周笑春

高中物理新教材中有多處涉及微元極限的思想和用微元法解題的知識(shí)，微元法，就是將研究對(duì)象（物體或物理過程）進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，從其中選取某一微小單元（稱為“微元”， 通常選取時(shí)間微元、空間微元）進(jìn)行分析和討論，從而找出研究對(duì)象變化規(guī)律的一種解題方法。

在使用微元法處理問題時(shí)，需將研究過程分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”遵循的規(guī)律，然后再將其進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法（累加求和）或物理思想的處理，就可以使問題得以解決。

一、用取微元極限方法研究變化的物理過程中的瞬時(shí)狀態(tài)

例如：瞬時(shí)速度的定義，平均速度（v=—）只能粗略地描述物體運(yùn)動(dòng)快慢，要準(zhǔn)確地描述物體運(yùn)動(dòng)快慢，可以把Δt取得小一些。物體在從t到t+Δt這樣一個(gè)非常小的時(shí)間間隔內(nèi)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就非常小，Δt越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確。如果Δt非常非常小，即（Δt→0），就可以認(rèn)為這非常小時(shí)間內(nèi)的平均速度表示的是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度。

又例如瞬時(shí)加速度的定義，加速度（a=—）表示的一段時(shí)間內(nèi)的平均加速度，當(dāng)Δt非常?。é→0），—表示的就可以看成是時(shí)刻t的瞬時(shí)加速度。

這兩種情況都是用變化率來(lái)描述物理量的變化快慢，用物體在某一時(shí)刻之后極短時(shí)間內(nèi)的變化率來(lái)描述物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)狀態(tài)，這里的“Δt”非常小，實(shí)際上就滲入了時(shí)間微元的理念。Δt→0是用極限思想來(lái)描述變化的物理過程中的瞬時(shí)狀態(tài)。

二、用取微元再求和來(lái)解決物理過程中的變量積累問題

例如：推導(dǎo)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移公式。課本在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)，把時(shí)間劃分為許多小的時(shí)間間隔Δt（時(shí)間微元），當(dāng)Δt取的很小時(shí)，速度的變化就會(huì)很小，可以近似地認(rèn)為速度不變，為每一段時(shí)間微元Δt起始時(shí)刻的速度，這樣就可以“化變速為勻速”，它的速度圖線由圖中的一些平行于時(shí)間軸的間斷線段組成。由于勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移可以用v-t圖像中圖線與時(shí)間軸之間所包圍的面積來(lái)表示，因此物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)間t內(nèi)的位移，可用圖中的一個(gè)個(gè)小矩形面積之和（即階梯狀折線與時(shí)間軸之間的面積）來(lái)表示，即：x=v0×Δt+v1×Δt+v2×Δt+ v3×Δt+…

如果時(shí)間的分割再細(xì)些，它的速度圖像就更接近于物體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)的圖像，階梯狀折線與時(shí)間軸之間的面積就更接近于傾斜直線與時(shí)間軸之間所圍的面積。當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限細(xì)分時(shí)，間斷的階梯線段就趨向于傾斜直線，階梯狀折線與時(shí)間軸之間的面積就趨向于傾斜直線與時(shí)間軸之間的面積。這樣，我們就可以得出結(jié)論：勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移也可以用速度圖像中圖線與時(shí)間軸之間所包圍的面積來(lái)表示，從而推導(dǎo)出勻變速運(yùn)動(dòng)的位移公式。

課本在研究重力做功時(shí)，也運(yùn)用了微元的思想，假設(shè)物體沿任意一路徑由高度是h1的起點(diǎn)A，運(yùn)動(dòng)到高度是h2的終點(diǎn)B，如圖所示。把整個(gè)路徑分成許多很短的間隔AA1 ，A1A2，A2A3，… 由于每一段都很小，因而都可以近似地看做一段傾斜的直線，“化曲為直”，設(shè)每段小斜線的高度差分別是△h1，△h2，△h3…則物體通過每段小斜線時(shí)重力所做的功分別為mg△h1，mg△h2，mg△h3，…物體通過整個(gè)路徑時(shí)重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代數(shù)和，即

WG=mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+… =mg（Δh1+Δh2+Δh3+…）

WG=mgh=mgh1-mgh2

課本內(nèi)容的處理將微元思想體現(xiàn)得淋漓盡致，這里用到取微元的一個(gè)處理方法，可以“化變?yōu)楹恪?，“化曲為直”，在課堂教學(xué)時(shí)最好配合微元越取越小的動(dòng)畫課件，讓學(xué)生從生動(dòng)形象的課件上看到變化的過程，更易于理解，為以后電磁學(xué)部分微元法的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

要熟練地掌握了微元法解題的基本方法，高三專題復(fù)習(xí)時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的鞏固練習(xí)，將題目進(jìn)行變化，拓展訓(xùn)練。經(jīng)過訓(xùn)練，絕大部分高三學(xué)生能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用微元法來(lái)分析典型的物理問題。

總之，微元法是我們研究解決物理問題的重要方法之一，它貫穿于高中階段的物理知識(shí)體系中，滲透于一些物理概念、公式、非勻變問題的解題中，“微元法”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維，加強(qiáng)了我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而起到鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。高中學(xué)生特別是高三的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。

（作者單位：江蘇省淮安市清江中學(xué)）