規(guī)劃前還是要用到上面所提到的同除的代數(shù)方法把三元變二元,讀者可自行分析.

        4.三角換元法.令 1xcos2θ

        9x=sin2θ ,則 x=1cos2θ

        y=9sin2θ ,

        故x+y=1cos2θ+ 9sin2θ= sin2θ+9cos2θsin2θcos2θ= 1+8cos2θ 14sin2θ = 4(5+4cos2θ)1-cos22θ ,

        令t=5+4cos2θ,t∈[1,9],x+y=f(t)= 64-t-9t +10 ,故當(dāng)t=3,即x=4,y=12時(shí),fmin(t)=16,

        所以當(dāng)x=4,y=12時(shí),x+y的最小值為16.

        評(píng)析:此法本質(zhì)也是化為一元函數(shù)處理,利用條件等式和三角函數(shù)的平方關(guān)系化x+y=φ(θ),換元后為x+y=f(t).當(dāng)然了,就本題而言,不必要采取這樣的代數(shù)變形,但其過程呈現(xiàn)了給定條件下二元變量的處理方法的本質(zhì),就是化為一元變量來處理.若對(duì)“已知x2+y2=1,求x+y的最小值”這一類而言,此種方法就體現(xiàn)得很有力了,相反,消元法就顯很麻煩.也就是說,三角換元是針對(duì)所給的條件不同而采取的一種特殊的消元法.

        5.“Δ”法.令k=x+y,則關(guān)于x,y的方程組 1x+9y=1

        k=x+y 有解,

        整理得關(guān)于x的一元二次方程x2+(8-k)x+k=0 有解,

        則Δ=k2-20k+64≥0,解得:k≥16或k≤4,又x,y∈R+,1x+9y=1, 得y=9x-1+9>9,

        所以k≥16,即x+y的最小值為16.

        評(píng)析:此法是由線性規(guī)劃變化而來,幾何上的曲線1x+9y=1 與曲線k=x+y有交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組有解,從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解,這就可用Δ列出不等式,進(jìn)而求解.這一過程也就是代數(shù)最值問題到幾何交點(diǎn)問題,再到代數(shù)方程有解問題之間“數(shù)——形——數(shù)”的轉(zhuǎn)化,但其本質(zhì)還是化歸為一元函數(shù)來處理,只不過要具備函數(shù)與方程思想:把兩個(gè)一次曲線交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題.任何給定條件的二元變量最值問題若能轉(zhuǎn)化為一元二次方程,都適用此法.如“已知x2+xy+y2=1,求2x+y的最小值”,若用消元法,不太好用x表示y,即無法消元;若用基本不等式法,學(xué)生拼湊基本不等式很困難;若用線性規(guī)劃法,多數(shù)高中生畫不出曲線x2+xy+y2=1的圖像;若用三角換元法,無法利用代數(shù)變形得到(x+y2 )2+(3y2)2=1,也不好實(shí)現(xiàn)三角換元,所以此法有時(shí)可看成是“萬能”的.

        從上述五種不同方法我們不難看出,處理高中階段給定條件的二元變量最值問題的關(guān)鍵是能否將其有效地轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來處理,這就要求學(xué)生具備一定的代數(shù)變形能力,具備消元、換元思想,具備從函數(shù)與方程這兩個(gè)不同角度看待同一個(gè)代數(shù)等式的能力,具備從數(shù)到形、從形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想.所以,有效地處理好這類二元變量最值問題能很好地鍛煉學(xué)生的綜合能力,從而解決更多的數(shù)學(xué)問題.

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