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        數(shù)學研究性學習的實踐與認識

        2015-05-28 18:04:53姚紅
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2015年3期
        關(guān)鍵詞:極線探究性橢圓

        姚紅

        圓錐曲線的本質(zhì)是幾何問題代數(shù)化,有些習題看起來很平常,實際上反映了相關(guān)數(shù)學理論的本質(zhì)屬性,蘊含著豐富的數(shù)學思維方法和思想精髓,是創(chuàng)新思維的生長點,這就需要教師適時引導學生不斷的發(fā)展,引申,變遷問題,進行研究性學習,從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,分析問題和解決問題的能力.圖1

        習題展示:如圖1,在平面直角坐標系中,已知橢圓C:x29+y25=1的左、右頂點分別為A、B,經(jīng)過點T(1,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點,求證:直線AM、BN與直線x=9相交于一點.

        學生很快呈現(xiàn)出本題的代數(shù)計算過程.

        解析:若直線l與x軸重合,命題顯然成立.

        若直線l不與x軸重合,設(shè)直線l的方程為my=x-1,

        聯(lián)立my=x-1

        平面中,兩條不平行的直線相交于一點是顯然的,但是3條直線相交于同一點應該不僅僅是巧合,背后到底“隱藏”著什么樣的數(shù)學原理呢?我們能不能從問題出發(fā),試著對問題進行一般化研究,變式研究,推廣研究,類比研究,甚至可以研究這一類問題的本質(zhì).

        一個星期后的數(shù)學課上,學生互相交流探討所研究的問題與結(jié)論,學生對于問題的變式研究,類比研究大大超出我的預料,在課上,每個同學都積極參與,力求用最精煉的語言表達結(jié)論,用最嚴謹簡潔的過程證明結(jié)論的正確性,課后學生齊心協(xié)力,更是挖掘了問題的本質(zhì).1問題探究,披沙揀金

        拓展研究一平面直角坐標系中,橢圓C:x29+y25=1的左、右頂點分別為A、B,經(jīng)過點(1,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點,則直線AM、BN的交點軌跡是直線x=9.

        第二個結(jié)論是對第一個結(jié)論的推廣,證明了在任意橢圓中這樣兩直線的交點軌跡均是直線,軌跡方程只與直線所過的定點和橢圓中的系數(shù)a有關(guān).

        拓展探究三平面直角坐標系中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B為長軸兩端點,直線l過x軸上任意一點T(t,0)(t≠0)與橢圓交于M、N兩點,若直線AM、BN的交點為P,則OP·OT=a2(為定值,與t無關(guān)).

        前面已證直線AM、BN的交點P(a2t,yp),易得OP·OT=a2.

        看到這樣的結(jié)果,學生臉上露出驚訝的表情,他們從中體會到數(shù)學的神奇,一個看似很平常的問題,竟然得到這么和諧漂亮的結(jié)論.

        經(jīng)過不斷的拓展研究,條件不斷的一般化,直線過x軸上任意一點T(t,0)(t≠0)推廣為過平面內(nèi)任意一點時向量點乘積為定值的結(jié)論依然成立.

        拓展探究四平面直角坐標系中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B為長軸兩端點,直線l過平面內(nèi)任意一點T(t,s)(s≠0)與橢圓交于M、N兩點,若直線AM、BN的交點為P,直線l與x軸的交點為Q,則OP·OQ=a2(為定值,與t無關(guān)).

        證明過程類似,從略.

        如果將橢圓改為圓,結(jié)論也成立.圓可以看作是橢圓的特殊情況,在計算的過程中a、b的大小是否相等并不影響計算的結(jié)果,.

        從三線共點到結(jié)論“OP·OQ=a2”如此簡潔,如此美妙,直覺告訴我們這決不是偶然,肯定有其必然性,研究后發(fā)現(xiàn)本題有豐富的背景,它與極點和極線的知識有關(guān).

        實際上,關(guān)于極點和極線,有如下兩個常用的結(jié)論:圖2

        (1)如圖2,設(shè)P為不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線交圓錐曲線于

        E,F(xiàn),G,H,設(shè)EG,F(xiàn)H交于M,EH,F(xiàn)G交于N,則稱MN為點P對應

        的極線,同理,稱PN為點M對應的極線,PM為點N對應的極線;

        (2)對于橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),點P(x0,y0)對應的極線為

        xx0a2+yy0b2=1,特別點P(t0,0)對應的極線為x=a2t.

        有了極點極線知識,我們所拓展研究的問題就很容易解釋了:

        當直線l過x軸上任意一點T(t,0)(t≠0)時,點T(t,0)對應的極線為過點P且垂直于x軸的直線x=a2t,此時P(a2t,y0),所以O(shè)P·OT=a2.

        當直線l過平面內(nèi)任意一點T(t,s)(s≠0)時,直線l與x軸的交點為Q(m,0),點Q對應的極線還是過點P且垂直于x軸的直線x=a2m,此時P(a2m,y0),所以O(shè)P·OQ=a2.2研究性學習實踐的認識

        課堂是教學變革的主戰(zhàn)場,研究性學習只有根植于課堂,變成課堂教學中的一種常用方式,才能由一種開放的教育思想變?yōu)榭尚械慕虒W實踐,才能真正發(fā)揮其應有的價值[1].在理論學習和教學實踐中,數(shù)學課堂探究性學習必須依照數(shù)學學科的特點,努力凸顯其固有的問題性、自主性、過程性和開放性.

        2.1問題性

        “問題是數(shù)學的心臟”,它促使人們對數(shù)學本質(zhì)的探索,推動人們對數(shù)學真理的發(fā)現(xiàn).沒有問題也就難以誘發(fā)和激起探究欲望,感覺不到問題存在也就不會生成認知上的需要,就不會深入思考,學習也只能是表面和形式的訓練.數(shù)學研究性學習強調(diào)通過問題來進行學習,把問題看成學習的動力、起點和貫穿學習過程的主線[2].教學中,教師要關(guān)注課本例題和習題的結(jié)論,應該主動地尋找知識的生長點和思維的發(fā)散點,不斷地發(fā)展引申、變遷問題,進行探究.通過學習生成問題,把數(shù)學學習看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

        2.2自主性

        探究性學習是相對于授受式學習而提出的.自主性是探究性學習最本質(zhì)的規(guī)定性,也是探究式學習與授受式學習相區(qū)分的關(guān)鍵所在[3].探究性學習突出了學生作為教學活動的主體,立足于學生的學和自主性探究,以學生的主體活動為中心展開.強調(diào)學生是在教師恰到好處的引導和幫助下自主地參與教學活動,以自己的經(jīng)驗和知識為基礎(chǔ),經(jīng)過獨立的、合作的探索與發(fā)現(xiàn),親身的體驗與實踐,將知識納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中,并嘗試解決新問題.在探究性學習中,教師要適當?shù)貛椭龑W生,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的創(chuàng)造潛能,使學生的求知和創(chuàng)新意識得到發(fā)展,為學生的終身學習和畢生的發(fā)展奠定基礎(chǔ),這才是數(shù)學教育的真正意義所在.

        2.3過程性

        研究性學習追求過程和結(jié)果的和諧統(tǒng)一,它強調(diào)盡可能地讓學生經(jīng)歷一個完整的知識的發(fā)現(xiàn)、形成、應用和發(fā)展的過程.數(shù)學學科的特點決定了數(shù)學教學不宜將概念、法則、結(jié)論直接告訴學生,而應努力地揭示它們發(fā)生、發(fā)展過程,使學生在“過程”中逐漸體會并掌握獲取知識的方法,體驗數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”歷程,在這樣的探究過程中思維才有機會得以充分而自然的開啟、交流、優(yōu)化和升華.

        2.4開放性

        “數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學”.在傳統(tǒng)的授受式學習的課堂里,學生的思維基本是在教師規(guī)定的航道上運行,思維發(fā)展難有成效.學生思維的誘發(fā)不僅來自教師的啟迪,也來自于學生之間的相互啟發(fā),這就需要一個開放的教學環(huán)境.在探究的過程中,不追求問題的難度,更關(guān)注能否體現(xiàn)強烈的探究欲望和創(chuàng)新興趣;不追求解題技巧,更關(guān)注學生對數(shù)學概念、數(shù)學本質(zhì)的理解、數(shù)學思想的領(lǐng)悟.只有在民主、和諧的課堂氛圍中,學生才能自由的想象,大膽的思考,才能充分挖掘自己的潛能,全面展示自己的個性,思維才最活躍最有創(chuàng)造性.在層出不窮的新問題的探究中,學生的思維層次和創(chuàng)新意識才能向縱深發(fā)展,這也正是探究性學習的精神要旨.

        參考文獻

        [1]徐章韜,梅全雄.論基于課堂的數(shù)學探究性學習[J].數(shù)學教育學報,2013,22(6):1-4.

        [2]余文森.課堂有效教學的理論和實踐[M].北京:北京師范大學出版社,2011.

        [3]任長松.探究式學習-學生知識的自主構(gòu)建[M].北京:教育科學出版社,2005.

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