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        新課程背景下數(shù)學(xué)分析教學(xué)研究

        2015-05-30 20:26:54陳娟
        理論觀察 2015年8期
        關(guān)鍵詞:泰勒公式數(shù)學(xué)分析極限

        陳娟

        [摘 要]數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》增加了一些數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容,如定積分,零點(diǎn)存在定理等。但是高中增加的內(nèi)容并不是大學(xué)內(nèi)容的直接下放,經(jīng)過了化簡,并且更注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。為此大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)應(yīng)該針對新課改的情況作出適當(dāng)調(diào)整,以便更好的促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。本文將結(jié)合極限、泰勒公式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等具體內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì),分析如何在新課程背景下進(jìn)行數(shù)學(xué)分析教學(xué)。

        [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)分析;教學(xué);極限;泰勒公式;導(dǎo)數(shù)

        [中圖分類號]00 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1009 — 2234(2015)08 — 0173 — 02

        2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(一下簡稱《課標(biāo)》)頒布以來,已經(jīng)逐步在全國范圍內(nèi)推廣,到2012年廣西壯族自治區(qū)也采用了課標(biāo)版教科書,從此全國范圍內(nèi)均采用課標(biāo)版教科書。與之前的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》相比,課標(biāo)增加了很多新的學(xué)習(xí)內(nèi)容,如積分、合情推理、數(shù)學(xué)史等,同時(shí)對以往的內(nèi)容,如導(dǎo)數(shù)、極限等進(jìn)行了重新定位。這樣進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生已經(jīng)對數(shù)學(xué)分析的有些內(nèi)容有了初步了解,但是大學(xué)的數(shù)學(xué)分析教材并沒有改變,這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)調(diào)整,以更好的促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)效果。

        另外,《課標(biāo)》非常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值等。那么大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)中,教師要繼續(xù)發(fā)揚(yáng)《課標(biāo)》中的理念,不但教會(huì)學(xué)生知識,更要教會(huì)學(xué)生方法,這才是使得學(xué)生受益終身的內(nèi)容。

        本文將結(jié)合一些具體教學(xué)內(nèi)容,如極限、泰勒公式、導(dǎo)數(shù)等,談?wù)勅绾卧谛抡n程背景下進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)分析教學(xué)。

        1 極限教學(xué)

        2000年頒布的《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》已將極限內(nèi)容下放到中學(xué),雖然《課標(biāo)》中又刪除了極限內(nèi)容,但是在講導(dǎo)數(shù)時(shí)還要用到極限的概念,所以很多中學(xué)老師依然補(bǔ)充了這部分知識,很多中學(xué)生都會(huì)計(jì)算一些簡單的數(shù)列極限與函數(shù)極限。但是中學(xué)生所接觸的極限都是很直觀初等的。并沒有精確的給出極限的概念。而很多學(xué)生進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析,就要接觸、語言,這是中學(xué)數(shù)學(xué)完全沒有接觸過的。學(xué)生往往感到困惑,為何要這樣定義極限,這是因?yàn)橹袑W(xué)所學(xué)的都是從直觀角度入手,要引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,如果不向?qū)W生展示引出極限概念的必要性,而直接給出嚴(yán)格定義,學(xué)生陷于形式化的符號中,容易喪失學(xué)習(xí)的興趣。

        學(xué)生經(jīng)過計(jì)算討論后,自然可以發(fā)現(xiàn)有些數(shù)列隨著增大會(huì)趨于穩(wěn)定,而有的則不是定值。但是對于最后一個(gè)數(shù)列學(xué)生會(huì)得出不同的結(jié)論,在教師引導(dǎo)下學(xué)生們自然會(huì)發(fā)下,以高中知識無法解決這個(gè)問題,引發(fā)了認(rèn)知沖突,這樣就引出了精確定義極限概念的必要性。學(xué)生才會(huì)明白中學(xué)里沒有精確給出極限定義,這樣有些數(shù)列是否有極限是不能確定的。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用,由教師的教轉(zhuǎn)向?qū)W生的學(xué),學(xué)生既感受到學(xué)習(xí)新知識的原因,同時(shí)也體會(huì)到了歸納在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用,這樣安排教學(xué)比直接給出極限定義要好得多。

        2 實(shí)數(shù)連續(xù)性定理教學(xué)

        實(shí)數(shù)連續(xù)性六大定理(閉區(qū)間套定理、確界定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則)歷來是教學(xué)難點(diǎn)。造成教學(xué)困難的有如下幾點(diǎn)。首先學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)到了無理數(shù),但是初中的無理數(shù)引入主要是通過“開方不盡數(shù)”的,這種引入很自然,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。但是這種引入方式雖然簡單,但是“開方不盡數(shù)”只有極為少數(shù)的無理數(shù),是可數(shù)的,而我們知道無理數(shù)是不可數(shù)的。但是初中生還沒有接觸這些概念,他們就會(huì)認(rèn)為無理數(shù)就是“開方不盡數(shù)”。而這時(shí)又從另外一個(gè)角度來定義無理數(shù),學(xué)生在心理上是沒有準(zhǔn)備的,因此很難理解。第二個(gè)原因在于這六大定理過于形式化,充滿了精確的數(shù)學(xué)語言,如確界、聚點(diǎn)等,又有大量抽象的符號等,學(xué)生在理解這些名詞符號上就好花費(fèi)很多時(shí)間,自然也影響了對于定理所表達(dá)的實(shí)質(zhì)內(nèi)容的理解。因此教師在教學(xué)時(shí),要進(jìn)行學(xué)情分析,要清楚的了解學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)困惑所在。為次考慮到高中已經(jīng)開設(shè)了數(shù)學(xué)史選講,并且“類比”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)進(jìn)入了教科書,結(jié)合這些特點(diǎn),進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

        實(shí)數(shù)理論的奠基是與微積分的嚴(yán)密化緊密聯(lián)系在一起的。而中學(xué)已經(jīng)簡單的介紹了數(shù)系擴(kuò)充的歷史,并且簡要介紹了微積分的發(fā)展歷程。因此教師在教學(xué)時(shí)不妨先讓學(xué)生回顧為什么數(shù)系要擴(kuò)充,學(xué)生很容易回答出是運(yùn)算的封閉性要求數(shù)系要擴(kuò)充。然后再引導(dǎo)學(xué)生考慮無理數(shù)是如何擴(kuò)充的?學(xué)生自然會(huì)想到開方運(yùn)算,但是教師還要引導(dǎo)學(xué)生去思考是如何計(jì)算出來的,還是利用開方運(yùn)算嗎?這樣就引起了學(xué)生的認(rèn)知沖突,教師再引導(dǎo)學(xué)生回憶重要極限,這樣學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)很多無理數(shù)其實(shí)是有理數(shù)列的極限,因此極限運(yùn)算是無理數(shù)的重要來源。然后再指出,從運(yùn)算角度來看,實(shí)數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算是封閉的。而這個(gè)性質(zhì)就是實(shí)數(shù)的連續(xù)性,因此要對實(shí)數(shù)集連續(xù)性的定理進(jìn)行嚴(yán)格證明。

        這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與學(xué)習(xí)心理,有借助類比的方法,讓學(xué)生與以前所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行比較,降低了學(xué)習(xí)難度,比一開始就講解定理的證明效果要好。

        3 泰勒公式教學(xué)

        泰勒公式在函數(shù)值的近似計(jì)算中有重要作用,是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具。但在教學(xué)中,泰勒公式繁瑣的推導(dǎo)過程會(huì)占用大量的數(shù)學(xué)課堂時(shí)間,反而其重要的應(yīng)用例子,教師可能簡單一帶而過,有心理學(xué)中的注意理論可知,學(xué)生一節(jié)課上的能集中注意力的時(shí)間一般為20分鐘左右,因此學(xué)生在復(fù)雜的推導(dǎo)論證之后,很可能難以去認(rèn)真學(xué)習(xí)泰勒公式的應(yīng)用價(jià)值了。因此教學(xué)時(shí)以問題為中心,通過問題來引出泰勒公式的重要性。可進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì)。借助函數(shù)重要的函數(shù)模型。讓學(xué)生自己歸納出引出泰勒公式的必要性。

        因此先以問題為引導(dǎo),提出如下的問題。

        要求學(xué)生計(jì)算分別取1, 1.2,1.21時(shí)候三個(gè)函數(shù)值,學(xué)生很快就可以發(fā)現(xiàn),不利用計(jì)算器,也很容易求出第一個(gè)函數(shù)的值,但對于第二、三個(gè)函數(shù)不借助計(jì)算器是很難算出的。此時(shí)在要求學(xué)生觀察這3個(gè)函數(shù)的特點(diǎn),學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)這3個(gè)函數(shù)分別是多項(xiàng)式函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù),這些函數(shù)都是學(xué)生熟悉的。而且學(xué)生也知道對于后兩個(gè)函數(shù),只能計(jì)算自變量為特殊值的函數(shù)值。這樣學(xué)生才會(huì)體會(huì)出多項(xiàng)式函數(shù)在計(jì)算上的優(yōu)點(diǎn)。教師再進(jìn)一步指出多項(xiàng)式函數(shù)是最簡單的函數(shù),因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算只有加、減、乘三種運(yùn)算?!?〕《課標(biāo)》指出學(xué)習(xí)函數(shù)要掌握重要的函數(shù)模型,多項(xiàng)式函數(shù)就是一個(gè)重要的函數(shù)模型。再由此引導(dǎo)學(xué)生去思考是否能將無理函數(shù)和初等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式函數(shù),將一個(gè)要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題。這就是數(shù)學(xué)上重要的化歸思想。然后便是嚴(yán)密的推理論證過程。這樣的教學(xué),不但傳授了知識,更重要的是給出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法。

        4 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用

        導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具,在高中課程中增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容,主要利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。但是并沒有給嚴(yán)格證明,而要證明則要用到微分學(xué)基本定理,由此引出學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的必要性。

        另外,羅爾定理、拉格朗日定理的引出也要充分借助幾何背景。高中課程中已經(jīng)增加了合情推理的內(nèi)容,但是合情推理的能力不是一朝一夕形成的,要不斷地在教學(xué)中滲透。而微分學(xué)中值定理的發(fā)現(xiàn)就是一個(gè)很好的素材。教師教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)圖像進(jìn)行觀察,進(jìn)而得出猜想,猜想的過程更重要,只有提出猜想,數(shù)學(xué)才能進(jìn)步。如果課上只是進(jìn)行證明,那么學(xué)生學(xué)到的只是解決問題,而不是提出問題。

        高考題中很多壓軸題都是要利用導(dǎo)數(shù),并結(jié)合具體函數(shù)模型來討論解決的。例如2014年數(shù)學(xué)高考題大綱卷第22題第1問:函數(shù),討論f(x)的單調(diào)性。該題思路很明顯,要對函數(shù)f(x)求導(dǎo),得到f??梢钥闯鰧?dǎo)函數(shù)分母恒大于0,因此要討論分子的正負(fù)。而分子有事一個(gè)二次函數(shù),并且是二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)為0的二次函數(shù)。學(xué)生只要熟練掌握了二次函數(shù)模型,就會(huì)通過對參數(shù)a的討論得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),從而得出原函數(shù)的單調(diào)性。

        因此在教學(xué)中,不防結(jié)合某些高考題,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析在解決初等問題中的強(qiáng)大作用,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

        5 常用不等式

        高中課程中增加了柯西不等式、琴生不等式等常用的不等式。而數(shù)學(xué)分析會(huì)對這些不等式進(jìn)行進(jìn)一步的深入研究和推廣。例如數(shù)學(xué)分析中的赫爾德不等式:

        當(dāng)p=q=2時(shí),就是柯西不等式??梢钥闯龊諣柕虏坏仁骄褪强挛鞑坏仁降耐茝V。因此教學(xué)時(shí)教師可以從中學(xué)所學(xué)的柯西不等式入手,這樣既降低了教學(xué)難度,也使得學(xué)生理解了各個(gè)不等式之間的關(guān)系。同時(shí)也給出了學(xué)生創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)結(jié)論的方法,即從已有結(jié)論出發(fā),進(jìn)行推廣。

        不等式一直是中學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn),《課標(biāo)》降低了不等式證明的技巧,但是更加突出不等式的幾何背景。所以在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,既要繼承幾何背景在學(xué)習(xí)不等式的作用,引導(dǎo)學(xué)生通過不等式的幾何解釋去理解不等式。

        柯西不等式,琴生不等式經(jīng)常在競賽和自主招生考試中出現(xiàn),教師在教學(xué)過程中也可以結(jié)合具體的題目來幫助學(xué)生去理解應(yīng)用這些不等式。

        而這個(gè)是在數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容,另外2010年湖北數(shù)學(xué)高考題,也是以此為背景命題的。在進(jìn)行歐拉常數(shù)教學(xué)時(shí),教師可以結(jié)合這類高考題來講解,這樣學(xué)生就可以體會(huì)到數(shù)學(xué)分析在指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,讓學(xué)生學(xué)以致用,不再認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥無味的。

        總之,在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,要深入分析學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的情況,精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),選取合適的材料,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,提高其學(xué)習(xí)效果。

        〔參 考 文 獻(xiàn)〕

        〔1〕 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(上冊).北京:高等教育出版社,2008:264.

        〔責(zé)任編輯:侯慶?!?/p>

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