蔣宏駿+++紀(jì)則軒+++孫權(quán)森

摘 要： 稀疏表示和字典學(xué)習(xí)在圖像去噪、圖像重建和模式識(shí)別等應(yīng)用上取得了良好的效果，其利用稀疏系數(shù)和重構(gòu)誤差來(lái)作為模式分類的判別準(zhǔn)則。稀疏表示紋理分割方法是將圖像分割問題轉(zhuǎn)換為像素點(diǎn)的分類問題。但通常稀疏表示分類方法是基于圖像塊特征，難以準(zhǔn)確表征圖像紋理信息。為了解決上述問題，提出基于Gabor特征的稀疏表示紋理分割方法。因?yàn)镚abor特征對(duì)圖像紋理信息的魯棒性，算法首先從每類紋理中選擇一些像素點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本，計(jì)算其不同尺度和方向下的Gabor特征，將其作為初始化字典，通過判別性的字典學(xué)習(xí)算法（D?KSVD）更新字典，該字典學(xué)習(xí)算法在KSVD基礎(chǔ)上使得字典更具有類別判別能力，最后以待分割圖像的每個(gè)像素點(diǎn)作為測(cè)試樣本，計(jì)算其Gabor特征。利用OMP算法得到測(cè)試樣本在字典下的稀疏系數(shù)，根據(jù)稀疏系數(shù)得到類標(biāo)簽，進(jìn)而對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行分類，完成分割。通過在Brodatz紋理庫(kù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法有效提高了稀疏表示算法對(duì)紋理圖像分割的正確率。

關(guān)鍵詞： 稀疏表示； 字典學(xué)習(xí)； D?KSVD； Gabor

中圖分類號(hào)： TN919?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）10?0073?05

圖像分割是由圖像處理進(jìn)到圖像分析的關(guān)鍵步驟，也是一種基本的計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)。紋理作為物體表面的固有特征之一，是人們區(qū)分不同物體的重要因素，紋理可以提供圖像區(qū)域的平滑、稀疏、規(guī)則等特性。例如醫(yī)學(xué)圖像中包含大量的紋理信息，不同部位、相同部位不同病灶的圖像紋理存在一定差異。又如遙感圖像中不同地貌呈現(xiàn)的紋理差異也很明顯。

稀疏表示問題源于Bruno A.Olshausen和David J.Field在《NATURE》上提出的自然圖像的稀疏編碼理論[1]。其理論表明自然圖像的稀疏編碼，類似于哺乳動(dòng)物初級(jí)視覺的簡(jiǎn)單細(xì)胞的工作原理。近年來(lái)，稀疏表示在模式識(shí)別中也得到了很好的應(yīng)用。例如稀疏表示分類算法[2]（SRC）方法，它直接將訓(xùn)練樣本作為字典，通過判斷測(cè)試樣本的相應(yīng)特征與訓(xùn)練字典中的各類系數(shù)重建結(jié)果的誤差來(lái)完成識(shí)別。SRC方法在人臉識(shí)別領(lǐng)域獲得了很好的應(yīng)用。在SRC方法的基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者通過增加不同類別子字典的約束條件，使其更好地進(jìn)行模式識(shí)別。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]通過增加不同類子字典的不相關(guān)約束條件使每類的子字典盡可能相互獨(dú)立。文獻(xiàn)[5]提出的FDDL方法在字典學(xué)習(xí)中加入Fisher判別準(zhǔn)則，來(lái)提高字典的判別能力。文獻(xiàn)[6]提出的D?KSVD方法通過增加訓(xùn)練樣本預(yù)標(biāo)簽，與監(jiān)督學(xué)習(xí)相結(jié)合，使得字典學(xué)習(xí)具有類別判別能力。上述方法在人臉識(shí)別等模式識(shí)別應(yīng)用上取得了很好的識(shí)別性能，但其研究重心都是基于圖像塊的灰度特征。在人臉識(shí)別中，圖像塊特征可以較好地表示人臉的全局信息，但其在紋理分割應(yīng)用難以準(zhǔn)確表示紋理的局部信息。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于Gabor特征的稀疏表示分割方法。該方法通過對(duì)訓(xùn)練樣本增加預(yù)標(biāo)簽，將稀疏表示過程與有監(jiān)督學(xué)習(xí)過程相結(jié)合，使得字典學(xué)習(xí)具有類別判別能力。同時(shí)考慮到Gabor特征較好地模擬了人類視覺系統(tǒng)的視覺感受，是一種強(qiáng)大的紋理特征提取方法，其很好地表示圖像的紋理信息。所以將Gabor特征引入稀疏表示分類方法中，以提高算法的識(shí)別率和魯棒性。本文對(duì)Brodatz紋理圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，將圖像塊像素的灰度級(jí)聯(lián)為特征做對(duì)照實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于Gabor特征的稀疏表示分割方法進(jìn)一步提高了分割效果。

1 相關(guān)工作與背景

1.1 稀疏表示

1996年Bruno A.Olshausen和David J.Field在《NATURE》上首次提出了自然圖像的稀疏編碼[2]，其很好地解釋了哺乳動(dòng)物初級(jí)視覺的簡(jiǎn)單細(xì)胞工作原理。稀疏表示是指，對(duì)于一個(gè)給定信號(hào)或圖像Y，其在一組過完備基D上有一個(gè)稀疏的表示。它的形式如下：

[Y=Dα， D∈Rm×n， m?n] （1）

稀疏表示問題就是要求解向量x，使x的非零項(xiàng)盡可能少。問題定義如下：

[minα0 s.t. Dα=Y] （2）

該問題是0范數(shù)最優(yōu)化問題。1997年Gorodnitsky和Rao證明了在[σ（D）≥2α0]條件下，式（2）有惟一解[7]，[σ（D）]為最小的線性相關(guān)的列向量所含的向量個(gè)數(shù)，但上述問題仍是個(gè)NP問題。2006年Candes和Tao證明了當(dāng)滿足條件RIP，0范數(shù)最優(yōu)化問題與1范數(shù)問題的解一致：

[minα1 s.t. Dα=Y] （3）

而1范數(shù)優(yōu)化問題是凸優(yōu)化問題，故有惟一解。當(dāng)引入重建誤差[ε]，式（2）可以寫成：

[minY-Dα22+λα1 s.t.α

1.2 稀疏表示分類

稀疏表示分類方法是基于測(cè)試樣本可以表示為訓(xùn)練樣本的加權(quán)線性組合這一先驗(yàn)。假設(shè)有c個(gè)類別，字典為D=[D1，D2，…，DC]，其中Di 為第i類子字典，其由第i類訓(xùn)練樣本組成。

通過1范數(shù)對(duì)測(cè)試樣本y進(jìn)行稀疏表示：

[α=argminxy-Dα22+λα1] （5）

計(jì)算第i類的重構(gòu)誤差：

[riy=y-Dδiα2] （6）

[δiα]僅保留稀疏向量[α]中第i類的系數(shù)。最后通過公式（7）進(jìn)行分類。

[identityy=argminiriy] （7）

1.3 字典學(xué)習(xí)

通過字典學(xué)習(xí)，可以使得字典對(duì)信號(hào)或圖像具有更強(qiáng)的表示能力，減少重構(gòu)誤差。通常對(duì)于一個(gè)信號(hào)或圖像，需要通過字典學(xué)習(xí)算法來(lái)獲得其完備字典。常用的字典學(xué)習(xí)算法有MOD[8]、K?SVD[9]、online[10]算法。

K?SVD算法是求解如下最優(yōu)化問題：

[minD，αY-Dα2F s.t.?i，xi0≤T] （8）

K?SVD算法步驟如下：

輸入：數(shù)據(jù)樣本[Y=y1，y2，…，yN∈Rd×N]

列規(guī)范化的初始字典[D=d1，d2，…，dk∈Rd×k]

Step1：稀疏編碼，利用OMP算法求解以下優(yōu)化問題：

[minαy-Dα22+λα1 s.t.α

Step2：字典更新，對(duì)于字典中的每一個(gè)原子[dk]和相應(yīng)的稀疏表示系數(shù)[αk]，求解以下優(yōu)化問題：

[argmindk，αkEk-dkαk2]

式中[Ek=Y-i≠kdiαi]為誤差矩陣。通過SVD求解這個(gè)一階近似問題，使得[UΔVT=SVDEk]，更新[dk]成U的第1列，更新[αk]，成V的第1行乘以[Δ1，1]，即：

[dk′=U：，1，αk′=Δ1，1V1，：]

Step3：返回Step2，直到收斂。

1.4 判別字典學(xué)習(xí)

文獻(xiàn)[7]提出的D?KSVD方法，并將該方法應(yīng)用于人臉識(shí)別問題。但是K?SVD算法在字典學(xué)習(xí)過程中只考慮了重建誤差和稀疏度，如果僅根據(jù)其重建誤差和稀疏度來(lái)進(jìn)行分類，效果并不理想。D?KSVD在K?SVD算法基礎(chǔ)上加入了線性分類器[H=Wα+b]，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化理論，該分類器應(yīng)該滿足：

[W，b=argminW，b=H-Wα-b2+βW2] （9）

式中H中的每1列，hi=[0，0，…，1，…，0，0]，只有一個(gè)項(xiàng)的系數(shù)為1，其位置表示分類結(jié)果。

將判別項(xiàng)加入K?SVD算法中，構(gòu)成以下最優(yōu)化問題：

[D，W，α=argminD，W，αY-Dα2+γH-Wα2+βW2 s.t.α0≤T] （10）

式中：Y是輸入信號(hào)；H是其對(duì)應(yīng)的標(biāo)簽；D是字典；W是分類器；[α]是稀疏系數(shù)；[γ]和[β]是權(quán)重系數(shù)。參考K?SVD的字典學(xué)習(xí)算法，式（10）可以寫成如下形式：

[D，W，α=argminD，W，α Yγ*H- Dγ*W*α2+βW2s.t. α0≤T] （11）

由于在K?SVD算法中，字典[ Dγ*W]是規(guī)范化的，所以可以省略正則項(xiàng)[W2]，從而最優(yōu)化問題可以簡(jiǎn)化為：

[D，W，α=argminD，W，α Yγ*H- Dγ*W*αs.t. α0≤T] （12）

在D?KSVD算法中，字典D和相應(yīng)的分類器W需要聯(lián)合歸一化，歸一化字典[D′]和相應(yīng)的分類器[W′]計(jì)算方式如下：

[D′=d1′，d2′，...，dk′=d1d12，d2d22，...，dkdk2W′=w1′，w2′，…，wk′=w1w12，w2w22，…，wkwk2] （13）

2 基于Gabor特征的稀疏表示紋理分割

稀疏表示的分割算法把圖像分割問題轉(zhuǎn)換成對(duì)圖像像素點(diǎn)分類的問題，其關(guān)鍵就是提取合適的特征和構(gòu)建稀疏表示的分類方法。

D?KSVD算法以大小[n×n]的圖像塊作為處理單元，圖像塊所有灰度值作為特征向量。在圖像重建和圖像去噪中，該特征能有效地表示圖像本身，有利于圖像的表示。但該圖像的灰度特征并沒有很強(qiáng)的判別信息，這就導(dǎo)致了在使用圖像塊的灰度特征進(jìn)行紋理分割時(shí)效果并不理想。而Gabor特征是一種重要的紋理特征提取方法。所以將Gabor特征引入D?KSVD算法進(jìn)行研究。

基于Gabor特征的D?KSVD算法分可以為兩個(gè)部分，第一部分是從每類紋理圖像選擇一些像素點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本，計(jì)算這些像素點(diǎn)的Gabor特征以及樣本的類別標(biāo)簽信息，通過D?KSVD算法訓(xùn)練得到Gabor字典G和分類器W。對(duì)字典G和分類器W進(jìn)行歸一化，得到[G′]和[W′]；第二部分以待分割圖像的每個(gè)像素點(diǎn)作為測(cè)試樣本，計(jì)算其Gabor特征。利用OMP算法得到測(cè)試樣本在字典[G′]下的稀疏系數(shù)[α]，根據(jù)[H=W′α]得到測(cè)試樣本的類別標(biāo)簽。根據(jù)類標(biāo)簽對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行分類，最后完成分割。

2.1 Gabor特征提取

2?D Gabor小波變換是一種重要的基于頻譜的紋理特征提取方法。Gabor小波變換實(shí)現(xiàn)了對(duì)紋理圖像不同方向和尺度下的特征提取[2]。

假設(shè)[fx，y]表示為[M×N]的圖像，則該圖像的2維離散Gabor小波變換可以定義為：

[I（x，y）=fx，y?hx，y] （14）

式中[Ix，y]是其濾波輸出。

[hx，y]是2維Gabor函數(shù)，其是一個(gè)被復(fù)正弦函數(shù)調(diào)制的高斯函數(shù)，可表示為：

[hx，y=gx，yexpj2πUx+Vy] （15）

式中：（U，V）表示特定的空間頻率；g（x，y）為高斯函數(shù)，可表示為：

[gx，y=12πλσ2exp-xλ2+y22σ2] （16）

式中：[σ]是空間放縮系數(shù)，控制濾波器脈沖響應(yīng)的寬度；[λ]確定了濾波器的長(zhǎng)寬比，確定濾波器的朝向。

p個(gè)方向和q個(gè)尺度的Gabor小波變換分別與圖像進(jìn)行卷積，得到p×q個(gè)Gabor圖像。Gabor圖像中，點(diǎn)（m，n）所對(duì)應(yīng)的值可以反應(yīng)該位置的能量信息， 但是采用能量信息容易造成分類誤差。所以本文采用以（m，n）為中心，大小w×w塊的均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為紋理特征。尺度為p方向?yàn)閝的均值和標(biāo)準(zhǔn)差表示如下：

[μp，qm，n=xyIp，qm，nw×wσp，qm，n=xyIp，qm，n-μp，qm，nw×w2] （17）

在稀疏表示框架下，假設(shè)用T表示像素點(diǎn)（m，n）的Gabor特征向量，則T可以表示為：

[T=μ0，0，σ0，0，…，μP-1，Q-1，σP-1，Q-1] （18）

Gabor特征向量T的構(gòu)造流程如圖1所示。

2.2 稀疏表示分割

本文將訓(xùn)練樣本提取的Gabor特征作為初始化字典。Gabor特征字典G=[G1，G2，…，GC]，Gi表示第i類訓(xùn)練樣本的Gabor子字典，分割的算法步驟如下所示：

輸入：待分割圖像I。

（1） 分別對(duì)每類紋理隨機(jī)提取m個(gè)像素點(diǎn)作為訓(xùn)練樣本X，以圖像中每個(gè)像素點(diǎn)為測(cè)試樣本。訓(xùn)練樣本的類別標(biāo)簽為H。

圖1 提取Gabor特征的流程圖

（2） 計(jì)算每塊的p個(gè)尺度，q個(gè)方向的Gabor特征。

（3） 用KSVD算法對(duì)訓(xùn)練樣本X作字典學(xué)習(xí)，得到字典G和稀疏系數(shù)α。

（4） 根據(jù)類別標(biāo)簽Ls和系數(shù)α、初始化：

[W=αTα+β*E-1*α*H]

（5） 構(gòu)造[ Xγ*H]和[ Gγ*W]進(jìn)行D-KSVD字典學(xué)習(xí)；

（6） 對(duì)字典和權(quán)值矩陣歸一化得到[G′]和[W′]，利用OMP算法得到測(cè)試樣本在字典[G′]的稀疏表示系數(shù)[α′]；

（7） 根據(jù)求得的[α′]計(jì)算[l=W′*α′]，得到測(cè)試樣本的類別標(biāo)簽。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了證明將Gabor特征引入D?KSVD分類框架方法的有效性，本文對(duì)50幅雙紋理和三紋理圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)。其中圖像尺寸為300×300像素，紋理圖像由Brodatz紋理圖像隨機(jī)混合而成。Brodatz紋理庫(kù)包含17類紋理，29張紋理圖像，其中12類紋理包含2種光照下的圖像。隨機(jī)選取紋理進(jìn)行合成。程序運(yùn)行環(huán)境Matlab 2012b， 硬件配置是Intel（R） Core（TM） i5?3230M CPU@2.6 GHz和4 GB內(nèi)存。實(shí)驗(yàn)選擇4個(gè)尺度、4個(gè)方向分別對(duì)Brodatz圖像進(jìn)行Gabor變換。每類紋理的訓(xùn)練樣本數(shù)為100。實(shí)驗(yàn)首先對(duì)雙紋理圖像進(jìn)行分割，圖2為其中兩組實(shí)驗(yàn)的分割結(jié)果。圖2（a）為Brodatz紋理圖像。圖2（b）為本文方法的分割結(jié)果，圖2（c）為基于Gabor特征的SRC算法，圖2（d）為SRC算法，圖2（e）～（g）分別是圖像塊大小為3×3，5×5，7×7時(shí)的D?KSVD算法。可以看出，不管是SRC方法還是D?KSVD方法，傳統(tǒng)的基于圖像塊特征稀疏表示方法的分割正確率很低，存在明顯的錯(cuò)分。引入Gabor特征，極大改善了紋理圖像的分割效果。而GD?KSVD與GSRC相比，進(jìn)一步提高了分割正確率。說明了通過D?KSVD字典學(xué)習(xí)，字典的判別能力得到了增強(qiáng)。

圖2 雙紋理圖像分割結(jié)果比較

此外，還對(duì)三紋理圖像進(jìn)行了分割，見圖3。從兩組分割結(jié)果可以看出，本文方法與GSRC算法相比，邊緣分割效果更好。

圖3 三紋理圖像分割結(jié)果比較

圖3（a）為原始圖像，（b）為本文方法，（c）為GSRC算法，（d）為SRC算法，（e）為圖像塊大小為3×3的D?KSVD算法，（f）為圖像塊大小為5×5的D?KSVD算法，（g）為圖像塊大小為7×7的D?KSVD算法。

圖4（a）、圖4（b）分別為50組雙紋理圖像和三紋理圖像實(shí)驗(yàn)分割正確率的結(jié)果對(duì)比。表3列出了各算法分割正確率的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。從中不難看出，基于Gabor特征的稀疏表示紋理分割方法對(duì)雙紋理圖像的平均正確率高達(dá)98.49%，三紋理圖像的平均正確率為96.65%。比單純采用圖像塊特征的D?KSVD方法提高了近20%，而從實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差看出，與GSRC算法相比，本文方法穩(wěn)定性和魯棒性更好。

圖4 雙紋理和三紋理圖像分割實(shí)驗(yàn)

表1 分割正確率比較

4 結(jié) 語(yǔ)

稀疏表示和字典學(xué)習(xí)是近些年來(lái)圖像領(lǐng)域內(nèi)研究的熱點(diǎn)。多數(shù)應(yīng)用以圖像塊作為分類的特征。本文提出一種基于Gabor特征的稀疏表示分割方法。在判別字典學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，引入圖像的Gabor特征，在降低字典規(guī)模的同時(shí)，保證算法的識(shí)別率和魯棒性。本文對(duì)雙Brodatz紋理和三Brodatz紋理圖像的進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，并與圖像塊為特征的D?KSVD方法作對(duì)照實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于Gabor特征的稀疏表示分割效果明顯提高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果中以Gabor特征進(jìn)行紋理分割的邊緣存在一定的錯(cuò)分。同時(shí)隨著類別數(shù)的增加，紋理邊緣區(qū)域的錯(cuò)分概率增加。在不增加字典規(guī)模的同時(shí)，如何提高字典各類子字典之間的奇異性以及改善算法對(duì)紋理邊緣的判別能力，將基于Gabor特征的稀疏表示分割方法推廣到更多紋理的情況，將是未來(lái)工作的重點(diǎn)。

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