仲啟龍 邵永暉 鄭永愛(ài)

（揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院，揚(yáng)州 225127）

引言

盡管分?jǐn)?shù)階微積分理論有300多年的歷史，但因長(zhǎng)時(shí)間沒(méi)有實(shí)際的應(yīng)用背景而發(fā)展緩慢.自從1983年Mandelbort指出自然界及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中存在大量的分?jǐn)?shù)維事實(shí)，分?jǐn)?shù)階微積分才取得了很大的進(jìn)展.另一方面，OGY控制方法［1］和 PC同步方法［2，3］的提出，使整數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制和同步有了突破性的發(fā)展.然而由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步在保密通信、信號(hào)處理和系統(tǒng)控制等領(lǐng)域比整數(shù)階混沌系統(tǒng)擁有更突出的應(yīng)用前景和發(fā)展前途，因此近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究受到很多學(xué)者的重視，有了很多的成果.分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的方法相繼被提出，例如，自適應(yīng)同步［4］、耦合同步［5］、主動(dòng)控制同步［6］、滑模控制同步［7-11］、魯棒觀測(cè)器同步［12-13］等.近來(lái)，一些學(xué)者結(jié)合多種控制方法實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步.結(jié)合自適應(yīng)控制和模糊滑模控制，文獻(xiàn)［14］實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步；文獻(xiàn)［15］利用主動(dòng)滑模變結(jié)構(gòu)控制實(shí)現(xiàn)不同維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步；文獻(xiàn)［16］設(shè)計(jì)整數(shù)階滑模面，利用單向耦合特性實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步.文獻(xiàn)［17］利用分?jǐn)?shù)階微積分設(shè)計(jì)滑模面，實(shí)現(xiàn)不同維的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步，但該文中需要對(duì)每一維狀態(tài)分量分別設(shè)計(jì)滑模面.

針對(duì)文獻(xiàn)［17］中需要對(duì)每一維狀態(tài)分量分別設(shè)計(jì)滑模面，本文提出一個(gè)新的同步分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的主動(dòng)滑?？刂品椒?，該方法首先用分?jǐn)?shù)階積分對(duì)所有維狀態(tài)分量設(shè)計(jì)一個(gè)滑模面，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在該滑模面上穩(wěn)定.然后采用極點(diǎn)配置的方法獲得主動(dòng)滑?？刂破髦械脑鲆婢仃?通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性.

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微分的定義有多種，其中應(yīng)用較多的是Riemann-Liouville（R-L）分?jǐn)?shù)階微分和Caputo分?jǐn)?shù)階微分［18］.在理論研究中應(yīng)用較多的是R-L定義.由于Caputo的分?jǐn)?shù)階微分定義更容易給出分?jǐn)?shù)階微分方程的初值條件，因而在工程中應(yīng)用較廣.本文采用R-L積分算子以及Caputo定義.

定義1Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子這里 q＞0，f：R→R，Γ（·）為伽瑪函數(shù)，且

定義2Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義

這里 n-1≤q≤n∈N，f（t）為在 t＞0時(shí)在［0，t］上有n+1階連續(xù)有界可導(dǎo)的函數(shù).

文獻(xiàn)［19］研究并給出了判斷分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件.

引理1考慮自治系統(tǒng)如下

其中，

如果有

1）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)矩陣A的任意特征值｜arg（eig（A））｜＞απ／2恒成立，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，

2）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)矩陣A的任意特征值｜arg（eig（A））｜＞απ／2恒成立，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，

圖1 階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域Fig.1 Stability region of linear system with order

α階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示，對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)如果其在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣的所有特征值都在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，則該平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的主動(dòng)滑模同步

系統(tǒng)形式如下：

其中 x＝［x1，x2，…，xn］T為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輸入，y＝［y1，y2，…，yn］T為響應(yīng)系統(tǒng)輸入，A為系統(tǒng)線性項(xiàng)系數(shù)矩陣，f（·）為系統(tǒng)的非線性項(xiàng)，u（t）＝［u1，u2，…，un］T為系統(tǒng)控制輸入項(xiàng).

設(shè)響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)之間的狀態(tài)誤差.

則

其中 e＝［e1，e2，…，en］T.

我們只要選取合適的控制器u（t），使得，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步.

控制器設(shè)計(jì)如下：

其中 k＝［k1，k2，k3］T∈R，

誤差系統(tǒng)方程為

設(shè)計(jì)滑模面為

其中 c＝［c1，c2，c3］∈R，則

當(dāng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在滑模面運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑模面應(yīng)滿足

將誤差系統(tǒng)（7）代入（11）得

化簡(jiǎn)上式可得等效控制

將系統(tǒng)（13）代入誤差系統(tǒng)（7）得

其中B＝k，K＝（ck）-1cA

利用極點(diǎn)配置［20］的方法使得系統(tǒng)矩陣（ABK）的特征值為｛p1，p2，…，pn｝，誤差系統(tǒng)配置在穩(wěn)定范圍內(nèi).

其中｛γ0，γ1，…，γn-1｝是系數(shù)矩陣 A的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，即

｛β0，β1，…，βn-1｝是系數(shù)矩陣（A-BK）的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，即

矩陣

然后設(shè)計(jì)滑模到達(dá)控制律

式中 μ，τ＞0，sgn（·）為符號(hào)函數(shù).將（9）式代入（19）式得

將（7）式代入得

化簡(jiǎn)

定理1從任意初始條件出發(fā)，誤差系統(tǒng)（7）始終滿足 ˙s＝-μsgn（s）-τs的滑模到達(dá)條件，則誤差系統(tǒng)（7）能在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)趨近滑模面（8）.

證明： 考慮如下的Lyapunov指數(shù)

這里 μmin＝min｛μi｝，τmin＝min｛τi｝，i＝1，2，…，n.因此，對(duì)所有μmin＞0和τmin＞0，系統(tǒng)的軌跡在控制律（19）的作用下達(dá)到滑動(dòng)模態(tài).證畢.

當(dāng)誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)有

由極點(diǎn)配置定理可控制系統(tǒng)的特征值｛p1，p2，…，pn｝滿足｜arg（pi）｜＞，i＝1，2，…，n.所以系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，所以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)同步.

3 仿真示例

以分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，以下分別為響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).

其中 a＝0.96，a＝10，b＝28，c＝8／3.

系統(tǒng)誤差方程為

設(shè)計(jì)控制器如下

因此誤差系統(tǒng)（27）可以表示成

滑模面定義為：

滑模面應(yīng)滿足以下條件

化簡(jiǎn)（32）式可得等效控制

然后將（33）式代入（29）式的系統(tǒng)的誤差方程得

化簡(jiǎn)得

利用極點(diǎn)配置的方法，設(shè)定參數(shù) c1，c2，c3與k1，k2，k3使得｜arg（pi）｜＞απ／2，i＝1，2，3，其中 pi為誤差系統(tǒng)參數(shù)矩陣的特征值.特征值設(shè)計(jì)如下：p1＝-0.0063，p2＝-0.0018+2.0001i，p3＝-0.0018-2.0001i，k1＝k2＝k3＝1，則 c1＝1.5475，c3＝-0.0379，˙s＝-0.2sgn（s）-20s.

初值（x10，x20，x30）T＝（2，-1.5）T，（y10，y20，y30）T＝（5，-3，-2）T，時(shí)間步長(zhǎng) h＝0.01，在 t＝20s時(shí)加入控制.

圖2 同步誤差與控制變量狀態(tài)曲Fig.2 States trajectories of the synchronization error and state variables

用Matlab對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，圖2為系統(tǒng)同步誤差與控制變量狀態(tài)曲線圖.從圖中可以看出，當(dāng)未加控制變量時(shí)，系統(tǒng)誤差始終在變化；當(dāng)t＝20s時(shí)加入控制變量后，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)很快趨于同步.

4 結(jié)論

基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題，本文提出同步分?jǐn)?shù)階主動(dòng)滑?？刂品椒?，首先設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階積分滑模面，然后利用極點(diǎn)配置法處理控制器增益矩陣，控制系統(tǒng)達(dá)到同步，并且進(jìn)行了穩(wěn)定性分析證明.以分?jǐn)?shù)階Lorenz為例進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性.

1 Ott E，Grebogi C，Yorke JA.Controlling chaos.Physics Review Letters，1990，64：1196～1199

2 Carroll T L，Pecora L M.Synchronizing chaotic circuits.IEEE Transactions of Circuits System I，1991，38：453～456

3 Pcora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems.Physics Review Letters，1990，64（8）：821～824

4 Yang Q G，Zeng CB.Chaos in fractional conjugate Lorenz system and its scaling attractors.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010：4041～4051

5 Zhu H，Zhou S B，He Z S.Chaos synchronization of the fractional-order Chen’s system.Chaos，Solitons and Fractals，2009，41：2733～2740

6 Radwan A G，Moaddy K，Salama K N，et al.Control and switching synchronization of fractional order chaotic systems using active control technique.Journal of Advanced Research，2013，13（1）：125～132

7 劉丁，閆曉妹.基于滑?？刂茖?shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步.物理學(xué)報(bào)，2009，58（6）3747～06（Liu D，Yan X M.Projective synchronization of fractional2order chaotic systems based on sliding mode control.Acta Physica Sinica，2009，58（6）：3747～06（in Chinese））

8 Yin C，Dadras S，Zhong SM，et al.Control of a novel class of fractional-order chaotic systems via adaptive sliding mode control approach.Applied Mathematical Modelling，2013，37：2469～2483

9 Chen N，Wang N Z.Synchronization of chaotic systems via slidingmode controlwith fractional approach law.In：Con-trol and Decision Conference（CCDC），2011：1304～1307

10 曹鶴飛，張若洵.基于滑模控制的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.物理學(xué)報(bào)，2011，60（5）：050510（Cao H F，Zhang R X.Adaptive synchronization of fractional-order chaotic system via slidingmode control.Acta Physica Sinica，2011，60（5）：050510（in Chinese））

11 孫寧，張化光，王智良.基于分?jǐn)?shù)階滑模面控制的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的投影同步.物理學(xué)報(bào)，2011，60（5）：050511（Sun N，Zhang H G，Wang Z L.Fractional sliding mode surface controller for projective synchronization of fractional hyperchaotic systems. Acta Physica Sinica，2011，60（5）：050511（in Chinese））

12 Li C L，Sua K L，Tong Y N，et al.Robust synchronization for a class of fractional-order chaotic and hyperchaotic systems.Optik-International Journal for Light and Electron，2013，124（18）：3242～3245

13 Gammoudi IEl，F(xiàn)eki M.Synchronization of integer order and fractional order Chua’s systems using robust observer.Communication in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18：625～638

14 Lin T C，Lee T Y.Chaos synchronization of uncertain fractional-order chaotic systemswith time delay based on adaptive fuzzy sliding mode control.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2011，19（4）：623～635

15 Bai J，Yu Y G.The synchronization of fractional order chaotic systems with different dimensions through sliding mode control.International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications，2011，4：239～243

16 Razminia A，Baleanu D.Complete synchronization of commensurate fractional order chaotic systems using sliding mode control.Mechatronics，2013，23（7）：873～879

17 黃麗蓮，齊雪.基于自適應(yīng)滑?？刂频牟煌S分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步.物理學(xué)報(bào)，2013，62（8）：080507（Huang L L，Qi X.The synchronization of fractional order chaotic sysemswith differentorders based on adaptive slidingmode control.Acta Physica Sinica，2013，62（8）：080507（in Chinese））

18 Podlubny I.Fractional differential equations.New York：San Diego Academic Press，1999

19 Ahmed E，El-Sayed AM A，El-Saka H A A.Equilibrium points，stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，325（1）：542～553

20 Naceri A，Mansouri N，Charef A.Prediction-based feedback control of fractional order system.IEEE，2008：908～912