汪志強(qiáng)

[摘 要]眾所周知，兩點(diǎn)能確定一條直線(xiàn)，但在幾何中特定情況下，也有一點(diǎn)“確定”的直線(xiàn).基于此，對(duì)二次曲線(xiàn)切線(xiàn)和切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程進(jìn)行推廣與研究.

[關(guān)鍵詞]定點(diǎn) 推廣 研究

眾所周知，幾何上有兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn).但在幾何中，特定情況下的確也有由一點(diǎn)“確定”的直線(xiàn).比如，給定點(diǎn)P（x0，y0），對(duì)于圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)來(lái)說(shuō)，若點(diǎn)P在其曲線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P只有一條切線(xiàn);若點(diǎn)P在其曲線(xiàn)外，可作兩條切線(xiàn)，但兩個(gè)切點(diǎn)所在的直線(xiàn)是唯一的.（兩個(gè)切點(diǎn)所在的直線(xiàn)，以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“切點(diǎn)弦直線(xiàn)”）

一、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)

對(duì)于已知定點(diǎn)P（x0，y0）和圓的方程，易得到以下兩結(jié)論.

結(jié)論1 已知圓C的方程為x2+y2=r2，圓C上點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于圓C的切線(xiàn)方程為：x0x+y0y=r2.

結(jié)論2 已知圓C的方程為x2+y2=r2，圓C外點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于圓C的切點(diǎn)弦所在的直線(xiàn)方程為：x0x+y0y=r2.

從上面的兩個(gè)結(jié)論來(lái)看，至少有兩個(gè)問(wèn)題值得注意：一是兩條直線(xiàn)所表示的意義不同，但是直線(xiàn)方程完全一樣，只跟點(diǎn)P（x0，y0）的坐標(biāo)有關(guān);二是直線(xiàn)方程的結(jié)果與原來(lái)圓的方程結(jié)構(gòu)相同，只是變量x和y的二次項(xiàng)中，分別把其中的一個(gè)x和y用點(diǎn)P的坐標(biāo)x0和y0代替.

推廣1：已知圓C的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于圓C的切線(xiàn)（或切點(diǎn)弦）直線(xiàn)方程為：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

二、推廣與研究

1.過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)橢圓的切線(xiàn)和切點(diǎn)弦直線(xiàn)方程

結(jié)論3 已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1 ，橢圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的切線(xiàn)（或切點(diǎn)線(xiàn)直線(xiàn)）方程為：x0xa2+ y0yb2=1 .

推廣2：已知橢圓C的方程為（x-m）2a2+ （y-n）2b2=1 ，橢圓C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0） ，則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于橢圓C的切線(xiàn)（或切點(diǎn)弦）直線(xiàn)方程為：

（x0-m）（x-m）a2 +（y0-n）（y-n）b2=1 .

2.過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)和切點(diǎn)弦直線(xiàn)方程

結(jié)論4 已知雙曲線(xiàn)C的方程為x2a2-y2b2=1 ，雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于雙曲線(xiàn)C的切線(xiàn)方程為：x0xa2-y0yb2=1 .

結(jié)論5 已知雙曲線(xiàn)C的方程為x2a2-y2b2=1 ，雙曲線(xiàn)C外一點(diǎn)P（x0，y0）（不在其漸近線(xiàn)上），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于雙曲線(xiàn)C的切點(diǎn)弦直線(xiàn)方程為：x0xa2-y0yb2=1 .

3.過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0）有關(guān)拋物線(xiàn)的切線(xiàn)和切點(diǎn)弦直線(xiàn)方程

對(duì)于拋物線(xiàn)的方程x2=2py，其中2py=py+py，自然想到x·x=py+py.

結(jié)論6 已知拋物線(xiàn)C的方程為x2=2py（p≠0），拋物線(xiàn)C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)（或切點(diǎn)弦直線(xiàn)）方程為：x0x=p（y+y0）.

引申：已知拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px（p≠0），拋物線(xiàn)C上（或外）一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P關(guān)于拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)（或切點(diǎn)弦）直線(xiàn)方程為：y0y=p（x+x0）.

三、應(yīng)用與思考

【案例】 （2013·山廣東高考）過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的切點(diǎn)分別為A、B，則直線(xiàn)AB的方程為（ ?）.

A.2x+y-3=0 ? ?B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

由結(jié)論2知，直線(xiàn)AB的方程為（3-1）（x-1）+1·y=1，化解得2x+y-3=0，故選A.因此，案例說(shuō)明上面的研究結(jié)果是很有價(jià)值的.但是值得注意的是： （1）上面研究的結(jié)論條件是點(diǎn)P（x0，y0）必須在曲線(xiàn)上或其外側(cè); （2）曲線(xiàn)只能是二次方程的曲線(xiàn); （3）定點(diǎn)P（x0，y0）對(duì)于一般的二次方程的曲線(xiàn)C：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0 都有同樣的結(jié)果嗎？

據(jù)前面研究結(jié)果的規(guī)律，上面方程主要考慮2Cxy這一項(xiàng)如何處理，由于結(jié)果是直線(xiàn)方程，故可能是C（x0y+xy0）.

猜想推論：若定點(diǎn)P（x0，y0）在二次曲線(xiàn)M：Ax2+By2+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0上（或其外側(cè)），則點(diǎn)P關(guān)于曲線(xiàn)M的切線(xiàn)（或切點(diǎn)弦）直線(xiàn)方程為：Ax0x+By0y+C（x0y+xy0）+D（x0+x）+E（y0+y）+F=0.