李志成

1引言：PCK概念的內(nèi)涵

這一概念最早由斯坦福大學(xué)教授Shulman（美國(guó)教育研究會(huì)主席）提出，他認(rèn)為構(gòu)成教學(xué)的知識(shí)基礎(chǔ)有7類，其中的“學(xué)科教學(xué)知識(shí)”逐步成為教師知識(shí)的重心與核心.學(xué)科教學(xué)知識(shí)是“Pedagogical Content Knowledge”（簡(jiǎn)稱為PCK）的翻譯，也有些研究者將其翻譯成“教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”或者“學(xué)科教育知識(shí)”.

2010年上海的中學(xué)生與全球47萬名中學(xué)生共同參加國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA）的調(diào)查，最終在閱讀、數(shù)學(xué)和科學(xué)素養(yǎng)三方面的成績(jī)均排名全球第一，震撼全球.相比于來自外國(guó)專家學(xué)者的贊許，以及本國(guó)專家學(xué)者的質(zhì)疑和驚訝，國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)教育家們提出“反觀我們自己的數(shù)學(xué)教學(xué)”.上海作為一個(gè)國(guó)際大都市，需要建成國(guó)際金融中心，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)教師的教學(xué)能力將遇到更大的機(jī)會(huì)和挑戰(zhàn)，基于數(shù)學(xué)教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究意義重大.本文將在前人的理論指導(dǎo)下，結(jié)合PCK的相關(guān)理論，以《數(shù)列的極限》為例，探究高中教學(xué)設(shè)計(jì)的相關(guān)問題，期望對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有更好的理解和改進(jìn).2實(shí)例：基于PCK的高中數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)

在教學(xué)實(shí)踐過程中，教齡越長(zhǎng)，教師的數(shù)學(xué)知識(shí)越豐富，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)更加清晰，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解和認(rèn)識(shí)越深入.基于PCK的內(nèi)涵和定義，本研究以《數(shù)列的極限》的教學(xué)內(nèi)容為例，通過“內(nèi)容分析”、“學(xué)情分析”、“教學(xué)方法及教學(xué)手段的選擇”、“教學(xué)反思”等方面的研究，探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵及改進(jìn)策略.

2.1“數(shù)列的極限概念”內(nèi)容分析

極限概念是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn).對(duì)這一難點(diǎn)的產(chǎn)生原因，回顧國(guó)內(nèi)外學(xué)者的討論，結(jié)合理論分析我們認(rèn)為：極限概念由直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳蓺v史是漫長(zhǎng)的，這說明概念本身具有高度抽象性；恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知根源的尋找并不容易，這使學(xué)生在最初的概念學(xué)習(xí)時(shí)借助于各自的有限空間概念幫助建立了一些不正確的心理表征，而概念間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系更降低了數(shù)列極限概念的可認(rèn)知性.

2.11數(shù)列極限概念定義的剖析

數(shù)列極限是由初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡的關(guān)鍵內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)由具體到抽象、由有限到無限的橋梁，是微分學(xué)的基礎(chǔ).對(duì)于數(shù)列極限概念的理解，直接關(guān)系到學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的成敗.極限概念難以理解掌握的原因在于：概念在教學(xué)的過程中涉及到“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等較抽象的術(shù)語.概念的敘述繁長(zhǎng)、符號(hào)很多，如：絕對(duì)值符號(hào)等，且它們之間的數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生難以掌握，對(duì)絕對(duì)值的幾何意義和解絕對(duì)值不等式不熟悉.

（1）定義的文本解讀

上海教育出版社教材定義如下：

請(qǐng)同學(xué)們觀察下列幾個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)

（a）1[]10，1[]102，1[]103，…，1[]10n，…

（b）-1，1[]2，-1[]3，…，（-1）n[]n，…

（c）12，23，34，…，nn+1，…

歸納數(shù)列極限的描述性定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列{an}的項(xiàng)無限的趨近于某一個(gè)常數(shù)A，則稱數(shù)列{an}以A為極限，記作limn→∞an=A.

（2）人民教育出版社教材定義如下：

數(shù)列極限的精確定義（ε-N定義）：設(shè)給定數(shù)列{an}，A是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意給定的小正數(shù)ε，總存在某個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)大于N的一切n，都有an-A<ε，則稱常數(shù)A為數(shù)列{an}當(dāng)n趨于無窮大時(shí)的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于A，記作：limn→∞an=A.

2.12幾個(gè)相關(guān)概念溯源

（1）數(shù)列的概念：按一定次序排列的一列數(shù)，其中每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).

說明：數(shù)列是特殊的函數(shù)；數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)an=f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值；數(shù)列與集合的區(qū)別是：有序和無序，可重復(fù)和不可重復(fù).

（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式：數(shù)列{an}的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用一個(gè)公式表示：an=f（n）.說明：不是所有的數(shù)列都能寫出通項(xiàng)，如3的不足近似值17，173，1732，…；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可能不唯一，如-1，1，-1，1，…可以寫成an=（-1）n-1，也可以寫成an=cos（n-1）π.

2.13定義的邏輯分析

無窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和：設(shè)無窮等比數(shù)列為a1，a1q，a1q2，…，a1qn-1，…，公比為q，當(dāng)無窮等比數(shù)列的公比q滿足|q|<1時(shí)，其前n項(xiàng)和的極限才存在.當(dāng)0<|q|<1時(shí)，無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限如下：

因?yàn)镾n=a1（1-qn）1-q=a11-q-a11-q·qn（|q|<1），

所以limn→∞Sn=limn→∞a1（1-qn）1-q=limn→∞a11-q·limn→∞（1-qn）=a11-q（limn→∞1-limn→∞qn）=a11-q.

（因?yàn)?<|q|<1，所以limn→∞qn=0）所以limn→∞Sn=a11-q.

2.14概念的表征分析

有極限的數(shù)列一定是無窮數(shù)列.如果我們畫一條數(shù)軸，把一個(gè)極限為A的數(shù)列{an}中的數(shù)和A都在數(shù)軸上表示出來，那么，我們從圖形上可以看出，“數(shù)列{an}的極限是A”相當(dāng)于“隨著n的增大，表示an（n=1，2，…）的點(diǎn)無限趨近于A的點(diǎn)”.什么叫做“無限趨近”，有多近，也就是說，“隨著n越來越大，an點(diǎn)與點(diǎn)A的距離要多小，有多小”，但作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，是不允許用“無限趨近”或“要多近，有多近”等含糊不清的語言來對(duì)概念下定義的.

2.15概念的發(fā)展簡(jiǎn)史

極限理論刻畫的是有限到無限量變的動(dòng)態(tài)過程.早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)著名哲學(xué)家莊周在所著《莊子·天下篇》中就有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的論述.公元前263年劉徽根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，它的面積就越接近于圓面積的想法成功地推算出π的近似值是31416，可見那時(shí)候人們就有了樸素的極限思想并開始運(yùn)用極限的方法.

柯西在他的論著中，擺脫了與幾何圖形及幾何量的任何牽連，但在他的敘述中，仍有一些語句需要作進(jìn)一步解釋.諸如“無限地趨近”，“要怎么小就怎么小”等，后來魏爾斯特批評(píng)柯西借助連續(xù)運(yùn)動(dòng)的直觀定義極限.

2.2學(xué)情分析研究

高中學(xué)生已經(jīng)掌握了必要的預(yù)備知識(shí)：如絕對(duì)值的概念、兩點(diǎn)間的距離、解簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的技能等.掌握了數(shù)列的項(xiàng)（按一定次序排列的一列數(shù)，其中每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).）、數(shù)列的通項(xiàng)公式（數(shù)列an的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用一個(gè)公式表示：an=f（n））、單調(diào)有界數(shù)列、單調(diào)無界數(shù)列、擺動(dòng)有界數(shù)列、擺動(dòng)無界數(shù)列的圖像變化趨勢(shì)，以及有極限的數(shù)列的前若干項(xiàng)與常數(shù)A的差的絕對(duì)值計(jì)算表，有觀察圖像變化趨勢(shì)的能力.

（1）學(xué)生在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直接觸的都是常量，而且都是有限量.他們沒有遇到過無限的數(shù)學(xué)模型，習(xí)慣用一種不變的觀點(diǎn)來分析問題.而極限是一個(gè)無限過程，需用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來考察問題.初學(xué)極限的學(xué)生.最難解決的是從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)變.

（2）數(shù)列極限概念的形式定義顛倒了思維過程的自然順序，這與先前學(xué)生熟悉的思維方式不太一致，然而我們不應(yīng)該就此降低對(duì)學(xué)生的要求，即使最初不得不采用簡(jiǎn)單而直觀的方式介紹它，但我們的目的是要學(xué)生最終掌握數(shù)列極限的嚴(yán)謹(jǐn)形式定義，讓思維達(dá)到真正的形式運(yùn)算的水平.

（3）概念中用到了不等式，這是學(xué)生熟悉的.然而，正是這一學(xué)生熟悉的概念卻隱藏著“無限趨近”的無限過程，用不等式的可解可證，將未知化為了已知，用有限的可操作性完成無限的不可操作性的辯證思想，這是學(xué)生所不熟悉的.

（4）極限概念難以理解、掌握的原因在于：概念在教學(xué)的過程中涉及到“任意”、“給定”、“無限接近”、“存在”、“趨向”等較抽象的術(shù)語.概念的敘述繁長(zhǎng)、符號(hào)很多，且它們之間的數(shù)量關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，學(xué)生難以掌握.

3課后：課堂實(shí)踐后續(xù)思考

學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）的構(gòu)成并不是與生俱來，也非某本專著中能包含全部，數(shù)學(xué)教師還可以積累每次教學(xué)過程中的感受，認(rèn)真撰寫教學(xué)反思和教學(xué)后記，通過跟同行的交流或請(qǐng)教其他經(jīng)驗(yàn)更豐富的教師，達(dá)到對(duì)教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)的重新認(rèn)識(shí)，使自身專業(yè)水平和PCK內(nèi)容更趨合理.

但是，教師若只注重積累而不重視思考，教師從中得到的收獲也將必定有限.我們認(rèn)為，教學(xué)反思和與同行交流討論是教師迅速成長(zhǎng)的良好途徑.我們經(jīng)常碰到的一個(gè)問題是：學(xué)生在理解某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)出現(xiàn)了問題，教師在課后就要反思為什么學(xué)生不能理解，是因?yàn)閷W(xué)生的知識(shí)概念不清，還是因?yàn)樽陨肀硎龌虺尸F(xiàn)內(nèi)容的策略方式不當(dāng).如果原因在于自身，就要及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的理解.這些累積和反思逐步會(huì)融合為教師PCK的一部分，從而使教師的PCK更加豐富，結(jié)構(gòu)更加合理.另外，教師需要多進(jìn)入經(jīng)驗(yàn)教師的課堂，這種進(jìn)入不是簡(jiǎn)單的聽課，而是需要在聽課過程中和過程后，多聽多想，并在課后同授課教師一起探討，對(duì)教學(xué)中關(guān)于知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)策略等問題進(jìn)行探討，交換教學(xué)思想探討教學(xué)方法，以收獲教學(xué)信息和靈感.這種教師之間的交流是一種信息交流，由此教師們相互溝通，相互影響，相互促進(jìn).

另外，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該多學(xué)習(xí)與專業(yè)相關(guān)的理論，特別是多學(xué)習(xí)和思考與高中數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)知識(shí)，比如《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》等；也應(yīng)該及時(shí)跟進(jìn)與更新和教學(xué)相關(guān)的教學(xué)技術(shù)和教學(xué)手段，這樣更能使我們的PCK結(jié)構(gòu)跟上時(shí)代發(fā)展的節(jié)奏，取得更好的效果.

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