蔣銀山

【摘要】二重積分的計(jì)算方法有⑴利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分，⑵利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，⑶利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分，⑷利用分塊積分法計(jì)算二重積分，⑸利用坐標(biāo)軸的平移計(jì)算二重積分。

【關(guān)鍵詞】二重積分;直角坐標(biāo);極坐標(biāo);平移及奇偶性

二重積分的計(jì)算方法有⑴利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分，⑵利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，⑶利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算二重積分，⑷利用分塊積分法計(jì)算二重積分，⑸利用坐標(biāo)軸的平移計(jì)算二重積分。

計(jì)算二重積分有一定的步驟，我們大致分成4步。第一步：畫出積分區(qū)域 的草圖，判斷積分域是否有對(duì)稱性，被積函數(shù)是否有奇偶性;第二步：選擇坐標(biāo)系;第三步：選擇積分次序;第四步：確定積分限并計(jì)算累次積分。

例題1.計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域 是由 與曲線 所圍成。

方法一：利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

解：積分區(qū)域

=

方法二：利用坐標(biāo)軸的平移及奇偶性計(jì)算二重積分

解：設(shè) 作坐標(biāo)軸的平移，在 平面上積分區(qū)域?yàn)?/p>

① 關(guān)于 對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)，

②

③

例題2.計(jì)算 其中積分區(qū)域 是由 所確定。

方法一：利用極坐標(biāo)法計(jì)算二重積分

方法二：利用坐標(biāo)軸的平移及極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

令 此時(shí) ，則

方法三：利用坐標(biāo)軸的平移及奇偶性計(jì)算二重積分

由于

利用奇偶性可得?而 ，則

方法四：利用積分區(qū)域的對(duì)稱性計(jì)算二重積分

解：積分區(qū)域 關(guān)于 對(duì)稱且為圓域故形心的坐標(biāo)在圓心

其中 為積分區(qū)域 的形心的橫坐標(biāo)。

例題3：求計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域 是由 及曲線 所圍成。

分析：若把 看成正方形的區(qū)域挖去半圓 ，則計(jì)算 上的積分自然選用極坐標(biāo)變換，若只考慮區(qū)域 ，則自然考慮先 后 的積分次序化為累次積分，若注意 關(guān)于直線 對(duì)稱，選擇平移坐標(biāo)變換則最為方便。

方法一：選擇先 后 的積分次序，則

方法二：方塊積分法及極坐標(biāo)法

在極坐標(biāo)下

方法二：利用坐標(biāo)軸的平移計(jì)算二重積分

作平移變換則

參考文獻(xiàn)：

[1]李正元，李永樂，袁蔭棠：《 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書》，國(guó)家行政學(xué)院出版社，2013（2）.

[2]武忠祥，《高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化講義》，西安交通大學(xué)出版社，2011（4）.