王冬梅 張偉 李慕榮

（1.北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）（2.濟寧學院數(shù)學系，曲阜 273155）（3.濟寧金橋煤礦，濟寧 272200）

引言

軸向移動粘彈性梁可以作為多種工程裝置的力學模型，比如動力傳送帶、磁帶、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機纜道、單索架索道等.軸向移動粘彈性梁的非線性動力學性質對工程裝置的穩(wěn)定性和可靠性有著重要的影響.因此分析軸向移動粘彈性梁的非線性振動的非線性動力學行為對分析解決工程的實際問題有著重要的意義.中外學者采用各種近似方法對此作了大量工作.2000年，?z［1］等用直接多尺度法研究了剛度較小、速度有微小擾動情況下的軸向運動梁.2002年Marynoeski和Kapitaniak［2］采用 Galerkin方法，分析了 Kelvin和 Burgers兩種粘彈性模型下軸向運動梁的動態(tài)特性.2005年和 2006年，楊曉東和陳立群［3-4］采用Galerkin方法對軸向移動梁的動力學特性比如共振穩(wěn)定性、分叉和混沌等做了大量的研究，取得了許多有意義的成果.2009年，丁虎和陳立群［5］分別用微分求積法和有限差分法對軸向移動梁的兩種非線性橫向振動模型進行了分析比較.以上文獻都是對軸向移動梁的橫向平面振動進行的研究，對其非平面非線性振動的研究還很少.2010年，陳麗華等［6］用3階伽遼金截斷研究了軸向移動梁面內和面外耦合的非線性振動，討論了軸向加速度的振幅、頻率對其長時間動力學行為分叉、混沌的影響.2013年，Ghayesh和 Amabili［7］利用 Galerkin方法研究了軸向移動鐵木辛哥梁三維非線性平面振動的非線性動力學行為.

國內外學者大都采用Galerkin方法研究軸向移動梁的非線性動力學特性，很少有學者用微分求積法對軸向移動梁的非線性動力學性質進行分析.用微分求積法來分析軸向移動梁非平面非線性振動的研究還未見報道.微分求積法相比于Galerkin方法原理簡單（不依賴變分原理），計算量小，對非線性動力學方程可以直接求解，減少了Galerkin方法尋找模態(tài)函數(shù)的麻煩.另外，Galerkin方法處理問題時僅提取有限的低階振型作近似處理，Galerkin方程的形成，需要積分，當階數(shù)較高時，非線性項的顯式表達式很難求出；而微分求積法則克服了這種局限性，本質上考慮了所有振型的綜合貢獻.

本文利用微分求積法對軸向移動梁橫向非平面非線性振動的復雜動力學特性（分叉、混沌、周期等）進行分析.

1 控制方程組

陳麗華等人［6］利用哈密頓原理建立的軸向移動粘彈性梁橫向非平面非線性振動的動力學控制方程為如下非線性偏微分方程組：

邊界條件：

其中，ρ為密度，A是截面積，l是梁的長度，v（x，t），w（x，t）分別表示軸向移動梁面內和面外橫向振動的位移，η是粘彈系數(shù)，E是楊氏模量，Jy，Jz和Jyz是慣性力矩.假定在預緊力P0處有一小的擾動P1sinωt，也就是說緊力 P＝P0+P1sinωt；假定軸向運動的速度是簡諧變化的，也就是c＝c0+c1sinωt.這種假設是有它的物理意義的.比如，當我們用軸向移動梁來模擬一對轉動輪上的帶時，輪子轉動時的擾動，會引起帶軸向移動速度的擾動.

2 微分求積法求解控制方程

微分求積法的基本原理是將函數(shù)在求解區(qū)域內的每個網格點處的導數(shù)值用域內全部網格點上的函數(shù)值的加權線性和近似表示.關于微分求積法的理論在文獻［9］中有詳細的論述，包括權系數(shù)的計算、節(jié)點的選取、邊界條件的處理等.

依照微分求積法原理，引入N個網格點：

方程（1）中未知函數(shù)對空間變量的各階偏微分在各網格點處的值可以表示為

其中分別是微分求積法中一階導數(shù)、二階導數(shù)、四階導數(shù)的權系數(shù)，其計算公式見文獻［8］，v，x（xi，t）v，xx（xi，t），v，xxxx（xi，t），w，x（xi，t），w，xx（xi，t），w，xxxx（xi，t）分別表示函數(shù) v（x，t），w（x，t）在各節(jié)點處關于空間變量x一階、二階、四階偏導數(shù)，˙v（xi，t），˙w（xi，t）分別表示函數(shù) v（x，t），w（x，t）在各節(jié)點處對時間t的一階導數(shù).因系統(tǒng)（1）的邊界條件是簡支邊界條件，可用權系數(shù)矩陣修正法［8］處理該邊界條件.處理邊界條件后，將（4）代入控制方程（1）得，

其中 vj＝v（xj，t），wj＝w（xj，t），（j＝2，3，…，N-1）.方程（5）是以2×（N-2）個軸向移動粘彈性梁面內和面外振動的位移（v2，v3，…，vN-1），（w2，w3，…，wN-1）為未知變量的非線性常微分方程組.給定初始條件和參數(shù)，求解常微分方程組（5）既得軸向移動粘彈性梁橫向非平面非線性振動的動力學響應.

3 軸向移動梁非平面振動的動力學性質

給定初始條件和參數(shù) v（x，0）＝0，vt（x，0）＝0.01，w（x，0）＝0，wt（x，0）＝0.01，ρ＝1000kg／m3，A＝1×10-4m2，l＝1.0m，Jy＝＝0，ω＝15HZ，E＝1.5×108N／m2，η＝4.0×105Ns／m2，P0＝P1＝100N，對常微分方程組（5）進行求解，在數(shù)值結果的基礎上利用分叉圖、相圖、時間歷程圖對軸向移動粘彈性梁橫向非平面非線性振動的動力學行為進行分析.分別考慮了軸向運動定常速度、軸向運動速度變化幅值對其動力學行為的影響.

3.1 軸向運動定常速度的影響

取軸向運動速度變化幅值c1＝2.1m／s，作出面內和面外振動的位移v和w隨軸向運動定常速度c0在區(qū)間15，[]25 m／s上變化時的分叉圖如圖1.從分叉圖1我們可以看出在c0由15m／s變化到大約21.9 m／s時，面內運動和面外運動都是混沌運動.隨著c0的增加，出現(xiàn)了一個小的周期窗口，即面內運動和面外運動都由混沌運動變?yōu)橹芷谶\動.大約增大到23.1m／s時，二者運動又都變?yōu)榛煦邕\動了.當c0繼續(xù)增大到24m／s時，二者運動又變?yōu)橹芷诘牧?

圖1 軸向運動定常速度的影響（a）位移v隨c0變化的分叉圖；（b）位移w隨c0變化的分叉圖Fig.1 Effect ofmean axial velocity（a）bifurcation diagrams for the displacement v via c0；（b）bifurcation diagrams for the displacement w via c0

3.2 軸向運動速度變化幅值的影響

圖2 軸向運動速度變化幅值的影響（a）位移v隨c1變化的分叉圖；（b）位移w隨 c1變化的分叉圖Fig.2 Effect of amplitude of axial velocity fluctuation（a）bifurcation diagrams for the displacement v via c1；（b）bifurcation diagrams for the displacement w via c1

取軸向運動定常速度c0＝20.5m／s，作出面內和面外振動的位移v和w隨軸向運動速度變化幅值 c1在區(qū)間 [0 .5，3.5] m／s上變化時的分叉圖如圖2.從分叉圖2我們可以看出在c1由0.5m／s變化到大約1.4m／s時，面內運動呈2倍周期運動，面外運動呈單倍周期運動.面內運動由單倍周期運動變化為2倍周期運動.隨著c1的增大，面內運動和面外運動都由周期運動變化為混沌運動.當c1增大到1.5m／s時，混沌運動消失，面內和面外運動變?yōu)槎啾吨芷谶\動.很快，二者運動又進入混沌狀態(tài)直到最后.

圖1和圖2都表明，在相同參數(shù)下，面內運動和面外運動的動力學性質始終保持一致，即二者同時進入周期運動或混沌運動.下面圖3～圖5是一些典型的周期運動和混沌運動的相圖，時間歷程圖.其中（a）是以面外運動速度、面外運動位移以及面內運動的位移為橫、縱、豎坐標的三維相圖，（b）和（c）分別是以面內運動的速度、位移，面外運動的速度、位移為橫縱坐標的平面相圖.（d）和（e）分別表示面內運動位移和面外運動位移隨時間變化的波形圖.從這些圖形中可以看出，在相同參數(shù)下，無論是從相圖，還是時間歷程圖所得的軸向移動梁橫向非平面振動的動力學性質是相同的.

圖3 c0＝20.5m／s，c1＝0.5525m／s時周期運動Fig.3 Periodic motion appears when c0＝20.5m／s，c1＝0.5525m／s

圖4 c0＝20.5m／s，c1＝1.3325m／s時周期運動Fig.4 Periodic motion appears when c0＝20.5m／s，c1＝1.3325m／s

圖5 c0＝16m／s，c1＝2.1m／s時混沌運動Fig.5 Chaotic motion appears when c0＝16m／s，c1＝2.1m／s

4 結論

用微分求積法對軸向移動粘彈性梁面內和面外振動耦合的非平面非線性振動的動力學行為進行了分析.利用分叉圖分別研究了軸向運動定常速度和軸向運動速度變化幅值對軸向移動梁非平面振動的影響.為了具體地描繪由分叉圖得到的軸向移動梁非平面振動的非線性動力學性質，作出了一些典型的周期運動和混沌運動的相圖和時間歷程圖.以上研究結果表明微分求積法能夠有效地用來分析軸向移動梁高維非線性系統(tǒng)的動力學性質.

1 ?zkaya E，PakdemirliM.Vibrations of an axially accelerating beam with small flexural stiffness.Journal of Sound and Vibration，2000，234（3）：521～535

2 Marynowski K，Kapitaniak T.Kelvin-Voigt versus Burgers internal damping in modeling of axially moving viscoelastic web.International Journal of Non-linear Mechanics，2002，37：1147～1161

3 Yang X D，Chen L Q.Bifurcation and chaos of an axially accelerating viscoelastic beam.Chaos，Solitons and Fractals，2005，23：249～258

4 ChenL Q，Yang X D.Transverse nonlinear dynamics of axially accelerating viscoelastic beams based on 4-term Galerkin truncation.Chaos，Solitons and Fractals，2006，27（3）：748～757

5 Ding H，Chen L Q.On two transverse nonlinearmodels of axially moving beams.Science in China Series E：Technological Sciences，2009，52（3）：743～751

6 ChenL H，Zhang W，Yang F H.Nonlinear dynamics of higher-dimensional system for an axially accelerating viscoelastic beam with in-plane and out-of-plane vibrations.Journal of Sound and Vibration，2010，329：5321～5345

7 Ghayesh M H，Amabili M.Three-dimensional nonlinear planar dynamics of an axially moving Timoshenko beam.Archive and Applied Mechanics，2013，83：591～604

8 Shu C.Differential quadrature and its application in engineering.Berlin：Springer，2000