耿恒考

一 知識(shí)要點(diǎn)

1.數(shù)據(jù)的代表

（1）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商，稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（3）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，

注意，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，從各自的角度呈現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的“平均水平”.平均數(shù)能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息，是這組數(shù)據(jù)的一個(gè)“重心”，在生活中較為常用.但它容易受極端數(shù)據(jù)的影響，而且計(jì)算較繁.中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端數(shù)據(jù)的影響較小，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息.眾數(shù)的可靠性相對(duì)較差（有時(shí)不唯一），也不能利用所有的數(shù)據(jù)信息，它不受極端數(shù)據(jù)的影響，求法最簡(jiǎn)便.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，宜選擇眾數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”.

2.數(shù)據(jù)的波動(dòng)

（l）極差：用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差，稱為這組數(shù)據(jù)的極差.

（2）方差：在一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差.

若用表示數(shù)據(jù)的方差，用x表示這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則：

注意，極差只能反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍，難以體現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)相比的波動(dòng)情況.方差反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)間的離散程度，能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息.方差越大，數(shù)據(jù)組的波動(dòng)就越大.

二 解題技巧

1.在計(jì)算平均數(shù)時(shí)：

（1）如果n個(gè)數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)都比較大，而且都接近某個(gè)數(shù)a，我們可以將各個(gè)數(shù)都減去a，先算出所得差的平均數(shù)x，再求得x=x+a.這樣可以大幅減少計(jì)算量，提高解題的正確率.

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有許多數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，使用加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算會(huì)更簡(jiǎn)便.

2.在計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要關(guān)注數(shù)據(jù)信息的呈現(xiàn)方式.不管是表格還是統(tǒng)計(jì)圖，都要先將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行排序（由小到大或由大到小）.

3.如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差仍是數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是

三 思想方法

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想是用樣本去估計(jì)總體，在研究問題時(shí)，往往先從總體中隨機(jī)抽取大小合適的樣本，然后通過對(duì)所抽取的樣本進(jìn)行計(jì)算和分析，進(jìn)而對(duì)總體的相應(yīng)情況作出推斷.

四 易錯(cuò)題解析

例1 如果一組數(shù)據(jù)8，8，x，6的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求x的值.

解析：解這類題的錯(cuò)誤常在于對(duì)數(shù)x的考慮不全面.數(shù)x是一個(gè)多大的數(shù)，要分類討論：

（l）當(dāng)x≤6時(shí)，數(shù)據(jù)排序?yàn)閤，6，8，8.此時(shí)中位數(shù)是7，而平均數(shù)為，則，得x=6.

（2）當(dāng)6（3）當(dāng)x≥8時(shí)，數(shù)據(jù)排序?yàn)?，8，8，x，此時(shí)中位數(shù)是8，而平均數(shù)為，得x=10.

綜上，x的值為6或10.

例2 如果一組數(shù)據(jù)6，8，10，x的眾數(shù)與平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

題中給出的已知數(shù)據(jù)有6，8和10，因此眾數(shù)可能是6，8或10.

所以的值可能等于6，8或10，須分三種情況考慮，代入可知，唯當(dāng)眾數(shù)為8時(shí)，眾數(shù)與平均數(shù)相等.故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8.

五 典型題賞析

1.平均數(shù)的應(yīng)用

例3 某單位要從內(nèi)部選拔高管一名，為此對(duì)甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了筆試和面試兩項(xiàng)測(cè)試，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)绫?所示，

根據(jù)錄用程序，該單位組織200名職工對(duì)這三人用投票推薦的方式進(jìn)行民主評(píng)議，三人的得票率（沒有棄權(quán)票，每位職工只能推薦1人）如圖1所示，每得一票記作1分.

（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)確定錄用人選，那么誰將被錄用？

（2）根據(jù)實(shí)際需要，單位將筆試、面試、民主評(píng)議三項(xiàng)測(cè)試的得分按4：3：3的比例確定個(gè)人的成績(jī).那么，誰將被錄用？

解析：（1）首先算出三人的民主評(píng)議得分依次為50分，80分，70分，再求出甲、乙、丙三人的平均成績(jī)分別為72.7分，76.7分，76分.因此乙將被錄用.

（2）利用加權(quán)平均數(shù)公式可求得每個(gè)人的成績(jī)分別為72.9分，77分，77.4分，因此丙將被錄用.

感悟：要根據(jù)問題的特點(diǎn)靈活選用平均數(shù)的計(jì)算公式，以盡可能地使計(jì)算簡(jiǎn)便.

2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用

例4 某校信息技術(shù)競(jìng)賽小組20名同學(xué)一次競(jìng)賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）若成績(jī)的平均分為73分，求x，y的值.

（2）在（1）的條件下，設(shè)此競(jìng)賽小組20名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)為a.中位數(shù)為b，求a-b的值.

解析：由表中信息可知，兩個(gè)未知數(shù)x，y滿足x+y=13.再利用平均分x=73，可以得到關(guān)于x，y的另一個(gè)二元一次方程.由此可以通過解方程組得出x=5，y=8.根據(jù)以上結(jié)果，可以得出a=80，b=75，便知a-b=5.

3.方差的應(yīng)用

例5 甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，各次的打靶成績(jī)情況如圖2所示.

（1）清填寫上面的表格.

（2）請(qǐng)從不同的角度評(píng)價(jià)甲、乙兩人的打靶成績(jī)，

解析：（1）由折線圖提供的信息可知，甲、乙兩人的10次成績(jī)分別為：甲9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.從而可知甲、乙成績(jī)的平均數(shù)都是7；中位數(shù)分別是7，7.5；方差分別是1.2，5.4；命中9環(huán)及以上的次數(shù)分別為1，3.

（2）①從平均數(shù)和方差結(jié)合看，由于平均數(shù)相同，但，因此甲比乙的成績(jī)更穩(wěn)定些；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合看，平均數(shù)相同，但乙的中位數(shù)高，因此乙的成績(jī)好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上的次數(shù)結(jié)合看，平均數(shù)相同，而乙命中9環(huán)及以上的次數(shù)比甲多，故乙比甲的成績(jī)要好些；④從折線圖的走勢(shì)上看，甲一直在7環(huán)附近波動(dòng)，沒有什么起色，而乙從第5次開始成績(jī)一直在上升，而且越來越好，故乙的潛力大.

感悟：在平均數(shù)相同的情況下，看穩(wěn)定性就是比較方差的大小.