☉江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學(xué) 姚梅華

淺談多視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)反思

☉江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學(xué) 姚梅華

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)由多個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成，這里考慮到如教學(xué)情境引入、新知探索、知識(shí)鞏固、知識(shí)小結(jié)等，但對(duì)于每一環(huán)節(jié)的教學(xué)是否合適、優(yōu)化，筆者認(rèn)為，我們的教學(xué)往往沒(méi)有進(jìn)行過(guò)多的反思.常常有這樣的體會(huì)：這一知識(shí)今年是這樣教授給學(xué)生，課后覺(jué)得需要改良，但是因?yàn)楦鞣N其他原因并未系統(tǒng)地將改良的方案進(jìn)行合理的小結(jié)，以至于第二年繼續(xù)按照陳舊的思路講解，久而久之教學(xué)效率低下.古語(yǔ)云：業(yè)精于勤荒于嬉.筆者認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)要及時(shí)、合理地進(jìn)行有效的反思，對(duì)于各種不同的課堂教學(xué)，要采用不同的教學(xué)反思，形成多角度的思考，這樣的反思要及時(shí)整理、歸納，這樣有助于教學(xué)專業(yè)化水平的提高，有助于教師專業(yè)化能力的形成.近年來(lái)，南師大夏建國(guó)教授就中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的個(gè)人見(jiàn)解：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)階段還有提高的空間，在我看來(lái)教師對(duì)于教學(xué)的反思、反饋工作還可以繼續(xù)做得更扎實(shí)、更豐富一些.只有將教學(xué)反思形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)、形成全面的體系化，教師的業(yè)務(wù)水平、教學(xué)能力才能有質(zhì)的飛躍和提升.”鑒于此，筆者認(rèn)為，教師需要及時(shí)更新教學(xué)觀念，將數(shù)學(xué)教學(xué)的反思做得細(xì)致入微，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)的高效性和有效性上能做更廣的提升和挖掘.

一、新知教學(xué)的反思

新知教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的初步，新知主要指的是數(shù)學(xué)概念教學(xué)，往往概念教學(xué)的好壞直接影響到學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)理解、掌握是否高效.從諸多參考資料數(shù)據(jù)分析來(lái)看，新知教學(xué)的高效對(duì)于學(xué)生能否合理的理解某一數(shù)學(xué)知識(shí)、熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題有著極大的關(guān)聯(lián).章建躍博士是這樣強(qiáng)調(diào)新課程下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的：“最近經(jīng)長(zhǎng)期的調(diào)研發(fā)現(xiàn)，很多教師對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)往往不重視，這是一個(gè)很危險(xiǎn)的信號(hào).用解題教學(xué)代替概念教學(xué)、認(rèn)知概念是一種誤導(dǎo)，它只會(huì)將學(xué)生引領(lǐng)進(jìn)狹隘的試題中，而不能通過(guò)概念管窺數(shù)學(xué)內(nèi)容真正的本質(zhì)屬性，值得教師深刻反思.”

案例1：“函數(shù)”概念的新知教學(xué).

函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)概念，最核心的數(shù)學(xué)新知.但是我們也知道，函數(shù)概念對(duì)于學(xué)生而言，其接受是非常困難的，對(duì)剛升入高中而言的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要接受動(dòng)態(tài)變化的思想還需要一定的時(shí)間.盡管如此，函數(shù)概念新知教學(xué)也并非無(wú)法入手.來(lái)看看傳統(tǒng)教學(xué)中函數(shù)概念的傳授.

師：對(duì)于兩個(gè)非空集合A、B，若對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，則稱這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)關(guān)系.這個(gè)函數(shù)概念中比較注重了幾個(gè)關(guān)鍵詞語(yǔ)：非空數(shù)集、任何一個(gè)、唯一元素、對(duì)應(yīng)等，請(qǐng)同學(xué)們注意.接下來(lái)看一看下面幾幅對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于函數(shù)關(guān)系的是：

反思：教師的上述教學(xué)方式是典型的傳統(tǒng)概念教學(xué)模式，一個(gè)定義三項(xiàng)注意，在給出定義之后稍加解釋，而后用題型教學(xué)的模式替代概念教學(xué)，使得學(xué)生通過(guò)問(wèn)題模型多看、多想、多嘗試來(lái)熟悉、認(rèn)知函數(shù)概念，短期之內(nèi)也有一定的效果，但是從學(xué)生學(xué)習(xí)的長(zhǎng)久性和獨(dú)立性、思考性、思維的開(kāi)發(fā)性等角度而言，這種教學(xué)方式已經(jīng)被淘汰.筆者認(rèn)為概念教學(xué)要能夠揭示本質(zhì)、能通俗易懂、能將形式化的數(shù)學(xué)表述較為本質(zhì)地反映在學(xué)生面前，這是概念新知教學(xué)的一種提高.

辨析：很多函數(shù)概念教學(xué)總是用一種較為具體的形態(tài)進(jìn)行概念本質(zhì)的揭示，筆者見(jiàn)過(guò)很多參考資料上以各種食物加工機(jī)的形態(tài)解釋了同一自變量生成了不同的形態(tài)，揭示了用同一自變量x，經(jīng)過(guò)不同對(duì)應(yīng)法則f產(chǎn)生了不同函數(shù)值，這一形象的揭示才是體現(xiàn)函數(shù)本質(zhì)的解釋.類似的概念教學(xué)有很多，諸如直線與平面垂直為何是如此定義的？利用一本書(shū)的書(shū)軸和桌面展示了線面垂直這一空間幾何中最為重要的概念.因此，筆者認(rèn)為要對(duì)數(shù)學(xué)核心概念進(jìn)行教學(xué)反思，在反思中對(duì)概念進(jìn)行深化，這才是數(shù)學(xué)概念新知教學(xué)能達(dá)到更高境界的提煉.

二、課堂講題的反思

數(shù)學(xué)題目的講解是教師最直接的基本功體現(xiàn)，常常有這樣直觀的感受：同樣的問(wèn)題、同樣的解答過(guò)程，為何不同的教師去分析、解釋對(duì)學(xué)生而言會(huì)產(chǎn)生不同的感受呢？筆者認(rèn)為：這受制于教師個(gè)人因素.教師的能力不盡相同，表達(dá)方式和思維習(xí)慣存在差異，解題愛(ài)好等都有著顯著區(qū)別，這造成了課堂講解問(wèn)題自然形成各自特有的風(fēng)格.但有些教師形成了一些比較拙劣的課堂講題方式，用一些比較拙劣的方式、方法解決問(wèn)題，并在課堂上演繹得頭頭是道，更令人不解的是其沒(méi)有對(duì)自行產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)行過(guò)反思，年復(fù)一年形成了無(wú)法改變的陋習(xí).已故數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛先生曾說(shuō)：“給學(xué)生講一道題，我首先自己用幾種方式、方法，將最好的、最容易想到的、符合學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的方式、方法展示給學(xué)生，這樣的教學(xué)我認(rèn)為是比較恰如其分的.”

分析：本題是一次測(cè)試的填空題，筆者聆聽(tīng)了同行在某次試卷分析過(guò)程中對(duì)本題的課堂講解，其采用了向量數(shù)量積的計(jì)算，并結(jié)合圖形使用了正弦定理和余弦定理，過(guò)程如下.

教師自我解答總結(jié)：運(yùn)用此法輾轉(zhuǎn)反側(cè)，結(jié)合正弦及余弦定理將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問(wèn)題，還需注意三角化簡(jiǎn)及銳角三角形中角的范圍，對(duì)我們解決問(wèn)題的思維有一定要求.

反思：聽(tīng)完上述解答之后，筆者認(rèn)為本題其實(shí)被教師講復(fù)雜了.對(duì)學(xué)生而言，考試中若采用這樣的方式解決本題，一定是小題大做了，這是高考應(yīng)試中的大忌.眾所周知，高考命題專家在命制一道小題時(shí)，往往站在高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)下看待初等數(shù)學(xué)，其問(wèn)題解決的方式、方法除了初等問(wèn)題的方式之外，教師還要反思更精確、更巧妙的解決方案，將這樣的思維過(guò)程傳授給學(xué)生，學(xué)生才能學(xué)到解決問(wèn)題的精髓，久而久之才能通過(guò)嘗試、模仿進(jìn)行一定程度的創(chuàng)新.

辨析：解決本題時(shí)若能數(shù)形結(jié)合，充分利用已知條件，將大大簡(jiǎn)化過(guò)程，降低計(jì)算要求.

說(shuō)明：筆者認(rèn)為小題小做是解決填空題、選擇題的基本常識(shí)，因此對(duì)于本題，我們可以利用除了B之外的另外兩角是否成為直角這一臨界條件，結(jié)合圖形，將圖形化過(guò)程中銳角三角形的極限位置——直角三角形理解清楚，從而能夠掌握在處于銳角三角形時(shí)的取值范圍.因此，筆者認(rèn)為除了像上述教師系統(tǒng)地解決本題之外，我們還要反思小題如何小做，小題如何巧做.

反思解答2：從非特殊化的角度而言，本題的高等數(shù)學(xué)背景是向量的數(shù)量積與向量和與差之間的關(guān)系式，涉及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想.可以采用兩個(gè)思考方向：①利用向量的數(shù)量積與向量和與差之間的恒等關(guān)系式1，由圖形結(jié)構(gòu)容易計(jì)算出∈（1，，故∈（0，12）；②利用向量的數(shù)量積的幾何意義——投影，由圖直接簡(jiǎn)單計(jì)算出∈（0，12）.

說(shuō)明：上述兩種解答均反思了向量最本質(zhì)的一些表示，雖然第二種方法更簡(jiǎn)潔，但兩種思路都具有非凡的意義，筆者覺(jué)得對(duì)此題的反思很有教學(xué)的價(jià)值，它將眾多數(shù)學(xué)思想融合在一道題中，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的區(qū)分度很高，應(yīng)該是解題教學(xué)中一道很好的填空題，特別值得教師進(jìn)行解題教學(xué)的反思和提煉.

三、建構(gòu)探求的反思

數(shù)學(xué)知識(shí)活動(dòng)的建構(gòu)是新課程理念滲透到現(xiàn)階段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種產(chǎn)物，它要求教師將課堂教學(xué)進(jìn)行合理的改造，要積極設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方案，積極引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題、主動(dòng)探索問(wèn)題、建構(gòu)知識(shí)，將傳統(tǒng)灌輸式學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行徹底的改造，為學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛力的螺旋式上升做好準(zhǔn)備工作.但是從現(xiàn)階段建構(gòu)教學(xué)的過(guò)程來(lái)看，筆者認(rèn)為還存在兩大亟待解決的問(wèn)題：其一是建構(gòu)式教學(xué)是否真的建構(gòu)了，是否真的引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)了形式化的數(shù)學(xué)世界，去思考問(wèn)題、建構(gòu)知識(shí)，而不是以美其名曰的討論合作學(xué)習(xí)的名號(hào)將亂哄哄的課堂認(rèn)為是一種建構(gòu)的過(guò)程；其二是要學(xué)會(huì)反思建構(gòu)學(xué)習(xí)的根本是什么.新課程之所以提出了學(xué)生重在知識(shí)探索過(guò)程這一理念，更是看重了培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力，而不是一味的追求結(jié)果，那么教師能否在建構(gòu)探求階段做合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)形成的真正過(guò)程，這種知識(shí)探求、真正建構(gòu)的過(guò)程才是學(xué)生受益終生的財(cái)富.

案例3：數(shù)列遞推公式的建構(gòu)探索教學(xué).

筆者認(rèn)為建構(gòu)探求真正需要學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)，而不是以看似熱鬧的合作討論來(lái)替代建構(gòu)的本質(zhì)，這種是偽探索、假建構(gòu).筆者近期聽(tīng)聞了一節(jié)利用遞推公式求通項(xiàng)的公開(kāi)課，該教師的做法筆者認(rèn)為值得商榷.

師：數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為1，an+1=2an+1，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是什么？（解答過(guò)程略）

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)嘗試、討論下列問(wèn)題并求解通項(xiàng)：

（1）首項(xiàng)為1，an+1=3an-1，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是什么？

（2）首項(xiàng)為1，an+1=-2an+4，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是什么？（學(xué)生分組討論建構(gòu)，過(guò)程略）

反思：從該課訓(xùn)練來(lái)看，筆者認(rèn)為是一敗筆，在解決教師給出的例題之后，讓學(xué)生真正建構(gòu)思考更深一層的問(wèn)題應(yīng)該是鼓勵(lì)學(xué)生思考遞推模型an+1=pan+f（n），鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手，將f（n）變?yōu)楦鞣N基本初等函數(shù)，進(jìn)行探索嘗試，如將例題條件改變?yōu)閍n+1=2an+n該如何解決？改變?yōu)閍n+1=2an+n2呢？改變?yōu)閍n+1=2an+2n呢？只有合理設(shè)計(jì)、鼓勵(lì)嘗試，才能真正使探索進(jìn)入到課堂教學(xué)中，而不是一改變數(shù)字就認(rèn)為本課是由學(xué)生合作討論、探索建構(gòu)而來(lái)的！這樣的探索又有何意義呢？

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的反思存在于教學(xué)的方方面面，本文是筆者從自身所思所想出發(fā)總結(jié)的不成熟的一些想法.作為新課程理念滲透的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者認(rèn)為我們要將數(shù)學(xué)教學(xué)工作做得更為細(xì)致，要在教學(xué)的不足時(shí)刻做一些反思，并將反思整理、總結(jié)，這樣對(duì)于教師自身而言是一種專業(yè)化的成長(zhǎng)，數(shù)學(xué)教學(xué)必然會(huì)越教越精明，而不至于成為一名碌碌無(wú)為的“教書(shū)匠”.反思與教學(xué)并舉，思考與實(shí)踐共行，只有不斷反思才能有不斷的收獲.

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