李艷清 江俊

（西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049）

引言

線性振動系統(tǒng)的模態(tài)在工程實際系統(tǒng)的分析中發(fā)揮著重要作用，如：避免結構的共振發(fā)生，利用模態(tài)疊加法求解結構的響應等.Rosenberg［1，2］基于線性模態(tài)的思想提出了非線性模態(tài)的定義：保守系統(tǒng)的模態(tài)是周期解，模態(tài)曲線在系統(tǒng)總能量曲線所圍得閉區(qū)域是單值函數(shù)，系統(tǒng)解同時通過平衡點，且同時到達最大值點.在非線性系統(tǒng)中，非線性模態(tài)也有很重要作用，當外激勵頻率和模態(tài)頻率相近時，系統(tǒng)同樣會產(chǎn)生共振行為［3］；在一定條件下，非線性模態(tài)的合成解可以近似表示原系統(tǒng)的準確解［4，5］，因此求解并研究非線性模態(tài)，特別是多余模態(tài)，如何影響系統(tǒng)響應有著實際的應用意義.

確定非線性模態(tài)主要基于三種思想：一種是先將非線性系統(tǒng)預處理，使其近似看作線性系統(tǒng)，然后求解線性系統(tǒng)的模態(tài)，在此基礎上將模態(tài)解展開為泰勒級數(shù)，通過參數(shù)變化來近似確定原系統(tǒng)的非線性模態(tài)［6］，但是此方法不能獲得系統(tǒng)的模態(tài)頻率，并且非線性模態(tài)的精度與泰勒級數(shù)的階數(shù)有關；另一種是采用Poincaré截面圖和動力系統(tǒng)不變流行理論構建求解分段線性振動系統(tǒng)的非線性模態(tài)，并在極坐標系下將其級數(shù)展開，確定系統(tǒng)的不同模態(tài)，模態(tài)的頻率-振幅的關系［7］，此方法只能獲取在平衡點附近的系統(tǒng)模態(tài)以及頻率；最后一種是采用擾動方法求解系統(tǒng)的非線性模態(tài)，并獲取相應的多余模態(tài)［8］，用級數(shù)近似擬合突變剛度，將分段剛度系統(tǒng)看作光滑系統(tǒng)來近似求解.

系統(tǒng)的參數(shù)對非線性模態(tài)影響很大，相對于相似模態(tài)運動，多余模態(tài)的運動形式多樣化，包括模態(tài)的數(shù)量和振動方式等，因此非線性模態(tài)會出現(xiàn)內(nèi)共振［9］和分岔［8，10］等.文獻［11］分析了兩自由度分段線性系統(tǒng)的模態(tài)形式及分岔的條件.文獻［12］分析了單自由度雙線性剛度系統(tǒng)中，間隙的大小和數(shù)目以及系統(tǒng)剛度對模態(tài)頻率的影響，采用線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)擾動可以近似獲得弱非線性系統(tǒng)的模態(tài).在強非線性系統(tǒng)中，文獻［13］基于不變流行概念，采用Galerkin方法求解偏微分方程獲取大振幅強非線性振動系統(tǒng)的非線性模態(tài).文獻［14］采用實驗方法驗證系統(tǒng)的非線性模態(tài)和多余模態(tài)，模態(tài)分岔和內(nèi)共振條件.一般地，對于分段光滑系統(tǒng)可以采用先對系統(tǒng)剛度［6，8］或模態(tài)運動區(qū)域［7］進行分析，然后再求解系統(tǒng)的模態(tài)，而模態(tài)解的精度由預處理的剛度或模態(tài)區(qū)域決定.

本文主要針對分段光滑線性兩自由度系統(tǒng)的非線性模態(tài)進行研究，該系統(tǒng)在位形空間不同區(qū)域內(nèi)的運動由不同的具有線性剛度的子系統(tǒng)控制.本文將直接求解各個子線性系統(tǒng)的相應模態(tài)，然后通過在分段剛度變化處進行組裝來獲取系統(tǒng)的非線性模態(tài)，而系統(tǒng)的模態(tài)頻率則通過采用加權平均的方法獲得.最后，本文將基于理論分析的結果，采用數(shù)值計算的方法尋找系統(tǒng)的多余模態(tài)，并分析多余模態(tài)與同、異相模態(tài)的關系.

1 系統(tǒng)模型

本文研究的系統(tǒng)模型是一個兩自由度具有分段階躍剛度、無阻尼的彈簧-質(zhì)量塊系統(tǒng)（見圖1）.兩質(zhì)量塊與地面光滑接觸，兩彈簧為含間隙彈簧，x1＝0和x2-x1＝0分別為兩彈簧剛度發(fā)生變化的分界點.當振子位移小于分界點時，彈簧間隙閉合，剛度為 ki，i＝1，2；當振子位移大于分界點時，彈簧間隙分開，剛度為 ki-εi，其中 εi，i＝1，2，是彈簧間隙引起的系統(tǒng)剛度的變化量（見圖2）.系統(tǒng)的運動方程為：

圖1 兩自由度分段剛度模型Fig.1 DOFmodelwith piecewise stiffness

其中

m1和m2分別為兩振子的質(zhì)量，其對應的無量綱方程為：

其中

因本文只分析剛度變化對模態(tài)的影響，所以在分析系統(tǒng)模態(tài)時，不失一般性，取單位質(zhì)量，即m1＝m2＝1.0，則可得：

圖2 模型在位形空間中不同區(qū)域內(nèi)的剛度取值，直線分別為x1＝0和x2-x1＝0Fig.2 The stiffness values in different regions of configuration space for themodel，lines represent x1＝0 and x2-x1＝0 respectively

圖2中橢圓曲線表示系統(tǒng)的能量曲線，在保守系統(tǒng)中，兩振子在能量曲線所圍的封閉區(qū)域內(nèi)振動.當質(zhì)量塊在能量線上運動時，系統(tǒng)的動能為零，勢能取最大值；當質(zhì)量塊在封閉區(qū)域內(nèi)振動時，系統(tǒng)同時具有動能和勢能，但總能量恒定.當x1＝0和x1＝x2兩彈簧變形量為零，為彈簧剛度變化的分界線，此分界線將質(zhì)量塊運動分為了四個區(qū)域，在不同區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)的剛度取不同值，且在分界直線處發(fā)生變化.當振子在第一個區(qū)域內(nèi)時，兩彈簧同時處在拉伸狀態(tài)，間隙張開，因此剛度減小，這時兩彈簧的剛度分別為 k1-ε1，k2-ε2；在第二個區(qū)域內(nèi)，彈簧1處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，剛度為k1，此時彈簧2仍處于拉伸狀態(tài)，間隙張開，剛度為k2-ε2；在第三個區(qū)域內(nèi)，兩彈簧同時處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，兩彈簧的剛度分別為k1，k2；在第四個區(qū)域內(nèi)，彈簧2處于壓縮狀態(tài)，間隙閉合，剛度為k2，而彈簧1處于拉伸狀態(tài)，間隙張開，剛度為k1-ε1.可以看出：振子在不同的區(qū)域內(nèi)，兩彈簧剛度的取值不同，對應的振幅也不同.

2 非線性模態(tài)的求解

2.1 非線性模態(tài)運動的初始位移

模態(tài)運動是指兩個質(zhì)量塊同時通過平衡點，即間隙分界點，且同時達到最大位移點的運動.為此假設模態(tài)運動的解形式為：

其中，當A、B符號相同時，表示同向模態(tài)運動，兩振子的相位差為0.當A、B符號相反時，表示反相模態(tài)運動，兩振子的相位差為π.將解（4）代入方程（1）中可得：

振幅A、B和ω為待求的值，其中幅值還需滿足系統(tǒng)的能量方程.

在保守系統(tǒng)的運動過程中，無初始速度的系統(tǒng)振子，系統(tǒng)的動能為零，機械能等于兩振子的彈性勢能之和，即：

其中E為系統(tǒng)的機械能.

根據(jù)最小勢能原理可以得到控制方程：

其中V為系統(tǒng)的勢能，x＂2和x′2分別為x2對x1的二階導數(shù)和一階導數(shù)，Vx1和Vx2分別為在能量曲線上對x1和x2求導.Vx1和Vx2滿足以下關系

將（8）代入控制方程（7）中可得：

其中η＝x′2是x1歸一化后，系統(tǒng)的模態(tài)解，表示模態(tài)曲線在位形空間中的斜率.如果系統(tǒng)的模態(tài)曲線為一次函數(shù)，則 η為常數(shù)，有 x＂2＝η′＝0.

由（2）和（3）可知，振子在不同位置，剛度 K1和K2的取值不同，其對應的幅值也不同.由能量方程（6）和控制方程（9）可以求解得模態(tài)解的振幅A和B.其將作為數(shù)值求解系統(tǒng)非線性模態(tài)的初始位移.

2.2 非線性模態(tài)頻率的求解

方程（5）中公因子 cos（ωt）是關于 t的變量，若方程（5）恒為零，其對應系數(shù)為零，可得如下關于振幅比A／B和ω的方程組：

采用帶入消元法可得到關于ω的方程：

方程（10）是關于ω2的二次方程有兩個解，分別為：

在圖2中不同的區(qū)域內(nèi)，K1和K2取值不同.將式（2）和（3）中的第一個值或第二個值代入公式（11）可求得系統(tǒng)模態(tài)頻率的最大值：

或最小值：

為求解該分段光滑線性系統(tǒng)的近似模態(tài)頻率，本文定義如下加權平均剛度：

將（13）代入（11）可求得系統(tǒng)的模態(tài)頻率為：

該公式不同于文獻［8］中給出的等效模態(tài)頻率公式：

其中：

在下一節(jié)中將通過數(shù)值方法來比較兩種計算分段光滑線性系統(tǒng)模態(tài)頻率的公式的精度.

2.3 非線性模態(tài)曲線斜率的確定

系統(tǒng)的模態(tài)運動在位形空間（x1-x2）中是彈簧剛度的函數(shù)，從方程（9）中可以得到系統(tǒng)在初始位移處模態(tài)運動的曲線：

（a）當兩振子在圖2第一區(qū)域時，K1＝k1-ε1，K2＝k2-ε2，代入系統(tǒng)模態(tài)曲線斜率公式得：

（b）當兩振子在圖2第二區(qū)域時，K1＝k1，K2＝k2-ε2，模態(tài)曲線斜率公式為：

（c）當兩振子在圖2第三區(qū)域時，K1＝k1，K2＝k2-ε2，代入系統(tǒng)模態(tài)曲線斜率公式得：

（d）當兩振子在圖2第四區(qū)域時，K1＝k1-ε1，K2＝k2，模態(tài)曲線斜率公式為：

各個區(qū)域的模態(tài)曲線的斜率都是一正一負成對出現(xiàn)，在取模態(tài)斜率時，要根據(jù)其在不同區(qū)域的其模態(tài)走勢，來決定斜率的正負值，模態(tài)運動曲線滿足方程

2.4 非線性模態(tài)的數(shù)值求解

對于給定系統(tǒng)，非線性模態(tài)是一種特殊的運動方式，且由初始位移決定.對于保守系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的初始速度為零，則由方程（6）確定滿足非線性模態(tài)運動的初始位移是關鍵.在位形空間內(nèi)，模態(tài)運動曲線連接能量曲線上的兩個固定點（即拉伸或壓縮的最大位移點），并且在兩定點處，曲線斜率不變（即兩振子的速度同時為零）.也就是說，上述兩質(zhì)點位移和速度需滿足以下條件：i）兩振子位移滿足方程（6），即該位移點在能量曲線上；ii）兩振子的速度均為零，或在i）中位移點的兩側其符號同時發(fā)生變化.

圖3中實線表示的是非線性模態(tài)運動，而虛線所表示的一般運動曲線，其與能量曲線可以有多個交點，且在每個交點處，趨近交點和遠離交點的斜率不同，所以兩振子的速度不同時為零.由此可采用如下數(shù)值解法來求解非線性模態(tài)：

1）在能量曲線上取一個初始位移點，為求同相和反相模態(tài)，可以把3.1節(jié)的理論幅值作為初始位移點的預估值.對于多余模態(tài)，其初始位移點必定在能量曲線上同相和反相模態(tài)初始位移點的預估值之間；

2）選定初始位移點后，采用龍格庫塔法求解方程（1），獲取兩振子的位移和速度.a）當所求位移和速度同時滿足條件i）和ii）時，計算停止，兩振子的位移曲線即為模態(tài)曲線；b）若位移滿足i），而速度不滿足ii）時，停止計算，說明所取的初始位移點不在模態(tài)運動的曲線上；c）若所求的位移點與選定的初始位移點的差值小于預設的誤差，則計算停止，說明兩振子完成了一個周期的運動，該運動曲線不滿足條件，不是非線性模態(tài)運動曲線.

圖3 位形空間中的非線性模態(tài)解和一般運動解.（a）同相模態(tài)的確定；（b）反相模態(tài)的確定Fig.3 The solutions of nonlinear normalmode and of othermotions.（a）The determination of the in-phasemodes；（b）The determination of the anti-phasemodes

3 非線性模態(tài)特性的分析

由于上節(jié)的分析是針對分段線性系統(tǒng)各個光滑段分別進行分析處理，其只是對于真實系統(tǒng)非線性模態(tài)的近似處理，其可為數(shù)值求解該系統(tǒng)非線性模態(tài)提供初值的估算方法.通過數(shù)值計算與理論結果的比較也可以幫助我們認識，在多大程度上近似理論分析可以用來對非線性模態(tài)特性進行估計.在本文下面的分析中系統(tǒng)參數(shù)將取如下值：m1＝1.0，m2＝1.0，k1＝1.0，k2＝1.8，E＝10.0.

3.1 同相模態(tài)

同相模態(tài)是指系統(tǒng)振子同步振動，兩彈簧同時拉伸或同時壓縮，且同時同向達到最大位移或通過分界點，兩振子的運動在第Ⅰ和Ⅲ區(qū)域內(nèi)（見圖4）.如果模態(tài)曲線與x軸的夾角為45°，說明兩振子的位移差是常數(shù)，兩振子的速度相同，兩彈簧的壓縮比不變，加速度大小也不變.如果模態(tài)曲線在第Ⅰ區(qū)域的傾角大于45°，則表明：Δx2大于Δx1，m2的速度和加速度也比較大.如果模態(tài)曲線在第Ⅲ區(qū)域的傾角大于225°，則表明：Δx2的大于 x1，m2的負向速度和負向加速度也較大.反之亦成立.

圖4 同相模態(tài)運動曲線，剛度值 k1＝1.0，k2＝1.8.虛線（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），點劃線（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），實線（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）Fig.4 The in-phase normalmode curves，the stiffness is k1＝1.0，k2＝1.8.where dash line is in the case of（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），the dot-dash line（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），and the line（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）

但非線性模態(tài)曲線的形狀由系統(tǒng)的剛度和間隙值決定，下面討論 ε2＝0.75，而 ε1變化時，對應的同相模態(tài)曲線的變化情況.由圖4可以看出：k1、k2和k2-ε2不變，能量曲線在Ⅰ和Ⅳ區(qū)域的形狀僅由ε1決定，且隨著ε1的增大而伸長.此時，模態(tài)曲線向右下方傾斜.由于能量曲線在Ⅱ和Ⅲ區(qū)域的形狀不由ε1決定，隨著ε1的增大，能量曲線的形狀未發(fā)生變化，但模態(tài)曲線傾斜和彎曲發(fā)生變化，并偏離x2-x1＝0直線，表明非線性特征逐漸增強.

在圖5中，實線為數(shù)值計算的模態(tài)曲線，紅虛線為理論估算的模態(tài)曲線.當間隙（裂紋）誘導的剛度變化量小時，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線基本重合（見圖 5a，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，0.8，0.15，0.15））；而隨著間隙誘導的剛度變化量大時，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線走勢雖然基本一致，但可以看出，數(shù)值模態(tài)曲線已不再是直線.表明此時非線性特征增強（見圖 5b，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75））.

圖5 同相模態(tài)運動曲線.虛線表示理論結果，實線為數(shù)值計算結果.Fig.5 The in-phase normalmode curve.The dash line is the theoretical one and the line is the numerical one.

表1給出了間隙誘導不同剛度變化量下，采用理論公式（14）計算系統(tǒng)同相模態(tài)頻率與數(shù)值計算的同相模態(tài)頻率的比較，可以看出：本文提出的理論計算模態(tài)頻率，結果誤差不超過2%，較文獻［8］中采用的等效模態(tài)頻率更為準確.表中還可以看出：數(shù)值確定的模態(tài)曲線的初始位移與理論預估的初始位移相差不大，后者可作為數(shù)值求解模態(tài)曲線的預估值.

表1 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8同相模態(tài)對應數(shù)值和理論結果Table 1 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8 The theoretical and numerical value about the in-phase normalmode

3.2 反相模態(tài)

在反相模態(tài)運動中，兩振子運動的相位差為180o，即同時反向達到最大位移，交替出現(xiàn)一個彈簧拉伸、另一個彈簧壓縮.圖6為間隙誘導不同剛度變化量下的反相模態(tài)曲線圖.可以看出：只要εi，i＝1，2，不為零，反相模態(tài)曲線就不經(jīng)過原點.但間隙誘導的剛度變化量值越小，反相模態(tài)曲線越靠近原點.另外，反相模態(tài)曲線經(jīng)過第Ⅰ、Ⅱ和Ⅳ區(qū)域，在第Ⅱ和Ⅳ區(qū)域，兩彈簧出現(xiàn)一拉、一壓的情形，而在第一區(qū)域，兩彈簧同時處在拉伸狀態(tài)，但是兩振子的運動方向相反.

圖6 反相模態(tài)運動曲線，剛度值 k1＝1.0，k2＝1.8.虛線（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），點劃線（ε1，ε2）＝（0.45，0.75），實線（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）Fig.6 The anti-phase normalmode curve，the stiffness is k1＝1.0，k2＝1.8.where the dash line is in the case of（ε1，ε2）＝（0.0，0.75），the dot-dash line（ε1，ε2）＝（0.45，0.75）and the line（ε1，ε2）＝（0.75，0.75）

在圖7中，實線為數(shù)值計算的模態(tài)曲線，虛線為理論估算的模態(tài)曲線.由于假設解的形式?jīng)Q定了理論模態(tài)曲線通過坐標原點，當間隙（裂紋）誘導的剛度變化量小時，理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線相接近（見圖7a，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，0.8，0.15，0.15））；而隨著間隙誘導的剛度變化量增大時，雖然理論模態(tài)曲線和數(shù)值模態(tài)曲線的斜率基本一致，但可以看出，數(shù)值模態(tài)曲線偏離原點的距離也在增大，其原因主要由于系統(tǒng)的非對稱性所致（見圖7b，參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75））.

圖7 反相模態(tài)運動曲線.虛線表示理論結果，實線為數(shù)值計算結果.Fig.7 The anti-phase normalmode curve.The dash line is the theoretical one and the line is the numerical one.

表2給出了間隙誘導不同剛度變化量下，采用理論公式（14）計算系統(tǒng)反相模態(tài)頻率與數(shù)值計算的反相模態(tài)頻率的比較，可以看出：本文提出的理論計算模態(tài)頻率較文獻［8］中采用的等效模態(tài)頻率更為準確.表中還可以看出：隨著間隙誘導剛度變化量的增大，理論預估的初始位移與數(shù)值確定的模態(tài)曲線的初始位移相差越來越大，說明理論假設的反相模態(tài)曲線的解有待于進一步改進.

表 2 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8反相模態(tài)對應數(shù)值和理論結果Table 2 E＝10.0、k1＝1.0、k2＝1.8 The theoretical and numerical value about the anti-phase normalmode

圖8 非線性系統(tǒng)的多余模態(tài)運動曲線及其對應的初始坐標，其中：參數(shù)（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75）.初始位移分別為：（a）（x0，y0）＝（-2.7000，-5.3573）；（b）（x0，y0）＝（-1.3250，-4.5087）；（c）（x0，y0）＝（0.4250，-2.8978）；（d）（x0，y0）＝（4.6000，2.9023）；（e）（x0，y0）＝（5.3000，4.8673）Fig.8 The abundant normalmode curves and the corresponding initial values.The parameters（k1，k2，ε1，ε2）＝（1.0，1.8，0.3，0.75）.The initial values are（a）（x0，y0）＝（-2.7000，-5.3573）；（b）（x0，y0）＝（-1.3250，-4.5087）；（c）（x0，y0）＝（0.4250，-2.8978）；（d）（x0，y0）＝（4.6000，2.9023）；（e）（x0，y0）＝（5.3000，4.8673），respectively

3.3 多余模態(tài)

非線性系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)會大于系統(tǒng)的自由度數(shù).非線性模態(tài)除去與其線性化系統(tǒng)對應的模態(tài)外的其它模態(tài)，稱為多余模態(tài).多余模態(tài)往往是由于非線性系統(tǒng)滿足內(nèi)共振條件時產(chǎn)生的，其表現(xiàn)為基本（同相和反相）模態(tài)之間的能量轉換運動.

由于非線性多余模態(tài)的形式和數(shù)量事先是未知的，本文采用數(shù)值方法，通過在能量曲線上搜索，來尋找滿足模態(tài)運動條件的多余模態(tài)的初值.圖8給出了在給定系統(tǒng)參數(shù)值時，找到的五個多余模態(tài)曲線和其相對應的初值點坐標.可以看出：多余模態(tài)分別呈現(xiàn)Z型和S型.Z型模態(tài)曲線的上下兩段曲線與反相模態(tài)曲線方向相同，包含有反相模態(tài)運動的信息，而連接上下兩段曲線的中間曲線與同相模態(tài)曲線方向相同，含有同相模態(tài)的信息.S型模態(tài)曲線上下兩段曲線與同相模態(tài)曲線方向相同，包含同相模態(tài)運動信息，而連接上下兩段曲線的中間曲線與反相模態(tài)曲線方向相同，含有反相模態(tài)的信息.由此可知：多余模態(tài)確實是由同相模態(tài)運動和反相模態(tài)運動組合而成的.

4 結論

本文針對含間隙的二自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)模型的非線性模態(tài)開展了研究.首先，通過假設模態(tài)解的形式，求解出了分段光滑系統(tǒng)的同相模態(tài)和反相模態(tài)解.并提出了一種加權估算系統(tǒng)同相和反相模態(tài)頻率的理論公式.通過數(shù)值求解系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，證實：本文所提的預估系統(tǒng)模態(tài)頻率的公式較之前文獻中的等價模態(tài)頻率的計算公式更為準確.另外，理論模態(tài)解可以作為數(shù)值求解方法的預估初值.由于非線性系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)會高于系統(tǒng)的自由度數(shù)，本文根據(jù)系統(tǒng)模態(tài)滿足的條件，并采用數(shù)值方法，通過對能量曲線上點的搜索，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的五個多余模態(tài).這五個多余模態(tài)均表現(xiàn)為同相和反相模態(tài)的內(nèi)共振運動行為.

雖然，理論分析的結果在一定程度上（間隙誘導的剛度變化量小時）可以反映該非光滑系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，但隨著間隙誘導的剛度變化量增大時，理論預測的誤差越來越大，因此，有待于進一步改進理論假設解函數(shù)的形式，以便更準確地預測系統(tǒng)的同相和反相模態(tài)，甚至是多余模態(tài)，對此需要進一步研究.

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