馮士民，周穗華，應(yīng)文威

(1.海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033;2.91635 部隊(duì)，北京102249)

甚低頻和超低頻通信系統(tǒng)中，受雷電等產(chǎn)生的大氣噪聲的影響，噪聲往往具有明顯的非高斯特性，即時(shí)域上呈現(xiàn)“高尖峰”特性，頻譜上呈現(xiàn)“重拖尾”特性。傳統(tǒng)的線性接收機(jī)或高斯接收機(jī)在非高斯噪聲環(huán)境下性能急劇惡化，嚴(yán)重影響通信系統(tǒng)的正常工作，因此為了實(shí)現(xiàn)信號(hào)的最佳接收，需要對(duì)噪聲進(jìn)行建模和參數(shù)估計(jì)［1-4］。對(duì)超低頻大氣噪聲的建模，包含有限混合高斯模型、對(duì)稱α 穩(wěn)定分布模型和高斯尺度混合(Gaussian scale mixture，GSM)分布模型等［5-7］。由于對(duì)稱α 穩(wěn)定分布模型及部分GSM 模型沒有二階矩，不能定量表示噪聲功率，因此，筆者在對(duì)噪聲建模時(shí)，采用有限混合高斯模型。同時(shí)，在信號(hào)檢測(cè)方法上，采用傳統(tǒng)的最大期望算法或最大似然估計(jì)設(shè)計(jì)信號(hào)檢測(cè)算法［8-10］，由于該模型參數(shù)較多，其概率密度計(jì)算難度大，精度也不夠理想。馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo，MCMC)算法能夠解決具有高維度且形式復(fù)雜的未知參數(shù)的后驗(yàn)概率計(jì)算問題，是一種在統(tǒng)計(jì)計(jì)算中性能優(yōu)越的方法［11-12］。因此，筆者基于MCMC 方法設(shè)計(jì)了信號(hào)在非高斯噪聲下的盲檢測(cè)算法，其迭代收斂快，精度高，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

1 信號(hào)檢測(cè)模型

1.1 系統(tǒng)模型

在瑞利平坦衰落信道下，分段處理的時(shí)間段內(nèi)信道衰落系數(shù)不變，認(rèn)為發(fā)送端信號(hào)疊加噪聲就是接收端信號(hào)，因此建立信號(hào)檢測(cè)模型：

式中：S1，S2，…，SN為發(fā)射端信號(hào);X1，X2，…，XN為接收端信號(hào);N1，N2，…，NN為噪聲;a為信道衰減系數(shù)。因?yàn)樯醯皖l、超低頻信號(hào)傳輸速率較低，在實(shí)際接收信號(hào)時(shí)會(huì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行多次采樣，當(dāng)對(duì)每個(gè)符號(hào)采樣M次時(shí)，Si=［Si1，Si2，…，SiM］T，Xi=［xi1，xi2，…，xiM］T，Ni=［ni1，ni2，…，niM］T。因?yàn)镸SK 調(diào)制方式可以分解為兩路正交的BPSK 調(diào)制，所以在基帶上對(duì)信號(hào)檢測(cè)時(shí)，Sij∈{1，-1}，i=1，2，…，N，j=1，2，…，M。即在一個(gè)采樣周期內(nèi)，發(fā)射信號(hào)Si1=Si2=… =SiM，而接收端信號(hào)xi1，xi2，…，xiM由于噪聲ni1，ni2，…，niM不同，是不相等的。

式(1)中，序列Xi是已知的，衰減系數(shù)a、序列Si和Ni未知。在對(duì)信號(hào)檢測(cè)時(shí)，需要根據(jù)已知序列Xi，在準(zhǔn)確估計(jì)衰減系數(shù)a和噪聲序列Ni的前提下，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)序列Si的檢測(cè)。

1.2 噪聲模型

有限混合高斯模型，理論上可逼近任意概率密度分布，如式(2)所示，其中，=dist為相同分布。

式中：N(0，)為第l個(gè)0 均值的高斯分布;為方差;ωl為第l個(gè)高斯分布的權(quán)重，并且滿足

對(duì)于噪聲數(shù)據(jù)集{nij}，引入類別指示變量T={tij，i=1，2，…，N，j=1，2，…，M}對(duì)nij進(jìn)行類別分組，當(dāng)nij屬于第l個(gè)高斯分布N(0，σ)時(shí)，tij的取值為l，tij滿足：

根據(jù)式(2)和式(3)，可得出噪聲序列的等效表達(dá)式為：

因此，根據(jù)式(1)和式(4)，信號(hào)檢測(cè)模型表達(dá)式最終等效為：

2 貝葉斯估計(jì)

信號(hào)檢測(cè)方法中，貝葉斯估計(jì)理論通過當(dāng)前信息和先驗(yàn)分布，推斷后驗(yàn)分布，被認(rèn)為是最優(yōu)的信號(hào)檢測(cè)方法。貝葉斯公式的表達(dá)式為：

信號(hào)檢測(cè)模型中，X為觀測(cè)值，即接收的當(dāng)前信息。{a，，ω，T，S}為需要估計(jì)的參數(shù)集。根據(jù)式(6)，{a，，ω，T，S}的后驗(yàn)分布為：

為了合理地利用先驗(yàn)信息，需對(duì)每個(gè)參數(shù)選取合適的先驗(yàn)分布。先驗(yàn)分布中，共軛先驗(yàn)分布保證了參數(shù)的后驗(yàn)分布和先驗(yàn)分布在同一分布族，可使貝葉斯估計(jì)的效率顯著提高。

參數(shù)a的共軛先驗(yàn)分布為高斯分布，可取a：N(μ，δ2);參數(shù)σ-2l的共軛先驗(yàn)分布為伽馬分布，可取σ-2l：Γ(αl，βl)，其中αl和βl分別為伽馬分布的形狀參數(shù)和逆尺度參數(shù);參數(shù)ω 的共軛先驗(yàn)分布為狄利克雷分布，可取ω：D(η，…，η)。

對(duì)于信號(hào)Si，通常認(rèn)為各個(gè)符號(hào)以等概率發(fā)射，因此Si取先驗(yàn)分布：

為了直觀表述信號(hào)檢測(cè)模型中各參數(shù)之間的關(guān)系，畫出模型參數(shù)的直接非循環(huán)圖，如圖1 所示。其中μ，δ2，αl，βl，b，η 為先驗(yàn)信息，X為觀測(cè)值，即當(dāng)前信息。設(shè)E{a，}，E的超參數(shù)φ={μ，δ2，αl，βl}，則根據(jù)圖1 參數(shù)的直接非循環(huán)圖，式(7)可以擴(kuò)展為：

圖1 信號(hào)檢測(cè)模型參數(shù)的直接非循環(huán)圖

3 盲檢測(cè)算法設(shè)計(jì)

信號(hào)檢測(cè)采用馬爾可夫鏈蒙特卡洛(MCMC)算法實(shí)現(xiàn)在所有參數(shù)未知情況下的信號(hào)檢測(cè)。在MCMC 算法中，常采用Gibbs 抽樣和Metropolis -Hasting(M-H)抽樣算法對(duì)更新參數(shù)進(jìn)行抽樣。在所設(shè)計(jì)的算法中，由于共軛先驗(yàn)分布的引入，則對(duì)所有參數(shù)的后驗(yàn)概率均可采用Gibbs 抽樣。算法通過有限次數(shù)的參數(shù)更新使得待估參數(shù)值收斂，參數(shù)收斂后的每次采樣值即可看作目標(biāo)分布的采樣值，這部分采樣值的平均值即可作為參數(shù)的估計(jì)值。算法在t步的流程如下：

(1)通過Gibbs 抽樣更新類別指示變量T;

(2)通過Gibbs 抽樣更新參數(shù)ω;

(3)通過Gibbs 抽樣更新參數(shù)a;

(5)通過Gibbs 抽樣更新信號(hào)Si。

算法在t+1 步時(shí)，采用t步更新過的模型參數(shù)，重復(fù)上述步驟進(jìn)行新一次的更新，直至各參數(shù)收斂。

3.1 通過Gibbs 抽樣更新類別指示變量Ttij的后驗(yàn)概率為：

式中，P(tij=l|…)為除了T之外所有變量的條件后驗(yàn)概率。

根據(jù)式(10)計(jì)算出后驗(yàn)概率后，采用Gibbs抽樣，即通過生成U(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，確定P(tij=l|…)對(duì)應(yīng)的區(qū)間來更新tij的取值，并分別統(tǒng)計(jì)tij=l的數(shù)量為nl。

3.2 通過Gibbs 抽樣更新參數(shù)ω

因?yàn)棣?的共軛先驗(yàn)分布為狄利克雷分布，所以其后驗(yàn)概率分布仍服從狄利克雷分布：

式中，nl為屬于N(0，)的觀測(cè)值數(shù)量。采用Gibbs 抽樣，通過式(11)生成新的狄利克雷分布隨機(jī)數(shù)抽取ω 的新值，并用新值更新舊值。

3.3 通過Gibbs 抽樣更新參數(shù)a

因?yàn)閰?shù)a的共軛先驗(yàn)分布為高斯分布，所以其后驗(yàn)概率分布仍服從高斯分布：

其中：

采用Gibbs 抽樣，在式(12)新生成的高斯分布中抽取參數(shù)a的新值，并用新值更新舊值。

3.4 通過Gibbs 抽樣更新參數(shù)

其中：

采用Gibbs 抽樣，在式(15)新生成伽馬分布中抽取參數(shù)σ的新值，求逆后用新值更新舊值。

3.5 通過Gibbs 抽樣更新信號(hào)Si

信號(hào)Si的后驗(yàn)概率為：

其中，1 =［1，1，…，1］為1 ×M的序列。根據(jù)式(18)和式(19)計(jì)算出后驗(yàn)概率后，采用Gibbs抽樣，即通過生成U(0，1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，對(duì)信號(hào)Si進(jìn)行判決，然后更新Si的值。

4 仿真及測(cè)試

4.1 模型驗(yàn)證

圖2 為實(shí)測(cè)的大氣噪聲數(shù)據(jù)。當(dāng)有限混合高斯噪聲模型中取k=2 時(shí)，用算法估計(jì)出的噪聲參數(shù)為ω =［0. 021 9，0. 978 1］，=489. 617 8，=7.118 3。

圖3 為實(shí)際噪聲的幅度概率分布和采用算法估計(jì)參數(shù)的噪聲的幅度概率分布。其中，X軸坐標(biāo)為- 0.5lg(- lnP(|x| ＞x0))，Y軸坐標(biāo)為10lg(x0)dB?？梢钥闯觯浞雀怕史植寂c實(shí)際噪聲的幅度概率分布有較好的吻合度。

圖2 實(shí)測(cè)大氣噪聲數(shù)據(jù)

圖3 實(shí)測(cè)噪聲和估計(jì)噪聲的幅度概率分布

4.2 參數(shù)估計(jì)

4.3 誤碼率測(cè)試

為了測(cè)試盲檢測(cè)算法的性能，對(duì)盲檢測(cè)算法的實(shí)際誤碼率與理論誤碼率進(jìn)行比較。理論誤碼率為已預(yù)知模型準(zhǔn)確參數(shù)情況下，對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)的誤碼率。采用k=2 的混合高斯模型時(shí)，噪聲功率的計(jì)算公式為En=ω1+ω2，由該噪聲功率來定義信噪比。

圖8 為不同權(quán)重ω 下，盲檢測(cè)算法的誤碼率與理論誤碼率比較。從圖中可以看出：①隨著信噪比的增大，信號(hào)檢測(cè)的誤碼率降低，并且ω1越小，誤碼率性能越差。這是因?yàn)棣?越小，非高斯部分噪聲所占比例越大，誤碼率性能越差，說明影響誤碼率性能的主要是非高斯噪聲所占比例。②在低信噪比段，當(dāng)ω1較小時(shí)誤碼率性能優(yōu)于ω1較大時(shí)的誤碼率性能;在高信噪比段，ω1較大時(shí)的誤碼率性能優(yōu)于ω1較小時(shí)的誤碼率性能。③在不同權(quán)重下，信號(hào)檢測(cè)算法的誤碼率始終與采用真實(shí)噪聲參數(shù)下信號(hào)檢測(cè)的誤碼率一致，與信噪比大小無關(guān)，表明了算法的有效性和精確度。

圖8 不同ω 值下盲檢測(cè)算法誤碼率與理論誤碼率性能比較

圖9 為不同過采樣率M下，盲檢測(cè)算法與最優(yōu)檢測(cè)的誤碼率性能對(duì)比，由圖9 可知：①隨著信噪比的增大，信號(hào)檢測(cè)的誤碼率降低，且過采樣率越大，誤碼率性能提高越明顯。②在低信噪比段，過采樣率較小時(shí)誤碼率性能優(yōu)于過采樣率較大時(shí)的誤碼率性能;在高信噪比段，過采樣率較大時(shí)的誤碼率性能優(yōu)于過采較小時(shí)的誤碼率性能。③無論信噪比的大小，在不同過采樣率下，信號(hào)檢測(cè)算法的誤碼率始終與真實(shí)噪聲參數(shù)下信號(hào)檢測(cè)的誤碼率一致，表明了算法的有效性和精確度。

圖9 不同過采樣率下盲檢測(cè)算法誤碼率與理論誤碼率性能對(duì)比

5 結(jié)論

筆者根據(jù)實(shí)際甚低頻和超低頻接收機(jī)中噪聲的特點(diǎn)，采用有限混合高斯模型建立信號(hào)檢測(cè)模型，在貝葉斯層次模型下，設(shè)計(jì)了MCMC 算法，通過Gibbs 抽樣算法，同步檢測(cè)信道衰落系數(shù)、噪聲模型參數(shù)和信號(hào)。通過對(duì)實(shí)測(cè)噪聲數(shù)據(jù)對(duì)比分析，說明該模型對(duì)接收機(jī)中實(shí)際接收的噪聲有較好的適用性。對(duì)算法性能進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明，MCMC 算法迭代效率和精度高。在不同噪聲模型參數(shù)ω 和過采樣率M下，盲檢測(cè)算法的性能都逼近最優(yōu)檢測(cè)的性能，對(duì)甚低頻和超低頻非高斯噪聲下信號(hào)接收有實(shí)際的意義。

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