楊媛媛，謝 濤，陳 偉

(1.武漢理工大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖北 武漢430070;2.南京信息工程大學(xué) 海洋科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京210044)

隨著多媒體技術(shù)及通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，大量圖像數(shù)據(jù)需要傳輸和處理。傳統(tǒng)壓縮都是基于奈奎斯特準(zhǔn)則對(duì)圖像進(jìn)行采樣的，因此受到了信號(hào)帶寬的限制。

2006 年，由美國(guó)科學(xué)院院士DONOHO 等提出的壓縮感知(compressed sensing，CS)理論［1-2］為數(shù)據(jù)壓縮開(kāi)辟了新的道路，近幾年CS 也越來(lái)越多地用于圖像壓縮研究。在圖像壓縮感知中常用小波變換做稀疏表示，但由于其子帶分布特性，其稀疏度在列間分布不均勻，致使測(cè)量矩陣尺寸、壓縮比和恢復(fù)時(shí)間都受到制約。筆者對(duì)壓縮感知中基于小波變換的圖像信號(hào)稀疏表示方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了基于低頻子帶列均衡的圖像稀疏表示算法，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。

1 理論基礎(chǔ)

壓縮感知技術(shù)對(duì)信號(hào)的測(cè)量是在信號(hào)進(jìn)行稀疏表示后進(jìn)行的，如圖1 所示，因此可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特準(zhǔn)則的理論采樣率來(lái)進(jìn)行采樣。壓縮感知理論最大的貢獻(xiàn)在于，將數(shù)據(jù)的采集和壓縮過(guò)程合二為一，避免了傳統(tǒng)理論下采集大量數(shù)據(jù)，在壓縮過(guò)程中又丟棄大量冗余數(shù)據(jù)所造成的資源浪費(fèi)，大大減少了信號(hào)采集、壓縮、存儲(chǔ)和處理的時(shí)間和復(fù)雜度。

很多時(shí)候，待處理數(shù)據(jù)本身并不是稀疏的，因此需要對(duì)其進(jìn)行稀疏表示。假設(shè)一維信號(hào)x∈RN×1，可將其用一組稀疏基Ψ={Ψ1，Ψ2，…，ΨN}進(jìn)行表示，其表示形式為：

圖1 壓縮感知理論下信號(hào)處理流程

式中，αi為向量x在由Ψ 所表示的稀疏域上的投影稀疏，是N×1 的向量。若α 的取值中，非零值有k個(gè)，或者較大系數(shù)值有k個(gè)，則稱α 為k稀疏的。常用的稀疏基有小波基、DCT 基、Gabor基和冗余字典等。在測(cè)量時(shí)，用向量積對(duì)信號(hào)x進(jìn)行M次測(cè)量。為保證精確重構(gòu)，M取值應(yīng)大于k而小于N。測(cè)量過(guò)程如下：式中，θ 為M×N矩陣，所得測(cè)量值y為1 ×M向量。

測(cè)量矩陣若滿足約束等距性準(zhǔn)則(restricted isometry property，RIP)或測(cè)量矩陣和稀疏矩陣不相關(guān)，則可通過(guò)L1優(yōu)化問(wèn)題求解：

目前典型恢復(fù)算法為匹配追蹤算法(matching pursuit，MP)［3］，正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit，OMP)［4］，正則正交匹配追蹤算法(regularized orthogonal matching pursuit，ROMP)［5］和壓縮采樣匹配追蹤算法(compressive sampling matching pursuit，CoSaMP)［6］等。

2 基于小波變換的圖像壓縮感知

一直以來(lái)在圖像壓縮領(lǐng)域中，各標(biāo)準(zhǔn)多采用離散余弦變換(discrete cosine transform，DCT)。其主要問(wèn)題在于必須對(duì)圖像進(jìn)行分塊處理，這會(huì)引起“方塊效應(yīng)”［7］。近10 年來(lái)，小波變換作為一種新興的變換技術(shù)得到了迅速發(fā)展，在圖像壓縮領(lǐng)域，離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT)已成為主流變換方法之一。

DWT 對(duì)圖像進(jìn)行處理，實(shí)際是對(duì)圖像在小波域進(jìn)行分解。首先構(gòu)造尺度函數(shù)和小波函數(shù)，它們分別具有低通和高通濾波作用，由其組成的正交鏡像濾波器可將圖像分解為高頻子帶和低頻子帶。早期DWT 變換只局限在一層，即先在水平方向進(jìn)行低通濾波，再在垂直方向進(jìn)行高通濾波，然后按濾波結(jié)果將信號(hào)元素重新排列，圖2 所示為一層小波變換后的子帶分布情況。

圖2 一層小波分解子帶分布圖

其中，LL 子帶包含更多圖像中的低頻信號(hào)，HL 子帶包含更多垂直方向的高頻信息，LH 子帶包含更多水平方向的高頻信息，HH 包含更多對(duì)角線方向的高頻信息?；谛〔ㄗ儞Q的圖像壓縮感知原理框圖如圖3 所示。

圖3 基于小波變換的圖像壓縮感知原理框圖

首先采用DWT 對(duì)圖像進(jìn)行小波分解，然后將其分解系數(shù)進(jìn)行CS 壓縮，解壓部分用重構(gòu)算法恢復(fù)出小波域系數(shù)后，再進(jìn)行小波合成，即可恢復(fù)出原圖像。

如果對(duì)一層小波分解后的系數(shù)進(jìn)行CS 壓縮，幾乎恢復(fù)不出原圖像，這是因?yàn)閷L 子帶系數(shù)一起壓縮，破壞了LL 系數(shù)的相關(guān)性。因此有學(xué)者提出只對(duì)LH、HL 和HH 子帶進(jìn)行CS 壓縮，LL 則用原數(shù)據(jù)進(jìn)行傳輸?shù)姆椒ǎ?-9］。但該方法對(duì)數(shù)據(jù)的壓縮比不高。

考慮到LL 部分仍存在稀疏性，可將LL 部分進(jìn)一步做小波分解。圖4 所示為四層小波分解子帶分布圖，進(jìn)一步將低頻信號(hào)往左上角搬移，保證LL 子帶系數(shù)盡可能不稀疏，并且經(jīng)過(guò)四層小波分解后，LL 子帶系數(shù)間的相關(guān)性變?nèi)?，因此可?duì)所有子帶系數(shù)統(tǒng)一進(jìn)行CS 壓縮，重構(gòu)后仍能得到理想效果。

圖4 四層小波分解子帶分布圖

3 基于小波域低頻均衡稀疏表示的圖像壓縮感知

通過(guò)壓縮感知，可以從M個(gè)測(cè)量值中還原出原始數(shù)據(jù)的N個(gè)值(M＜N)，這種壓縮的前提條件是這N個(gè)值本身是可壓縮的，或者說(shuō)是稀疏的。假設(shè)x的稀疏度為k，為了恢復(fù)出這k個(gè)數(shù)據(jù)，M的值應(yīng)該大于k，且如果k增大，M值也必須增大，k減小，M值也相應(yīng)減小。以四層小波變換為例，在極限情況下，假設(shè)所有非零系數(shù)都集中在LL4，則其所在的前N/24列的稀疏度為N/24，后N-N/24列的稀疏度為0。則M應(yīng)大于N/24，壓縮比小于24：1。M值對(duì)應(yīng)的是測(cè)量矩陣的行數(shù)，故測(cè)量矩陣應(yīng)有N/24行。但實(shí)際上后N-N/24列稀疏度很低，不需要這么多行的測(cè)量矩陣對(duì)其進(jìn)行測(cè)量，因此限制了壓縮比的提升。并且在重構(gòu)數(shù)據(jù)時(shí)，以O(shè)MP 算法為例，它是對(duì)測(cè)量后得到的矩陣進(jìn)行逐列恢復(fù)，由于前幾列k值較大，所需迭代次數(shù)較多，每次迭代，選擇的原子就多一列，矩陣變大。即在恢復(fù)前幾列時(shí)矩陣就已經(jīng)很大了，而每次迭代都要進(jìn)行矩陣的最小二乘法運(yùn)算，這樣即使后面列的k很小，所需迭代次數(shù)很少，但矩陣已經(jīng)很大了，因此總體運(yùn)算量很大。

筆者提出一種改進(jìn)算法，對(duì)低頻子帶進(jìn)行列均衡，將LL4 中的大值系數(shù)均分到每一列的頂端，而各層HL 和HH 子帶保持不變。由于經(jīng)過(guò)四層小波分解后，降低了低頻子帶系數(shù)間的相關(guān)性，因此在將該部分系數(shù)均分到每一列后，再對(duì)全部小波系數(shù)進(jìn)行壓縮感知，也可獲得較高的壓縮比和較好的重構(gòu)質(zhì)量。由于優(yōu)化后降低了前面LL4 子塊對(duì)應(yīng)列的稀疏度，因此在測(cè)量時(shí)，可以將測(cè)量矩陣的M值設(shè)置得更小，以獲取更高的壓縮比，在同等壓縮比的基礎(chǔ)上，獲得更高的圖像質(zhì)量。由于OMP 恢復(fù)算法是逐列重構(gòu)數(shù)據(jù)，故可減少LL4 子塊對(duì)應(yīng)列重構(gòu)時(shí)的迭代次數(shù)，減小恢復(fù)這些列所產(chǎn)生的恢復(fù)矩陣的大小，抑制計(jì)算量的激增，減少運(yùn)算時(shí)間。

假設(shè)待處理圖像為N×N大小，則經(jīng)過(guò)四層小波分解后，LL4子帶大小為假設(shè)LL4子帶是完全不稀疏的，將其均分到每一列，則在這種理想情況下每一列的稀疏度都變?yōu)椋?/p>

在非理想情況下，LL4 子帶也有一定稀疏性，但相對(duì)于各層LH 子帶來(lái)說(shuō)，其稀疏度明顯要高出很多。通過(guò)優(yōu)化，同樣可使LL4 對(duì)應(yīng)列的稀疏度變低，其具體均衡方法如圖5 所示，其中陰影部分表示大值系數(shù)。

圖5 四層小波變換低頻子帶列均衡原理圖

具體操作步驟如下：

(1)將LL4 的低頻分量進(jìn)行上下分塊，將其下半部分?jǐn)?shù)據(jù)與LH4 的上半部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)調(diào)，形成新的低頻子帶，大小為

(2)將步驟(1)得到的低頻子帶再進(jìn)行上下分塊，將其下半部分?jǐn)?shù)據(jù)與LH3 的上半部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)調(diào)，形成新的低頻子帶，大小為

(3)將步驟(2)得到的低頻子帶再進(jìn)行上下分塊，將其下半部分?jǐn)?shù)據(jù)與LH2 的上半部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)調(diào)，形成新的低頻子帶，大小為

(4)將步驟(3)得到的低頻子帶再進(jìn)行上下分塊，將其下半部分?jǐn)?shù)據(jù)與LH1 的上半部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)調(diào)，形成新的低頻子帶，大小為即均勻分布到每一列。

上述方法既實(shí)現(xiàn)了低頻子帶列均衡，也方便了之后對(duì)全部小波系數(shù)進(jìn)行CS 壓縮和OMP 重構(gòu)。重構(gòu)后的數(shù)據(jù)按照之前的均衡步驟進(jìn)行反變換，再進(jìn)行小波合成，即可還原出原始圖像。將該方法用于圖像壓縮感知時(shí)的具體流程如圖6 所示。

圖6 基于低頻子帶列均衡的圖像壓縮感知原理框圖

通過(guò)優(yōu)化，在設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣時(shí)即可將M取更小的值且獲得更大的壓縮比。在同樣的壓縮比下，由于M遠(yuǎn)大于每列的k值，因此可獲得更好的恢復(fù)效果。由于每列的k值很平均且很小，在恢復(fù)算法中，前幾列的迭代次數(shù)較少，矩陣擴(kuò)大的速度較低，因此整體運(yùn)算量會(huì)顯著下降。

4 仿真結(jié)果

4.1 峰值信噪比對(duì)比

采用256 ×256 大小的Lena 圖像作為原始圖像，對(duì)圖像進(jìn)行四層小波變換，測(cè)量矩陣采用高斯隨機(jī)矩陣，用OMP 算法進(jìn)行圖像重構(gòu)，對(duì)傳統(tǒng)四層小波變換圖像壓縮感知和小波域低頻均衡圖像壓縮感知進(jìn)行了仿真和結(jié)果對(duì)比。

分別取M值為32、64、96、128 和164，比較兩種算法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)，結(jié)果如表1 所示。

表1 傳統(tǒng)算法與優(yōu)化算法PSNR 對(duì)比

由仿真數(shù)據(jù)可知，優(yōu)化算法明顯比傳統(tǒng)算法的PSNR要高，特別是在采樣率較低的情況下，傳統(tǒng)算法性能會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重惡化，而優(yōu)化算法在這種情況下可大幅提高PSNR，這與之前理論分析是相符的。

4.2 重構(gòu)時(shí)間對(duì)比

分別取M值為32、64、96、128 和164，比較兩種算法的重構(gòu)時(shí)間，其結(jié)果如圖7 所示。

圖7 兩種算法重構(gòu)時(shí)間對(duì)比圖

由圖7 可見(jiàn)，隨著采樣率的增大，改進(jìn)算法的運(yùn)行速度相比原始算法越來(lái)越快。采樣率低時(shí)，迭代次數(shù)很少，區(qū)別不大。隨著采樣率增加，低頻均衡效果越來(lái)越明顯，其前面列向量的恢復(fù)所需迭代次數(shù)明顯少于傳統(tǒng)算法，矩陣擴(kuò)充速度減緩，因此整體運(yùn)算速度大大加快。

4.3 小波域及空域圖像對(duì)比

經(jīng)過(guò)四層小波分解，得到小波域圖像。其左上角有一亮塊，對(duì)應(yīng)LL4 中密集的低頻分量。經(jīng)優(yōu)化處理后，該部分低頻分量在列方向上的分布趨于均勻，在小波域圖像中表現(xiàn)為亮塊消失，分散于各列頂端。

對(duì)比M=64 時(shí)兩種算法所得空域圖像，如圖8 所示。此時(shí)壓縮比已經(jīng)達(dá)到了4：1，圖8(b)經(jīng)過(guò)優(yōu)化算法可以恢復(fù)出大致圖像，而圖8(a)采用傳統(tǒng)算法，幾乎不能恢復(fù)。這說(shuō)明在處理大幅圖像信息時(shí)，可采用該算法，以較高的采樣率獲得較好的恢復(fù)效果。

5 結(jié)論

筆者介紹了壓縮感知和稀疏表示的基本理論，對(duì)于現(xiàn)有的小波域圖像稀疏表示及其在壓縮感知中的應(yīng)用和存在問(wèn)題進(jìn)行了分析。根據(jù)小波分解系數(shù)的分布特點(diǎn)，提出了小波域低頻均衡的圖像稀疏表示改進(jìn)算法，通過(guò)將低頻子帶均分到每一列，降低前面列的稀疏度。將其應(yīng)用于壓縮感知，則可減小測(cè)量矩陣大小，提高壓縮比，降低恢復(fù)時(shí)間，或在同樣的壓縮比下提高圖像恢復(fù)質(zhì)量。在不同壓縮比下對(duì)傳統(tǒng)算法和優(yōu)化算法進(jìn)行了仿真對(duì)比，結(jié)果顯示該算法與傳統(tǒng)基于小波變換的壓縮感知算法相比，在恢復(fù)效果和節(jié)省運(yùn)算時(shí)間上均有一定程度的改善。

圖8 M=64 時(shí)恢復(fù)空域圖像對(duì)比

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