王則，趙子龍，楊曉輝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

提升鋼絲繩的縱向振動(dòng)特性研究

王則，趙子龍，楊曉輝

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

以礦井提升鋼絲繩為研究對(duì)象，將鋼絲繩視為軸向受力和軸向運(yùn)動(dòng)的變長(zhǎng)度柔索，應(yīng)用哈密頓原理建立了變長(zhǎng)度提升鋼絲繩縱向振動(dòng)的偏微分方程。利用伽遼金離散化方法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為具有時(shí)變系數(shù)的常微分方程。最后，選取礦井提升常用的S型運(yùn)行狀態(tài)曲線作為輸入?yún)?shù)，對(duì)所建立的模型進(jìn)行仿真和數(shù)值求解。研究結(jié)果表明，分布參數(shù)建模能更有效地反映提升鋼絲繩的縱向振動(dòng)特性，并揭示了提升系統(tǒng)振動(dòng)加劇的現(xiàn)象。

縱向振動(dòng);鋼絲繩;變長(zhǎng)度;哈密頓原理

鋼絲繩提升系統(tǒng)廣泛應(yīng)用在礦機(jī)提升機(jī)、起重機(jī)等工程設(shè)備中。Wang等［1-4］將礦井提升鋼絲繩看做離散的質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)，研究了礦井提升系統(tǒng)在提升過程的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題。Kimura及杜小強(qiáng)等［5-6］研究了鋼絲繩在提升過程中質(zhì)量、阻尼和剛度等參數(shù)變化的問題。Zhu等［7-8］人研究了末端附加集中質(zhì)量軸向運(yùn)動(dòng)弦線的橫向振動(dòng)響應(yīng)和橫向振動(dòng)穩(wěn)定性的問題，并建立了變長(zhǎng)度水平弦線運(yùn)動(dòng)的能量表達(dá)式和橫向振動(dòng)微分方程。王亮等［9］建立了變長(zhǎng)度柔性梁的橫向振動(dòng)控制方程，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析和主動(dòng)控制研究。然而，在針對(duì)礦井提升系統(tǒng)縱向振動(dòng)的建模大多采用的還是離散化建模的方法，這種建模方法簡(jiǎn)單易于計(jì)算，也可以滿足大多數(shù)低速礦井提升機(jī)設(shè)計(jì)的精度要求，但是由于鋼絲繩屬于連續(xù)彈性體，當(dāng)提升系統(tǒng)的高度和速度增加之后，提升過程中系統(tǒng)的質(zhì)量、長(zhǎng)度、和剛度等參數(shù)發(fā)生明顯變化，離散化的建模方法將不能反映連續(xù)體所特有的動(dòng)態(tài)性能。本文將提升系統(tǒng)鋼絲繩看作變長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)的柔索，基于廣義哈密頓原理建立了變長(zhǎng)度提升鋼絲繩的縱向振動(dòng)方程，并使用伽遼金離散法和數(shù)值方法對(duì)其求解。最終得到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，為變長(zhǎng)度提升系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 提升系統(tǒng)的縱向振動(dòng)模型

本文的建?；谝韵氯?xiàng)假設(shè):

(1)鋼絲繩在運(yùn)行過程中線密度、橫截面積和彈性模量保持不變;

(2)不考慮鋼絲繩的橫向振動(dòng)，且縱向振動(dòng)的變形遠(yuǎn)小于鋼絲繩的長(zhǎng)度;

(3)忽略鋼絲繩彎曲剛度的影響。

將提升系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一端附加有集中質(zhì)量m的變長(zhǎng)度縱向運(yùn)動(dòng)的柔索。如圖1所示，柔索單位長(zhǎng)度質(zhì)量為ρ，橫截面積為A，彈性模量為E，在運(yùn)動(dòng)過程中柔索長(zhǎng)度為l(t)，柔索在x(t)處的縱向振動(dòng)位移為u(x，t)，柔索速度為v(x，t)，柔索的加速度為a(x，t)，:v=且柔索和容器的宏觀運(yùn)行速度滿足(t).上標(biāo)“·”表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)。選取坐標(biāo)向下為正。

系統(tǒng)動(dòng)能為:

圖1 礦井提升系統(tǒng)Fig.1 Mining hoisting system

式中m為容器質(zhì)量，第一項(xiàng)為容器動(dòng)能，第二項(xiàng)為鋼絲繩動(dòng)能。

系統(tǒng)勢(shì)能為:

下標(biāo)x表示對(duì)坐標(biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)。式中第一項(xiàng)為系統(tǒng)靜平衡時(shí)的勢(shì)能，第二項(xiàng)為軸向引起的廣義勢(shì)能，第三項(xiàng)為鋼絲繩彈性勢(shì)能。P(x，t)為柔索靜平衡狀態(tài)下的軸向靜張力:

系統(tǒng)重力勢(shì)能為:

式中，g為重力加速度，Egs為初始重力勢(shì)能，u(l，t)為容器的縱向振動(dòng)位移。

將式(1)、式(2)和式(4)帶入廣義哈密頓原理:

并應(yīng)用時(shí)間邊界條件和幾何邊界條件:

由于δu為獨(dú)立變分，故有:

式(5)和式(6)分別是鋼絲繩的振動(dòng)方程和在x=l(t)處的邊界條件方程。

2 離散化求解

由于鋼絲繩振動(dòng)的控制方程是偏微分方程，并且邊界方程中的一些參數(shù)是時(shí)變的，所以解析法求解十分困難。本文采用廣義伽遼金離散化的方法將鋼絲繩的振動(dòng)方程離散為常微分方程，再通過數(shù)值方法求解。為方便計(jì)算，首先定義一個(gè)新獨(dú)立變量ξ，對(duì)原變量歸一化處理，即ξ=x/l(t).x的時(shí)變域變成了ξ的固定域［0，1］.假設(shè)方程(5)的解可以表示成如下形式。

式中，qi(t)為廣義坐標(biāo)，φi(ξ)為模態(tài)函數(shù):

將式(8)帶入振動(dòng)方程(5)和邊界條件(6)，再乘以(1/)φj(x/l(t))(j=1，2，…，n)，并對(duì)x在［0，l(t)］內(nèi)積分，原來的偏微分方程組離散為:

式中，q=［q1(t)，q2(t)，…，qn(t)］T，為廣義坐標(biāo)向量，M、C、K和F分別為廣義質(zhì)量、阻尼、剛度和激勵(lì)力矢量，其中各元素分別為:

3 算例分析

以礦井鋼絲繩提升系統(tǒng)為例，各參數(shù)選為:

圖2 提升系統(tǒng)速度運(yùn)行曲線Fig.2 Speed curves of hoisting system

鋼絲繩彈性模量E=100 GPa，橫截面積A= 701.6 mm2，線密度ρ=6.63 kg/m，容器質(zhì)量m= 6 000 kg，在井口時(shí)鋼絲繩的懸垂長(zhǎng)度30 m.

運(yùn)行過程的速度采取S型提升曲線，如圖2所示。將上述參數(shù)帶入方程(9)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得容器的振動(dòng)位移、容器的振動(dòng)加速度和鋼絲繩頂部的張力的變化曲線。圖3為提升系統(tǒng)的提升時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，圖4為下降時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。由圖3知，相對(duì)于在勻速提升階段，在加速階段，系統(tǒng)的響應(yīng)振動(dòng)幅值和鋼絲繩頂部的張力明顯增加。

由圖4知，相對(duì)于在勻速下降階段，在制動(dòng)階段系統(tǒng)的振動(dòng)幅值和鋼絲繩頂部的張力明顯增加。

比較圖3和圖4可知:鋼絲繩在上升過程中容器的振動(dòng)位移、振動(dòng)加速度和鋼絲繩頂部張力的波動(dòng)幅值明顯比下降過程容器的振動(dòng)位移和振動(dòng)加速度和鋼絲繩頂部張力波動(dòng)幅值大，當(dāng)采用不同參數(shù)輸入時(shí)，結(jié)果類似。

當(dāng)拽引機(jī)停止后，系統(tǒng)存在殘余振動(dòng)。

圖3 提升過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性Fig.3 Dynamic characteristics of the system on rising process

圖4 下降過程系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性Fig.4 The dynamic characteristics of the system during falling process

4 結(jié)論

(1)提升過程中:容器振動(dòng)位移幅值最大達(dá)到0.04 m，容器的波動(dòng)幅值最大達(dá)到0.003 m;容器振動(dòng)加速度最大為0.18 m/s2，最大波動(dòng)幅值為0.09 m/s2;鋼絲繩頂部的張力最大為88 kN，比相應(yīng)靜止時(shí)張力增加了10%，鋼絲繩頂部張力波動(dòng)的幅值最大為7 kN.

(2)在下降過程中:容器振動(dòng)位移幅值最大達(dá)到0.38 m，容器的波動(dòng)幅值不明顯;容器振動(dòng)加速度最大為0.11 m/s2，最大波動(dòng)幅值為0.002 m/s2;鋼絲繩頂部的張力最大為88 kN，比相應(yīng)靜止時(shí)張力增加了10%，鋼絲繩頂部張力波動(dòng)的幅值不明顯。

(3)在提升過程中的加速階段和在下降過程中的制動(dòng)階段，系統(tǒng)的振動(dòng)強(qiáng)度明顯增加，這種往復(fù)振動(dòng)的特性將加劇鋼絲繩的磨損，導(dǎo)致鋼絲繩的疲勞。

(4)本文的建模和分析方法可為進(jìn)一步研究礦井提升系統(tǒng)的振動(dòng)特性提供了一定的參考價(jià)值。

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Study on Longitudinal Vibration Characteristics of Hoisting Rope

WANG Ze，ZHAO Zi-long，YANG Xiao-hui
(College of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

Aiming at mine hoisting rope，the wire rope was viewed as soft rope under the axial force and the axial movement.The partial differential equation of longitudinal vibration of hoisting ropes was set up based on Hamilton' s principle.The partial differential equations was turned into ordinary differential equations with time-varying coefficients by using Galerkin discrete method.Finally，selecting S-type running state curve as input parameters，the proposed model was solved and emulated.Research results show that the distributed parameter model can reflect effectively the longitudinal vibration of hoisting ropes，and can reveal the phenomenon of vibration increase.

longitudinal vibration，rope，time-varying length，hamliton principle

TD50

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.017

1673-2057(2015)03-0241-04

2014-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372207);山西省自然科學(xué)基金(2013011005-3)

王則(1988-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)椴牧吓c結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為。