黎松奇， 張昆侖

(西南交通大學(xué)磁浮技術(shù)與磁浮列車教育部重點(diǎn)實驗室，四川成都 610031)

EMS型磁懸浮列車作為一種新型的交通工具，在其理論研究和工程實踐中，出現(xiàn)了一些特有的現(xiàn)象.在德國和日本的列車運(yùn)行實驗中均出現(xiàn)了車輛結(jié)構(gòu)性振動的情況，即使車體靜態(tài)懸浮，也可能與軌道以及橋梁產(chǎn)生自激振動[1].多年以來，各國專家一直在研究和探討該問題[2].

文獻(xiàn)[3]對磁浮車調(diào)試過程中出現(xiàn)的鋼軌道框架和車輛共振現(xiàn)象進(jìn)行了理論研究，指出磁浮車二次懸掛和鋼框架的垂向頻率相同會引起系統(tǒng)共振.文獻(xiàn)[4]用Nyquist準(zhǔn)則分析了簡化車-軌系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出了使用虛擬調(diào)諧質(zhì)量阻尼器控制振動的方法.文獻(xiàn)[5]采用諧波平衡法分析了磁懸浮系統(tǒng)非線性振動現(xiàn)象，證明了只要軌道存在彈性，車-軌耦合振動不可避免.文獻(xiàn)[6]通過系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和相頻曲線分析了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，為系統(tǒng)設(shè)計提出了基本的穩(wěn)定性要求.文獻(xiàn)[7]利用中心流形對各種耦合振動的情況進(jìn)行了分岔方程的推導(dǎo)以及仿真分析.文獻(xiàn)[8-9]通過數(shù)值仿真的方法對車體以及彈性橋梁在耦合振動過程中的動力學(xué)行為進(jìn)行了分析.文獻(xiàn)[10-11]研究了控制系統(tǒng)時滯對于磁浮車-軌非線性耦合振動的影響.文獻(xiàn)[12]建立了通過全狀態(tài)反饋控制的單磁鐵懸浮系統(tǒng)，討論了通過粒子群算法對控制器參數(shù)優(yōu)化的具體方法.

在上述文獻(xiàn)中沒有在理論上對懸浮控制器參數(shù)以及車-軌系統(tǒng)參數(shù)在靜態(tài)懸浮過程中對于穩(wěn)定性的影響給出較好的解釋.本文通過建立簡化的單磁鐵懸浮系統(tǒng)車體-懸浮架-軌道系統(tǒng)動力學(xué)模型，對磁浮列車靜態(tài)懸浮自激振動穩(wěn)定性問題進(jìn)行了分析，討論了系統(tǒng)參數(shù)對于穩(wěn)定性的影響，給出了系統(tǒng)主要參數(shù)和穩(wěn)定性之間關(guān)系的表達(dá)式，并討論了運(yùn)用瞬時最優(yōu)控制抑制車-軌自激振動的具體方法.

1 車輛-軌道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 車輛動力學(xué)方程

本文主要分析起浮后車輛靜態(tài)懸浮時發(fā)生的自激振動，所以只考慮車輛-懸浮架-軌道的垂向自由度，忽略二系懸掛和軌道形變以外的其他干擾.簡化的單磁鐵懸浮系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示.

圖1中:

fe為電磁吸力;

m2、m3分別為懸浮架和車體的質(zhì)量;

z1、z2分別為懸浮架和車體的實際位移;

h為軌道的位移;

c為懸浮架與軌道之間的距離;

x為車體橫向位移;

k3為二系懸掛剛度;

c3為二系懸掛阻尼.

系統(tǒng)中參考方向取向下為正.

圖1 單磁鐵懸浮系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of single magnet suspension system

由圖1所示模型可知 c=z1－h(huán)，同時，懸浮架和車體的動力學(xué)方程為

式中:

Fs為二系懸掛產(chǎn)生的力，

其中，F(xiàn)0為二系懸掛在平衡點(diǎn)的力.

電磁鐵產(chǎn)生的吸力可表示為

式中:N為線圈匝數(shù);

A為有效面積;

μ0為真空磁導(dǎo)率;

i為線圈電流.

在平衡點(diǎn)(i0，c0)處求偏導(dǎo)可得

目前有多種方法控制電流對于電壓的滯后[13]，本文直接使用電流作為控制輸入.采用工程中常用的PID算法，令:c為間隙，c'為間隙變化速度，z″1為懸浮架加速度為反饋變量，kp、kv、ka為控制器參數(shù)，c0為額定的懸浮氣隙，控制電流表示為

聯(lián)立式(1)、(5)、(6)，可求得平衡點(diǎn)處fe-c的關(guān)系.

令:k2為平衡點(diǎn)處的等效磁隙剛度;c2為平衡點(diǎn)處的等效磁隙阻尼.則fe(t)又可以表示為

1.2 軌道動力學(xué)方程

軌道模型采用在磁浮系統(tǒng)研究中廣泛使用的Bernoulli-Euler(BE)梁方程

式中:

EI為抗彎剛度;

c為軌道阻尼;

ρA為軌道線密度;

F(x，t)為負(fù)載.

采用模態(tài)分解法處理后得軌道位移的微分方程為

式中:Mn為廣義質(zhì)量;

Φn(x)為軌道第n階模態(tài);

Qn(t)為第n階的廣義力;

εn為軌道的n階阻尼比;

ωn0為軌道n階固有頻率;

L為軌道長度.

由式(11)可得

當(dāng)單獨(dú)考慮第n階模態(tài)作用時，令:

則軌道位移方程可表示為

綜上所述，當(dāng)單獨(dú)考慮第n階模態(tài)作用時，系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以表示為

2 振動穩(wěn)定性分析

先考慮軌道一階模態(tài)單獨(dú)作用的情況，將式(13)移動到平衡點(diǎn)，令:

為狀態(tài)變量，得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為

系統(tǒng)的特征方程為

式中:I為單位矩陣.

系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件為 ai＞0(i=0，1，2，…，6)，則系統(tǒng)穩(wěn)定必須能滿足 b3＞0，b4＞0，b5＞0，b6＞0.代入b1～b6值，整理得到軌道一階模態(tài)單獨(dú)作用下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

同理，當(dāng)軌道第n階模態(tài)單獨(dú)作用時，穩(wěn)定條件為

當(dāng)系統(tǒng)控制參數(shù)不變時，二系懸掛參數(shù)和軌道參數(shù)的基本關(guān)系為

故軌道模態(tài)階數(shù)越大，k1n和c1n值也越大，所以，當(dāng)軌道一階模態(tài)單獨(dú)作用時能滿足式(15)，其他模態(tài)單獨(dú)作用時也能滿足式(16).

綜上所述，在選用c、c'和z″1為控制器反饋變量時，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件如式(15)所描述.代人k1n和c1n解析式，分析可知:

(2)軌道的抗彎剛度EI越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定;軌道結(jié)構(gòu)阻尼越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定;軌道長度L越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，但為了提高穩(wěn)定性而修改以上3個參數(shù)，都會顯著增加線路的成本;

(3)車體質(zhì)量m2越小，系統(tǒng)越穩(wěn)定，該條件對車體的輕量化設(shè)計提出了要求;

(4)系統(tǒng)的控制器參數(shù)影響穩(wěn)定性，被控制器參數(shù)決定的k2和c2過大或者過小都不利于系統(tǒng)穩(wěn)定，同時考慮到系統(tǒng)需要產(chǎn)生能保持在平衡點(diǎn)的力，k2滿足

(5)由式(15)、(16)可知，由于系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)成本相互矛盾，所以在一定的軌道和車輛參數(shù)條件下，系統(tǒng)可能產(chǎn)生劇烈的自激振動;在系統(tǒng)參數(shù)滿足式(17)的情況下，通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)可以使系統(tǒng)穩(wěn)定性增加，使自激振動變小;如果系統(tǒng)控制參數(shù)無論如何調(diào)節(jié)，都無法滿足式(17)時，只能通過修改系統(tǒng)物理參數(shù)的方法減小振動，如k1n非常小(當(dāng)EI非常小，或者L非常大).

3 抑制振動的瞬時最優(yōu)算法

從前面的分析可知，當(dāng)系統(tǒng)滿足式(17)時，穩(wěn)定性可以通過控制器參數(shù)調(diào)節(jié)，此時系統(tǒng)可以通過調(diào)節(jié)k2或c2取值增加系統(tǒng)穩(wěn)定性.從式(7)中參數(shù)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)固定時由于ki和kc是常量，所以k2取值需由控制參數(shù)kp和ka調(diào)節(jié)，c2取值可以通過kv和ka調(diào)節(jié).且由于調(diào)節(jié)ka會改變系統(tǒng)慣性，其作用相當(dāng)于改變了系統(tǒng)的質(zhì)量，通常采用調(diào)節(jié)kp和kv的方法.

本文采用瞬時最優(yōu)控制算法來確定控制器參數(shù)的具體取值.該方法與傳統(tǒng)的最優(yōu)控制算法相比，并不是求取整個過程中的全局最優(yōu)指標(biāo)，而是針對任意時刻取局部最優(yōu)指標(biāo)，能夠避免求解在傳統(tǒng)的最優(yōu)控制中使用Riccati方程，在工程應(yīng)用中能夠?qū)崿F(xiàn)快速的計算.

瞬時最優(yōu)算法的描述如下.

系統(tǒng)運(yùn)動方程描述為

式中:y(t)為位移向量;

M、C、K分別是系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;

f(t)為外激勵向量;

D為外激勵向量的位置矩陣;

u(t)為主動控制力向量;

E為控制力位置矩陣.

可將式(18)改寫為狀態(tài)空間形式

x'(t)=A2x(t)+Bu(t)+Hf(t)，

式中:

取性能指標(biāo)[14]

式中:Q和R為權(quán)矩陣，分別代表結(jié)構(gòu)和控制力的強(qiáng)調(diào)程度.

求解式(19)是約束條件下系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，可得瞬時最優(yōu)控制力為

式中:

Δt為控制算法的時間間隔.

當(dāng)單磁鐵懸浮模塊發(fā)生振動時，取z1、z'1、c 和c'為補(bǔ)償反饋，可由式(20)直接求出抑制振動的瞬時最優(yōu)補(bǔ)償力u(t)，代人式(7)，根據(jù)一定的權(quán)重分解出需要的k2和c2，再通過k2、c2與控制器參數(shù)關(guān)系求解kp和kv的取值，最后根據(jù)補(bǔ)償值修正控制器參數(shù).懸浮控制系統(tǒng)工作的原理如圖2所示.

圖2 懸浮控制系統(tǒng)工作原理Fig.2 Working principle of the suspension control system

4 系統(tǒng)仿真

本文采用Matlab中的Simulink工具箱建模，進(jìn)行車-軌振動數(shù)值仿真.采用某磁浮車-軌系統(tǒng)的主要參數(shù)如下:車體質(zhì)量為2 000 kg，懸浮模塊質(zhì)量為750 kg，磁鐵面積為0.024 m2，軌道線密度為6 900 kg/m，軌道阻尼比為 0.005，軌道長度為24.8 m，軌道抗彎剛度為 2.43 ×104MN·m2，額定懸浮間隙為0.008 m，二系懸掛剛度為50 kN/m，二系懸掛阻尼為10 kN/(m/s)，懸浮架橫向位置L/2.

為簡化表達(dá)，令:

車體在t=0時刻開始起浮，記錄系統(tǒng)20 s內(nèi)的振動情況，ωc為控制器特征頻率，ωs為二系懸掛固有頻率.

(1)參數(shù)正常情況

當(dāng)仿真中系統(tǒng)參數(shù)都取正常情況(仿真1)，結(jié)果如圖3(a)所示，車體迅速到達(dá)平衡狀態(tài)，懸浮架與軌道振動隨著時間減小.放大圖形可以看出，車-架-軌振動的主要頻率來自于二系懸掛.

計算系統(tǒng)穩(wěn)定條件(式(15)):

可見在系統(tǒng)參數(shù)正常的情況下，有

而且ω1、ω2和ω3之間隔得很遠(yuǎn)，系統(tǒng)難以發(fā)生劇烈自激振動.當(dāng)參數(shù)都在正常范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)總能穩(wěn)定.

從圖3中可見，由于軌道和二系懸掛具有彈性，系統(tǒng)總會產(chǎn)生振動[5]，而各參數(shù)會影響振動幅值的大小和衰減速度，所以對于系統(tǒng)物理參數(shù)已經(jīng)固定的車-軌系統(tǒng)，主要研究的內(nèi)容是如何通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)抑制振動，使振動的振幅減小，同時快速衰減.

瞬時最優(yōu)控制從 t=0時刻開始工作(仿真2)，仿真結(jié)果如圖3(b)所示.可以看出振動被更好的抑制，系統(tǒng)起浮10 s時，懸浮氣隙振幅與軌道振幅分別減少了59%、48%.

(2)二系懸掛參數(shù)改變

當(dāng)車體質(zhì)量取0.25m1，二系懸掛剛度取2k3，車體起浮后情況如圖3(c)所示(仿真3).由于k3增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性減小，振動大于標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)情況.瞬時最優(yōu)控制從t=0時刻開始工作，仿真結(jié)果如圖3(d)所示(仿真4)，振動被有效抑制，10 s時，懸浮氣隙振幅與軌道振幅分別減少了62%、94%.

圖3 車-軌振動位移仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of vehicle-track vibration displacement

仿真中計算出的參數(shù)如下:

(3)軌道參數(shù)改變

當(dāng)軌道長度取1.2L，軌道抗彎剛度取0.8EI，車體起浮后情況如圖3(e)所示(仿真5).仿真中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)自激振動對軌道參數(shù)改變很敏感，車體-軌道振幅大幅增加，振動衰減變慢.瞬時最優(yōu)控制從t=0時刻開始工作，仿真結(jié)果如圖3(f)所示(仿真6)，系統(tǒng)振動快速衰減，10 s時，懸浮氣隙振幅與軌道振幅分別減少了5%、73%.

仿真中計算出的參數(shù)如下:

5 結(jié)束語

針對列車起浮后與軌道相互耦合發(fā)生自激振動的現(xiàn)象，本文通過建立模型分析了車輛-軌道系統(tǒng)的振動穩(wěn)定性，給出了系統(tǒng)主要參數(shù)和穩(wěn)定性的關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn)，磁浮車體-懸浮架-軌道在正常參數(shù)范圍內(nèi)總能滿足系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的基本條件，但系統(tǒng)各主要參數(shù)對于振動幅值大小、振動衰減速度有直接的影響.在系統(tǒng)物理參數(shù)不變的情況下，可以通過瞬時最優(yōu)控制算法調(diào)節(jié)懸浮控制器參數(shù)抑制車-軌自激振動.通過數(shù)值仿真驗證了系統(tǒng)參數(shù)與穩(wěn)定性的關(guān)系以及控制方法對振動抑制的有效性.結(jié)論可供磁浮車輛-軌道系統(tǒng)設(shè)計參考.

致謝:西南交通大學(xué)青年教師百人計劃項目資助(SWJTU2011BR052EM).

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