金亞南，徐瀝泉

①無(wú)錫旅游商貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214045；②無(wú)錫市教育科學(xué)研究院，江蘇 無(wú)錫 214001

高斯數(shù)論研究芻議及其生平補(bǔ)遺
——紀(jì)念高斯逝世160周年

金亞南①，徐瀝泉②?

①無(wú)錫旅游商貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214045；②無(wú)錫市教育科學(xué)研究院，江蘇 無(wú)錫 214001

高斯是繼歐拉與拉格郎日之后把分析方法應(yīng)用于數(shù)論研究的又一位數(shù)學(xué)大師。本文扼要地綜述高斯數(shù)論研究的早期工作，其中有許多激動(dòng)人心的數(shù)論公式與定理。例如：正十七邊形的解，高斯和，二次互反律的證明；高斯的名著《算術(shù)研究》中較多的篇幅都涉及到了二次同余和二次型、代數(shù)學(xué)基本定理，高斯整數(shù)環(huán)的概念等，以及高斯在解決這些問(wèn)題的同時(shí)所創(chuàng)造的證明方法和概念。這些概念、定理或公式都是高斯發(fā)明并加以精確論證的。與眾不同的是，他善于把復(fù)雜問(wèn)題變換為一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題。事實(shí)上，高斯的想法更具一般性，并足以展示高斯數(shù)學(xué)工作的深刻性。文中的某些典型例子反映了他深刻的洞察力。從高斯對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明中，我們還可以領(lǐng)略與欣賞到他深邃的創(chuàng)造性思維活動(dòng)中的方法論價(jià)值。他并沒(méi)有把他的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明過(guò)程掩蓋起來(lái)，而是記載在他的工作日記和給友人的信件之中。

算術(shù)研究；正十七邊形；二次互反律；高斯和；高斯整數(shù)環(huán)

如果說(shuō)費(fèi)馬是現(xiàn)代數(shù)論研究的先驅(qū)，那么毫無(wú)疑問(wèn)，高斯則是現(xiàn)代數(shù)論研究的奠基者。卡爾?弗里德里希?高斯(Carl Friedrich Gauss)生于1777年，卒于1855年，逝世已160周年。他是眾所周知的那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家。他在數(shù)論方面的主要著作有《算術(shù)研究》(中國(guó)臺(tái)灣學(xué)者把它譯作《整數(shù)論研考》)。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，對(duì)此高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠?！备咚沟拿端阈g(shù)研究》于1801年問(wèn)世，由此開(kāi)創(chuàng)了數(shù)論研究的全新方式，是數(shù)論研究系統(tǒng)化、科學(xué)化的劃時(shí)代著作。除此之外，高斯還有若干數(shù)論方面的小論文，其中包括許多深刻和專門的結(jié)果。當(dāng)然，這里只能涉及其中的一小部分。

高斯的數(shù)學(xué)生涯經(jīng)歷了一條非凡而令人驚嘆的道路，從他的工作日記中可見(jiàn)一斑。它告訴我們有關(guān)高斯的最重要的發(fā)現(xiàn)。高斯并不是人們所傳言的那樣，是一位隱匿其重大發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)程的數(shù)學(xué)家，更不是有人形容的，高斯從不讓人看到和發(fā)現(xiàn)他的研究過(guò)程與方法，就像一頭在沙漠中行走的狡猾的狐貍，不時(shí)地用尾巴掃除掉自己所走過(guò)的足跡。不過(guò)高斯的一句座右銘“寧肯少些，但要好些”倒是真的，它恰如其分地刻畫(huà)出了他一貫的研究風(fēng)格。高斯對(duì)待學(xué)問(wèn)十分嚴(yán)謹(jǐn)，他的研究成果不到自己認(rèn)為已經(jīng)是臻善致美、無(wú)懈可擊時(shí)，他是不會(huì)發(fā)表出來(lái)的。

1 正十七邊形作圖、高斯二次互反律與高斯和

從文獻(xiàn)[1]中我們可以了解到許多關(guān)于高斯的鮮為人知的思維方法與過(guò)程。1796年3月30日，他發(fā)現(xiàn)了五進(jìn)制與二進(jìn)制的割圓原理，即在幾何上把圓17等分的可行性問(wèn)題。爾后在他1819年寫(xiě)給Gerling的一封信中，高斯又進(jìn)一步推廣了他的關(guān)于正十七邊形的可構(gòu)造性原理(等分圓周原理以及用幾何方法十七等分圓周)。他說(shuō)：

“我聯(lián)想到方程1+x+...+xp-1=0的所有的根，并對(duì)它們進(jìn)行了集中的分析，依據(jù)算法的原理，我終于成功了！那是在布倫瑞克(Braunschweig)休假期間，那天早晨，在我起床之前，我清楚地看到了它們之間的這種聯(lián)系，能夠特殊地應(yīng)用于正十七邊形，并立刻用數(shù)值的方法一一驗(yàn)證了它們?！盵1]64。

換言之，高斯解決了一個(gè)十分古老的古典問(wèn)題——正十七邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，即正十七邊形可以使用圓規(guī)和直尺作出。于是高斯首次發(fā)布了一個(gè)告示，并在這個(gè)告示中強(qiáng)調(diào)指出，他的方法足以徹底解決任何正n邊形的作圖問(wèn)題，即：正n邊形可以用圓規(guī)和直尺作出，當(dāng)且僅當(dāng)邊數(shù)n=2kp1...pr,時(shí)。這里pi是費(fèi)馬素?cái)?shù)，即形如22i+1的數(shù)。

僅幾個(gè)星期后，1796年4月18日，高斯又第一個(gè)給出了關(guān)于二次互反律的完整證明：

這是他在幾個(gè)月前獨(dú)立于歐拉和勒讓德(Legendre)所發(fā)現(xiàn)的。與之相聯(lián)系，他發(fā)展了二元二次型的理論。他所建立的這一理論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的前輩們，諸如拉格朗日(Lagrange)和勒讓德的工作 。他的著名的《整數(shù)論研考》一書(shū)，于1801年在Latin這個(gè)地方首次出版。它所創(chuàng)建的理論為數(shù)論奠定了系統(tǒng)而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也極大地豐富了數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域。在這之前，數(shù)論并沒(méi)有成為數(shù)學(xué)的一個(gè)科學(xué)分支。用高斯的話來(lái)說(shuō)，其中的最優(yōu)美結(jié)果都是零星而雜亂無(wú)章地分布著，是靠人們的好運(yùn)氣被實(shí)驗(yàn)性地發(fā)現(xiàn)的，而對(duì)它們的證明“則深深地隱匿在黑暗之中，頑固地抵制所有的努力，挫敗最銳利的探究”。數(shù)論中各種規(guī)律看起來(lái)互不相關(guān)、性質(zhì)迥異，實(shí)際上卻是緊密聯(lián)系的。這些規(guī)律經(jīng)?？梢酝ㄟ^(guò)不同途徑加以發(fā)現(xiàn)，殊途同歸，最終加以比較之后找到一個(gè)最簡(jiǎn)單、最自然且令人滿意的證明方法[2]。今天，關(guān)于如何構(gòu)造正多邊形作圖的定理，已成為伽羅華(Galois)理論的一部分。一種數(shù)學(xué)理論越是向某些問(wèn)題縱深發(fā)展之后，就常常會(huì)碰到更多令人驚奇的發(fā)現(xiàn)。

高斯在《整數(shù)論研考》(Disquisitiones Arithemeticae )第四節(jié)中把二次互反律稱之為基本定理，居于一個(gè)突出的位置，因?yàn)樗N(yùn)含了所有二次剩余的理論。高斯著重指出了這個(gè)定理的重要性，它既可以判別二次同余式解的一般法則，同時(shí)也揭示了存在于質(zhì)數(shù)對(duì)之間的一個(gè)意想不到的驚人的聯(lián)系，一個(gè)支配質(zhì)數(shù)的深刻的法則。高斯認(rèn)為：“數(shù)論本質(zhì)上分為兩部分：同余理論和齊次式的理論。二項(xiàng)同余式理論是一般同余理論的核心組成部分，而互反律則是后一理論的基石?！?/p>

在高斯的一生中，給出這一基本定理八個(gè)不同的證明方法。他在與愛(ài)森斯坦(F. G. Eisenstein，1823—1852，高斯的學(xué)生，德國(guó)數(shù)學(xué)家)的對(duì)話中講述自己在這方面的坎坷經(jīng)歷：“我在1795年獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，當(dāng)時(shí)我對(duì)其他人在高等算術(shù)中的成就一無(wú)所知，因此并沒(méi)有從相關(guān)文獻(xiàn)上得到一星半點(diǎn)的幫助。這個(gè)定理折磨了我整整一年，付出了我最艱巨的努力，直到最后我終于得到了一個(gè)證明(作者注：1796年4月18日，他的第一種證法僅用到了整數(shù)性質(zhì)，這是基本初等的方法)。后來(lái)我又發(fā)現(xiàn)了另外三個(gè)基于完全不同的原理的證明，其中有一個(gè)我已經(jīng)在《整數(shù)論研考》的第五節(jié)中給出，其余的幾個(gè)論優(yōu)美都難以與之比肩，我保留著等將來(lái)發(fā)表。盡管這些證明在嚴(yán)格性上無(wú)可挑剔，它們的背景來(lái)源卻都和原問(wèn)題相去甚遠(yuǎn)?！盵2]其中有幾種證明方法，他用到了高斯和的理論。

“對(duì)根的符號(hào)的確定，使我們?cè)S多年來(lái)傷透了腦筋。在我所找到的一個(gè)問(wèn)題的每一道關(guān)口都被蒙上了陰影。直到最后的四年里，碰巧有這么一個(gè)星期，由于不成功，我已經(jīng)放棄了這樣或者那樣的企圖，最后，也就是幾天之前，我終于成功了。但是這一成功，與其說(shuō)是作為我所尋找到的一個(gè)答案，倒不如說(shuō)是由于上帝的恩賜而來(lái)，好像突然之間劃出了一道閃光一樣，它終于自己解開(kāi)了這個(gè)謎?！盵1]66

2 代數(shù)學(xué)基本定理和高斯數(shù)環(huán)

高斯對(duì)代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)學(xué)基本定理，他的存在性證明開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑。代數(shù)學(xué)基本定理是說(shuō)，每個(gè)具有復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式都可以在復(fù)數(shù)域中被表示為若干個(gè)線性因子之積的形式。它有多種等價(jià)的表述，如每一個(gè)次數(shù)大于等于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根。利用復(fù)變函數(shù)論中的結(jié)論可以很簡(jiǎn)單地證明，這正是高斯所考慮的問(wèn)題。高斯以其對(duì)該定理的高超證明，使數(shù)學(xué)界不僅對(duì)高斯本人而且對(duì)復(fù)數(shù)刮目相看，從而進(jìn)一步確認(rèn)了復(fù)數(shù)的地位。不僅如此，他又把復(fù)數(shù)帶進(jìn)了數(shù)論，并且創(chuàng)立了復(fù)整數(shù)理論。

高斯在該領(lǐng)域中最重要的成就是對(duì)三次和四次互反律的發(fā)現(xiàn)與證明。為此，他引進(jìn)了高斯整數(shù)，即復(fù)整數(shù)。高斯證明了復(fù)整數(shù)在本質(zhì)上具有和普通整數(shù)相同的性質(zhì)，普通素?cái)?shù)的許多定理可以轉(zhuǎn)化為復(fù)素?cái)?shù)的定理。更為重要的是，由高斯引入的復(fù)整數(shù)理論開(kāi)辟了代數(shù)數(shù)論這一新的數(shù)論分支。這一理論，在19世紀(jì)得到了巨大的發(fā)展[3-5]。

這已經(jīng)表明存在一種聯(lián)系，即兩數(shù)平方和的一種表達(dá)式。我們有||xy||=||x||·||y||。高斯證明了A是一個(gè)歐幾里德(Euclidean)環(huán)。

眾所周知，歐幾里德算法(系統(tǒng))準(zhǔn)則的一條現(xiàn)存結(jié)果是A中的每一個(gè)元素都可以表為素元之積(所謂素元是指A中除本身及單位外無(wú)其他因子的元素)。整數(shù)中的非素?cái)?shù)肯定不是素元，但并非素?cái)?shù)都是A中的素元。例如：2=(-i)(1+i)2，(1+i)是一個(gè)素元。如果x是一個(gè)單位(可逆)元素，并且xy=1，可得||x||||y||=1，從而||x||=1，即x∈{1，-1，i，-i}。在此環(huán)中，可逆元素不再是±1，而是±1，±i。這方面高斯已經(jīng)明確地認(rèn)識(shí)到在A中分解素(數(shù))因子的必要性。

在高斯整數(shù)環(huán)中定義了A中的?函數(shù)：

展成“歐拉積”可得[6]

此公式中，?(s)是Zeta函數(shù)，而L(s)稱為L(zhǎng)函數(shù)。

這里，

當(dāng)s＞0時(shí)，L(s)收斂；而當(dāng)s=1時(shí)恰恰就是萊伯尼茲級(jí)數(shù)：這正是我們所熟悉的。

讓我們?cè)僖淮慰紤]這個(gè)方程：

因?yàn)閨|x+iy||=x2+y2，

從直觀上看，我們可以相當(dāng)清楚地得到下面的一類近似等式(左邊是一個(gè)關(guān)于積分的黎曼和)：

更精確地，我們有

計(jì)算此乘積是微積分中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)練習(xí)題。我們代之以極坐標(biāo)x=r cos φ，y=r sin φ，可得

由此產(chǎn)生

最終又可得到萊伯尼茲級(jí)數(shù)：

令人意外的是，A中素因子的唯一分解問(wèn)題竟與萊伯尼茲級(jí)數(shù)和p/4能聯(lián)系到一起，但這個(gè)聯(lián)系在數(shù)論中是極其重要的事實(shí)。它的一般原則被Dirichlet(迪里赫列德)完全發(fā)現(xiàn)。高斯對(duì)萊伯尼茲公式的證明非常簡(jiǎn)易，但是他從未發(fā)表過(guò)他的想法，盡管他還取得了另一些進(jìn)展。這是當(dāng)他完成《整數(shù)論研考》這部著作33年之后完成的，直到他去世之后才得以出版。至于在這方面，高斯本人是否給迪里赫列德提供過(guò)某種線索，能了解這一點(diǎn)是非常有趣的。令人遺憾的是，我們不得而知。迪里赫列德的論文中所涉及到這方面的成果也沒(méi)有提供給高斯。高斯并沒(méi)有對(duì)迪里赫列德的論文中的那些材料作過(guò)任何評(píng)論，迪里赫列德卻發(fā)展了這些思想?？偟恼f(shuō)來(lái)，高斯對(duì)其他數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)很少予以關(guān)注，但不關(guān)注迪里赫列德是非常可惜的，因?yàn)榈侠锖樟械率歉咚箍梢詮乃抢铽@取這些思想的難得的數(shù)學(xué)家。

當(dāng)然，高斯對(duì)現(xiàn)代數(shù)論研究的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不止這些。盡管從費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德，直到敏可夫斯基等等，都出自數(shù)論本身的內(nèi)在趣味及其所特有的美而進(jìn)行過(guò)獨(dú)自的研究，但高斯的工作是首先把先前人們所引用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化，運(yùn)用二元二次型的語(yǔ)言非常徹底地完成了系列命題的公式化。他把已有的結(jié)果理論化和系統(tǒng)化，并開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑，奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ)。

3 高斯生平補(bǔ)遺

最后，讓我們使用少許篇幅總結(jié)一下高斯的人格與生平，其中有一些是鮮為人知的珍貴資料。歐拉的一位同事和遠(yuǎn)親——Nicolaus Fuss，他以《L?歐拉的頌詞》為例，從人們所期待的一種科學(xué)傳記的需求，做出了如下的描述，這是1783年10月23日他在圣?彼得堡皇家科學(xué)院的一次會(huì)議上所作的演講。他說(shuō)：

“傳記文學(xué)家要描述一位偉人的生平，都會(huì)從他所處的那個(gè)時(shí)代出發(fā)，贊揚(yáng)偉人對(duì)開(kāi)啟人類智能所做出的貢獻(xiàn)，并結(jié)合偉人高雅的風(fēng)格進(jìn)行生動(dòng)的寫(xiě)照；另外，傳記文學(xué)家本身也必須具備完備的科學(xué)知識(shí)，他所記述的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是科學(xué)的最新進(jìn)展。然而，在諸多基本素質(zhì)之中，這兩種素養(yǎng)對(duì)一些人來(lái)說(shuō)并不是兼而有之的。盡管傳記文學(xué)家們不需要使用那些不必要的裝飾去修飾他的主題，但并不是說(shuō)他不能從他的職責(zé)出發(fā)，自然地有鑒賞性地去組織素材，清楚地給予介紹，如實(shí)地進(jìn)行記述。他應(yīng)該揭示天才的偉人是如何產(chǎn)生的，應(yīng)該調(diào)查周圍環(huán)境怎樣有助于杰出人才的造就與發(fā)展，對(duì)于偉人精湛的技藝給予廣泛的解釋，且這種贊揚(yáng)不能忘記在天才人物出現(xiàn)之前對(duì)當(dāng)時(shí)歷史現(xiàn)狀的分析，包括自然與社會(huì)。只有這樣才能正確地定位和反映出真實(shí)水準(zhǔn)?！?/p>

這里由于篇幅所限，我們不能對(duì)高斯的人品和貢獻(xiàn)做出全面而系統(tǒng)的介紹。如果只需了解一個(gè)梗概的話，可閱讀科學(xué)傳記詞典K. O. May的文章，和1977年德國(guó)布倫瑞克科協(xié)出版的邁爾-萊布尼茨的論著《Kreativitat》(創(chuàng)意)中關(guān)于高斯的論文[1]。W. K. Buhlerr的一本關(guān)于高斯的文學(xué)傳記，則包含了更多的內(nèi)容與信息，是一本新的非常杰出的傳記。

高斯1777年4月30日出生于布倫瑞克。高斯的母親婚前是女仆。他的父親Gebhard Dietrich Gauss是個(gè)非常勤勞而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?，從事過(guò)許多種工作，當(dāng)過(guò)石匠、屠夫、園林工和泥瓦匠(water worker)。他總是日夜繁忙，試圖改變其貧窮的家境。爾后，在1810年4月15日的一天，高斯對(duì)他的未婚妻Minna Waldeck這樣描述過(guò)自己的父親：

“我的父親以他非常正直的人品和高雅的工作方式贏得了人們的尊敬，但是他在家里是一個(gè)非常獨(dú)裁的人，粗暴而又急躁。我可以這樣說(shuō)，他在我幼小的心靈里已經(jīng)失去了我對(duì)他的充分信任。即便這樣也不會(huì)導(dǎo)致我們之間實(shí)際上的沖突，因?yàn)槲以缇妥兊梅浅５夭灰蕾囉谒恕！?/p>

實(shí)際上，高斯在他那個(gè)樸素的家庭氛圍中早就得到了某種鍛煉，他那非凡的天資在早期就開(kāi)始顯露出來(lái)。他自己學(xué)會(huì)了怎樣去閱讀和計(jì)算。在小學(xué)里，高斯的老師——尤其是他的輔導(dǎo)老師(助教)Martin Bartels——已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了高斯在算術(shù)方面的天才。高斯9歲時(shí)，Bartels就開(kāi)始給高斯特殊的訓(xùn)練，給他提供特別的教科書(shū)。這樣一個(gè)突出的學(xué)生所產(chǎn)生的影響，引起了周圍人們的關(guān)注。1877年，高斯違背了父親的意愿進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)校讀書(shū)，并由于學(xué)業(yè)進(jìn)步巨大而得以跳級(jí)。在那兒他學(xué)習(xí)了兩年。除了他在數(shù)學(xué)方面的聰明才智外，高斯在語(yǔ)言方面的天賦也是罕見(jiàn)的。1791年，正當(dāng)高斯14歲那年，他在布倫瑞克Carl Wilhelm Ferdinand公爵的宮廷里，接受了公爵贈(zèng)與他的一筆獎(jiǎng)學(xué)金。這是從公爵私人的財(cái)務(wù)開(kāi)支中拿出的數(shù)額有限的費(fèi)用，但已足以使高斯在面臨失學(xué)的關(guān)鍵時(shí)刻很容易地得以繼續(xù)完成他正常的學(xué)業(yè)，直到30歲為止。

1792年，高斯進(jìn)入布倫瑞克的Carolinum高等學(xué)校學(xué)習(xí)。在那里他閱讀了大量的數(shù)學(xué)大師的著作，其中有牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》(Newton’s Principia)、雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli)的遺著《猜度術(shù)》( J. Bernoulli’s Ars Conjectandi)，以及歐拉與拉格朗日的著作。這時(shí)，高斯也開(kāi)始了他自己的研究。3年以后，高斯離開(kāi)了學(xué)院，到G?ttingen(哥廷根)大學(xué)就讀。但當(dāng)時(shí)高斯還尚未決定到底是專攻數(shù)學(xué)還是專攻語(yǔ)言學(xué)，直到他發(fā)現(xiàn)可以用圓規(guī)和直尺畫(huà)出正十七邊形(正多邊形的歐幾里德作圖理論)的一剎那，才最終選擇數(shù)學(xué)作為其職業(yè)生涯。

在當(dāng)時(shí)，他進(jìn)入了這樣的一種狀態(tài)，覺(jué)得有必要把他在此期間所產(chǎn)生的許多想法一一如實(shí)地記錄下來(lái)。他的科學(xué)日記就是他自己研究成果的有力證明，并一直延續(xù)到1800年。這也是他一生中最多產(chǎn)的一個(gè)時(shí)期。在他已經(jīng)完成的許多最重要的工作之中，幾乎從來(lái)沒(méi)有后人徹底地加以改進(jìn)過(guò)，尤其是他對(duì)橢圓函數(shù)的考察。在此期間取得的成就，也包括他已經(jīng)寫(xiě)成的《整數(shù)論研考》，該書(shū)在1801年出版。盡管當(dāng)它出版的時(shí)候，能夠看懂的人不多，但這并沒(méi)有影響到人們一致公認(rèn)為他是一位杰出的數(shù)學(xué)家。

1798年，高斯完成了他在哥廷根大學(xué)的學(xué)業(yè)，返回布倫瑞克。他仍然依靠所獲得的那筆資助基金從事研究工作。1799年，他被赫爾姆施泰特(Helmstedt)大學(xué)授予博士學(xué)位的時(shí)候，本人并不在場(chǎng)。1801年，由于高斯的計(jì)算，使得失蹤了的小行星谷神星(Ceres)再次得以發(fā)現(xiàn)，這件事使高斯名聲大震。這是皮阿齊(G. Piazzi，意大利天文學(xué)家)發(fā)現(xiàn)并于1801年1月1日公布但隨即消失了的一顆小行星。高斯要真正看到它是根本不可能的，他只是在此基礎(chǔ)上，即憑借皮阿齊的有限的觀察資料，進(jìn)行理論和數(shù)據(jù)的考察與推斷，從而成功地計(jì)算出它的運(yùn)行軌道(注：1978年，當(dāng)這顆小行星的反射光線再次出現(xiàn)時(shí)，Ceres專門撰寫(xiě)了有關(guān)的論文，由此而得以Ceres的名義命名)。此事的成功，使得高斯轉(zhuǎn)向天文學(xué)方面的研究，從而使自己系統(tǒng)地深入到天文科學(xué)，并于1807年被任命為哥廷根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。這一職位一直被保留到1855年高斯逝世為止。這一職位使他能進(jìn)行獨(dú)立的大量的研究，而無(wú)需承擔(dān)任何教學(xué)任務(wù)，但也必須做許多具體的行政工作。

正如我們所知道的，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)與其背景密不可分。在德國(guó)北部地區(qū)的大面積測(cè)地工作消耗了高斯的許多時(shí)間，但人們可能不會(huì)看到高斯所卷入的這些實(shí)際問(wèn)題卻剌激了高斯在數(shù)學(xué)方面的某些研究。例如：在不同的幾何方面，高斯把曲面上的問(wèn)題映射到平面上，并在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他對(duì)測(cè)地線的觀察剌激了許多數(shù)學(xué)技術(shù)的發(fā)展，也有助于高斯本人掌握巨大的實(shí)驗(yàn)資料。大地測(cè)量學(xué)是高斯在一生中通過(guò)一百多萬(wàn)次的計(jì)算而建立起來(lái)的。不過(guò)，如果高斯不做那些具體工作，而把他的全部精力都投身于數(shù)學(xué)的話，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展是否會(huì)更好一些。

我們已經(jīng)看到，高斯的一生幾乎沒(méi)有發(fā)生過(guò)意外的重大變化。他一直在哥廷根度過(guò)了50年，并且在最后的幾十年里實(shí)際上沒(méi)有離開(kāi)過(guò)這座城市。他的生活是清淡而樸素的，但是他也以此節(jié)儉的方式積累了一些財(cái)富，這也許是他在那種貧窮的環(huán)境中所養(yǎng)成的一種習(xí)慣吧！

盡管他的生活是普通的，但是他個(gè)人對(duì)他家庭的安排，以及他與另一些科學(xué)家之間的關(guān)系并不是和諧的。這里，我們主要對(duì)一封信感興趣。該信是1838年11月高斯寫(xiě)給迪里赫列德的。我們已經(jīng)指出，高斯不是很關(guān)注其他數(shù)學(xué)家的工作，這樣說(shuō)并非夸張。Jacobi抱怨高斯說(shuō)，他沒(méi)有引證過(guò)他和迪里赫列德的任何論文長(zhǎng)達(dá)20年之久。他在阿貝爾(挪威，Abel)在世時(shí)沒(méi)有給予任何關(guān)注，僅僅當(dāng)阿貝爾英年早逝之后高斯請(qǐng)求他的摯友Olbers給他找一下，是否可以從哪里獲得阿貝爾的肖像。對(duì)于法國(guó)數(shù)學(xué)家，或許由于政治上的原因，高斯至少是漠視他們的；而對(duì)于某些人，高斯甚至表現(xiàn)出莫大的厭惡。愛(ài)森斯坦是在公開(kāi)場(chǎng)合受到高斯贊揚(yáng)的少數(shù)人之一。然而他是不幸的，因?yàn)榛疾《庵鞠痢Ｔ谠S多方面，愛(ài)森斯坦與高斯恰恰相反，因?yàn)樗闹髋c高斯“寧肯少些，但要好些”的格言格格不入。

這似乎很奇怪，高斯并沒(méi)有公布他的許多重要的發(fā)現(xiàn)，盡管他在追求優(yōu)先權(quán)方面要超過(guò)另一些數(shù)學(xué)家，且從未表現(xiàn)過(guò)厭倦。這會(huì)帶來(lái)許多的麻煩，為此，他常常遭到非難。越到年老，高斯越是強(qiáng)烈地滋生那些似乎是不可能的與達(dá)不到的榮譽(yù)感。他的學(xué)生本來(lái)就少，但每當(dāng)他可能與他們聯(lián)系的時(shí)候他也總是回避不見(jiàn)。他對(duì)漢堡德?亞歷山大表現(xiàn)出像冰川一樣的冷漠。他不幸的家庭關(guān)系也許是造成他性格冷漠的因素之一。到目前為止，我們可以看到，高斯的青年時(shí)代和在哥廷根的前期已經(jīng)從沉重的生活困境中解放出來(lái)，因而顯得很幸福。在1805—1809年間，他與Johanna Osthoff的第一次婚姻期間，他們度過(guò)了一段彼此間感到美滿而寧?kù)o的生活。高斯永遠(yuǎn)也不會(huì)忘記當(dāng)他的第三個(gè)孩子剛剛誕生不久之后，他的第一個(gè)妻子就去世了(注：她生有二子一女)。不久，高斯再婚。然而，他與Minna Waldeck的第二次婚姻實(shí)際上是不幸福的。Minna長(zhǎng)期生病，還時(shí)不時(shí)地會(huì)發(fā)作歇斯底里癥。高斯與她所生育的孩子們的關(guān)系也很緊張，最終他們都離開(kāi)高斯永久定居在美國(guó)。高斯寫(xiě)信給他在哥廷根求學(xué)時(shí)代就結(jié)下了友誼的好友Wolfgang Bolyai說(shuō)：“我的一生，在這世界上的許多人，他們都妒忌我。這是真的！但我確信，這些痛苦的經(jīng)歷，已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)；只要在年輕時(shí)敢于與它們抗?fàn)?，到老?lái)所得到的，真正是價(jià)值無(wú)比?！?/p>

(2015年5月25日收稿)

參考文獻(xiàn)

[1]SCHARLAU W, OPOLKA H. From Fermat to Minkowski [M]// Lectures on Theory of Numbers and Its Historical Development. New York: Springer-Verlag, 1985: 13-31.

[2]謝國(guó)芳. 高斯、愛(ài)森斯坦和二次互反律的“第三個(gè)”證明——一幕小戲劇[EB/OL]. (2012-08-15)[2015-05-25]. http://www.xieguofang. cn/Translations/Math/Gauss_Eisenstein_Ch.htm.

[3]KLINE M. Mathematical thought from ancient to modern times [M]. New York: Oxford University Press, 1990.

[4]華羅庚, 王元. 數(shù)論在近似分析中的應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1978: 128-129.

[5]潘承洞, 潘承彪. 初等代數(shù)數(shù)論[M]. 濟(jì)南: 山東大學(xué)出版社, 1991: 112-117.

[6]唐志華, 徐瀝泉, 徐利治. 歐拉應(yīng)用分析于數(shù)論研究綜述[J]. 南京師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 26(6): 43-48.

[7]徐瀝泉, 林益, 吳仲和. 數(shù)論中三個(gè)著名級(jí)數(shù)定理的構(gòu)造性證明及其推論[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2010, 30(3): 123-128.

[8]MANIN Y I, PANCHISHKIN A A. Introduction to modern number theory [M]. 2nd ed. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005: 115-189.

(編輯：沈美芳)

Gauss number theory studies and his life addendum

JIN Yanan①, XU Liquan②
①Wuxi Higher Vocational School of Tourism & Commerce, Wuxi 214045, Jiangsu Province, China; ②Wuxi Institute of Education Science, Wuxi 214001, Jiangsu Province, China

As we know, Carl Friedrich Gauss was a mathematician to make use of mathematical analysis to research the number theory after Euler and Lagrange. An introduction of his study is presented systematically here. There are many exciting formulas and theorems such as the constructability of the regular 17-gon, Gaussian sum and the law of quadratic reciprocity. His main numbertheoretical work, Disquisitions Arithmeticae, and several smaller number-theoretical papers contain so many deep and technical results that Fundamental Theorem of Algebra and the ring of Guassian integers and so on. These conceptions, theorems, and formulas were all fi rst discovered accurately by Gauss’ demonstrations. Gauss was extraordinary at converting a complex question into a simple problem. In fact, Gauss’ ideas have become more generalized. These facts are enough to prove that he had extensive and deep knowledge of his subject. A few instances represent his deep insight. Besides, we can appreciate the basic principle of methodology from Gauss’ inventions and discoveries. He never takes a process of discovery in a cover-up, and we know this from his diary which informs us about his most important discoveries.

Disquisitions Arithmeticae, the regular 17-gon, the law of quadratic reciprocity, Guassian sum, the ring of Guassian integers

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.05.005

?通信作者，E-mail：liquanwx@163.com