周北海

北京大學哲學系

zhoubh@phil.pku.edu.cn

賈青

中國社會科學院哲學研究所

v100jq@163.com

相干邏輯關系語義的推理解釋*,?

周北海

北京大學哲學系

zhoubh@phil.pku.edu.cn

賈青

中國社會科學院哲學研究所

v100jq@163.com

關系語義是相干邏輯中最為重要的語義學之一，但是關系語義一開始就以“純粹”的形式語義的面貌出現(xiàn)，其中三元關系R的直觀意思是什么并不清楚，于是出現(xiàn)了關于關系語義的多種解釋。我們認為，R所代表的是推理規(guī)則集、前提集和結論集三者之間的關系，據(jù)此提出了推理語義。推理語義以推理的形式結構為背景，有明確的直觀意義。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，證明出推理語義是與關系語義等價的語義。從推理語義與關系語義的這個等價關系上看，推理語義完全可以作為對于關系語義直觀解釋的一個中間環(huán)節(jié)。由此不僅使得關系語義有了推理結構的解釋，同時說明了相干邏輯是一種關于推理的邏輯。這與相干邏輯產生的歷史也完全吻合。

相干邏輯；關系語義；推理語義

上世紀七十年代初R.Routley和R.Meyer給出了相干邏輯的關系語義（relational semantics）。這一語義中的框架是一個四元組〈K,R,0,?〉，其中R是一個三元關系（[10-12]）。在關系語義下可以得到一系列相干邏輯系統(tǒng)的完全性，從這個角度看關系語義是一個成功的語義，因而成為了相干邏輯中最為重要的語義學。但是，關系語義一開始就以“純粹”的形式語義面貌出現(xiàn)，其中三元關系R的直觀意思是什么并不清楚，于是出現(xiàn)了關于關系語義，特別是R的多種解釋。我們認為，R代表的是推理規(guī)則集、前提集和結論集三者之間的關系?；谶@一理解，周北海（[15]）構造了推理模型并提出了推理語義（inference semantics）而且使用推理語義證明了一度衍推系統(tǒng)Efde的完全性。周北海（[16]）對此做了進一步的分析和討論，討論了推理語義與關系語義的一般性關系，但是沒有具體說明推理語義如何用于相干邏輯。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，在給出R+推理語義模型的基礎上，證明R+的推理語義和關系語義是等價的，從而進一步說明對于關系語義中的三元關系R做推理的解釋是合理的，這一語義實際上是關于推理結構的刻畫。

1 相干蘊涵與推理語義的直觀解釋

相干邏輯是以相干蘊涵（relevance implication）為核心概念建立的邏輯。相干蘊涵提出的動因是為了消除實質蘊涵悖論。相干蘊涵要求蘊涵式的前件和后件要有共同的命題變元（即相干原則），試圖通過這一方法加強前后件的聯(lián)系，以給出對日常推理中的推出關系更合理的刻畫。

相干蘊涵是相干邏輯的核心概念，與此相應，關于相干蘊涵的語義解釋也是相干邏輯關系語義的核心。設〈K,R,0,?〉是一個關系語義框架，A→B是一個相干蘊涵式。對于任意的a∈K，A→B在a上為真，當且僅當，對于K中任意的b,c，如果Rabc且A在b中為真，那么B在c中為真。0是K中一個特別的元素，所有在0上為真的公式就是在這個框架形成的模型中有效的公式。這些就是關系語義的核心部分。但這還只是一個抽象的語義，因為其中并沒有說明a,b,c都是什么，R又是什么意義上的關系，至多只是說到0是一個“邏輯建構”（logical set-up），什么是邏輯建構，對此沒有更多的解釋。正因為如此，于是引出了多種直觀解釋。對此我們認為，這個框架實際上也可以做推理的解釋。

任何一個推理都有三個部分：規(guī)則、前提和結論。設A→B是一個推理規(guī)則。如果有前提A，那么經由規(guī)則A→B的應用就能得到結論B。一般地，設r是一個規(guī)則集，a是一個前提集，b是由r和a得到的結論集，即由r中的規(guī)則和a中的前提得到結論都在b之中，于是我們可以得一個三元組〈r,a,b〉?？紤]到r可作用于不同的前提集以得到不同的結論集，于是有不同的三元組，如〈r,a′,b′〉，〈r,a′,b′〉等，進而形成一個三元組的集合{〈r,a,b〉,〈r,a′,b′〉,〈r,a′,b′〉,〈r,a′′,b′′〉,...}，這就是三元關系R。從這個角度看，R就是一種推理關系。

根據(jù)這個考慮，令Z是一個由公式集構成的集合，R是上述三元關系。于是，對于Z中任意的元素a,b,c,Rabc表示的是規(guī)則集a、前提集b和結論集c三者之間所具有推出關系。在此基礎上，還可以設一個特殊的規(guī)則集，稱為邏輯規(guī)則集，記作r。Rrab與Rabc類似，只是其中的規(guī)則集r是邏輯規(guī)則集。這里的“邏輯規(guī)則”即適用于Z中的所有公式集的規(guī)則。于是，可以通過由Z，R，r三個要素組成的三元組〈Z,R,r〉作為語義裝置，用以刻畫推理的形式規(guī)律。設G是一定條件下所有這些三元組構成的集合，令LG=∩{r|〈Z,R,r〉∈G}。于是，LG中的公式就是由G所確定的所有推理都適用的規(guī)則，從而達到對于某種邏輯的刻畫。

三元組〈Z,R,r〉通過規(guī)則集（包括邏輯規(guī)則集）和前提集以及結論集之間的關系表達了推理的最為基本的結構。因此這個語義稱為推理語義。規(guī)則集、前提集和結論集是所有推理最一般的組成要素，由此得到推理的一般形式結構。在這個基礎上，還可以考慮不同類型的推理，增加一定的條件，由此得到不同邏輯。周北海（[15]）用推理語義證明了Efde的可靠性和完全性。本文試以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，將推理語義推廣到相干邏輯。重點是考察推理語義與關系語義之間的等價關系。推理語義有明確的直觀背景，可以通過這個等價關系給出關系語義的直觀解釋。

2 相干邏輯系統(tǒng)R+及其關系語義

系統(tǒng)R+（[1]）是相干邏輯的重要系統(tǒng)之一，是最集中體現(xiàn)相干蘊涵性質的純蘊涵系統(tǒng)R→的擴張，并且具有一定的簡潔性，比如不用考慮否定聯(lián)結詞，可以使得語義框架、模型相對簡單（省去否定算子?），以更集中地討論目前的主要問題。

R+的語言記作L，其中有可數(shù)多個命題變項p,q,...，連接詞→,∧,∨，以及左括號“(”和右括號“)”；有以下類型的公式：變項，A∧B，A∨B和A→B。以下用V(L)表示L的變項集，F(xiàn)(L)表示L的公式集。

R+的公理模式和規(guī)則：

定義1三元組〈K,0,R〉是一個R+框架，當且僅當，

(1)K是一個非空集，其中的元素稱為建構（set-up）；

(2)0∈K，稱為邏輯建構；

(3)R是K上滿足以下條件的三元關系：對任意的a,a′,b,c∈K，1這些條件因為依賴關系與原文的排序有所不同（詳情見命題2）。

(i)同一性（Identity）：R0aa；

(ii) 冪等性（Idempotence）：Raaa；

(iii)交換性（Commutativity）：Rabc?Rbac；

(iv)結合性（Associativity）：R2(ab)cd?R2a(bc)d；2R2(ab)cd=df?x(Rabx∧;Rxcd)，R2a(bc)d=df?x(Raxd∧Rbcx)。

(v) 單調性（Monotony）：Rabc且R0a′a?Ra′bc。

定義2結構M=〈K,0,R,?〉是一個R+模型，當且僅當，

(1)〈K,0,R〉是R+框架；

(2)?是一個從K到F(L)的關系（稱為賦值關系），滿足下面的條件：

(i)對任意的變項p，如果M,a?p并且R0ab，則M,b?p；

(ii)M,a?A∧B，當且僅當，M,a?A且M,a?B；

(iii)M,a?A∨B，當且僅當，M,a?A或M,a?B；

(iv)M,a?A→ B，當且僅當，對任意的b,c∈K，如果Rabc且M,b?A，那么M,c?B。

定義3設M是任意R+模型，A是任意公式。如果M,0?A，那么A在M上被驗證（verified）；如果A在所有模型上都被驗證，那么A是有效的。

在這一語義中，R+是可靠的和完全的（[2,6]）。

3 R+的推理語義

每一推理都包括規(guī)則集、前提集和結論集三個部分。以下所給出的就是根據(jù)這個思想所構建的R+形式語義，其中也參照了R+的關系語義的特點。

記號設a,b是任意的公式集，令[ab]={B|A→B∈a且A∈b}。

定義4三元組〈Z,R,r〉是一個推理語義框架，當且僅當，

(1)Z??(F(L))；

(2)r∈Z，稱為邏輯規(guī)則集；

(3)對任意的a,b,c∈Z，Rabc，當且僅當，[ab]?c。3這是Rabc的嚴格表述。確切的說，[ab]是由規(guī)則集a和前提集b得到的結論集。Rabc即[ab]包含于c。c是包含[ab]的集合，為表述方便也簡稱結論集。

定義5四元組M=〈Z,R,r,?〉是一個推理語義的模型，當且僅當，

(1)〈Z,R,r〉是推理語義框架；

(2)?是一個從Z到F(L)的關系（稱為賦值關系），滿足下面的條件：

(i)M,a?p，當且僅當，p∈a；

(ii)M,a?A∧B，當且僅當，M,a?A且M,a?B；

(iii)M,a?A∨B，當且僅當，M,a?A或M,a?B；

(iv)M,a?A→ B，當且僅當，對任意的b,c∈Z，如果Rabc且M,b?A，那么M,c?B。

定義6三元組〈Z,R,r〉是一個R+的推理語義框架，當且僅當，

(1)〈Z,R,r〉是推理語義框架；

(2)Th(R+)?r；

(3)對任意的a,b,c∈Z，任意的A,B∈F(L)，

(i)[ra]?a；

(ii)[aa]?a（a對分離封閉）；

(iii)[ba]?[ab]；

(iv)[a[bc]]?[[ab]c]；

(v)[ra′]?a?[a′b]?[ab]。

定義7四元組〈Z,R,r,?〉是R+的推理語義模型，當且僅當，

(1)〈Z,R,r〉是一個R+的推理語義框架；

(2)?推理語義模型中的賦值關系。

定義8設M是任意R+推理語義模型的模型類，A是任意公式。A在M上有效，當且僅當，對于任意模型〈Z,R,r?〉∈M，A∈r。

R+的推理模型是存在的。這可以通過下面的例子來證明。

設Z′={r,a,b,c,d,e}。其中r=Th(R+)∪{p,q,r,s,p→q},a={p,q,r, p∧q→q,p→q},b={r,s,r→r∨p},c={p,q,p→q,q→q}，d={q,s,q→q}，e={q,q→q}。

設x是Z′中的任意公式集，令x是滿足以下條件的最小集合：x?x且對R1和R2封閉并對規(guī)則“從A或B得到A∨B”封閉。令Z={r,a,b,c,d,e}。根據(jù)定義7，可以驗證〈Z,R,r〉是一個R+框架，于是，〈Z,R,r,?〉是一個R+模型。

定義7以R+為例，給出了完整的推理語義。根據(jù)這個語義，所有有效公式形成一個公式集，記作LR+。從R+的推理模型看，LR+中的規(guī)則普遍適用于一定條件（即定義6給出的框架條件）下的所有推理，而且LR+包含了所有這樣的規(guī)則。如果可以證明R+對于這個有效公式集是可靠的和完全的，那么可以說，R+是LR+的公理化系統(tǒng)。事實上，這個推理語義也是根據(jù)R+的關系語義給出的，特別是其中的框架條件（定義6（3））。以下將證明R+的推理語義和關系語義是等價的。既然對于關系語義來說，R+是可靠的和完全的，由此可以得到R+關于推理語義也是可靠的和完全的。

R+是LR+的公理化系統(tǒng)。推理語義是對于推理結構的刻畫，有明確的推理背景。從這個角度看，R+是關于推理的系統(tǒng)。

4 R+的關系語義和推理語義的等價性

定義9設M,M′是任意的兩個模型。M與M′是等價的，如果對于任意公式A，A在M上有效，當且僅當，A在M′上有效。

定義10設S是任意相干邏輯系統(tǒng)。S的關系語義和推理語義是等價的，如果

（1）任給S的推理語義模型M，存在S的關系語義模型M，M和M是等價的；

（2）任給S的關系語義模型M，存在S的推理語義模型M，M和M是等價的。

命題1任意R+的推理語義模型也是R+的關系語義模型。

證明.設M=〈Z,R,r,?〉是R+的推理語義模型。按定義2，需證（1）〈Z,R,r〉是R+的關系語義框架，以及（2）?是關系語義模型的賦值。

（1） 〈Z,R,r〉是R+的關系語義框架。因為〈Z,R,r〉是R+的推理語義框架，按定義6，Z非空，r∈Z，即滿足定義1(1)和(2)。下證〈Z,R,r〉滿足定義1(3)(i)-(v)。

由定義6(3)(i)[ra]?a和(ii)[aa]?a，直接可得Rraa和Raaa。

(iii)Rabc?Rbac。由定義6(3)(iii)有[ba]?[ab]，由此可得對任意的公式集c，[ab]?c?[ba]?c，即Rabc?Rbac。

(iv)R2(ab)cd?R2a(bc)d，即?x(Rabx∧Rxcd)??x(Raxd∧Rbcx)。

由定義6(3)(iv)可得[[ab]c]?d?[a[bc]]?d，即R[ab]cd?Ra[bc]d。因為[ab]?[ab]總是成立的，所以總有Rab[ab]。類似地，總有Rbc[bc]。于是有(Rab[ab]∧R[ab]cd)?(Ra[bc]d∧Rbc[bc])。由此可得

因為總有Rab[ab]，所以有?x(Rabx∧Rxcd)?Rab[ab]。再由定義6(3)(i)和(v)可得?x(Rabx∧Rxcd)?R[ab]cd。于是有

由(a)和(b)，可得?x(Rabx∧Rxcd)??x(Raxd∧Rbcx)。

(v)Rabc且Rra′a?Ra′bc。由定義6(3)(v)有[ra′]?a?[a′b]?[ab]。

由此可得[ra′]? a? ([ab]? c? [a′b]? c)。于是有[ra′]? a并且[ab]?c?[a′b]?c。這就是Rabc且Rra′a?Ra′bc。

（2） ?是關系語義模型的賦值關系。按定義2只需證，對于任意的變元p，如果M,a?p，并且Rrab則M,b?p。設M,a?p，根據(jù)定義5，有p∈a。由定義6，Th(R+)?r，所以p→ p∈r。由p→p∈r和p∈a，可得p∈[ra]。又因為Rrab，按定義即[ra]?b。所以有p∈b。由此可得M,b?p。 □

定義11設M=〈K,R,0,?〉是任意的關系語義模型。s(M)=〈s(K),s(R), s(0),s(?)〉是M的公式化模型（formulistic model），如果

（1） 對于任意a∈K，s(a)={A|M,a?A}；

（2） s(K)={s(a)|a?K}；

（3） 對任意的a,b,c∈s(K)，s(R)abc，當且僅當，[ab]?c；

（4） s(?)是推理語義的賦值映射?。

s(M)中的〈s(K),s(R),s(0)〉部分稱為〈K,R,0〉的公式化框架。

命題2設F=〈K,R,0〉是任意關系語義框架，s(F)=〈s(K),s(R),s(0)〉是F的公式化框架。如果F是一個R+的關系語義框架，那么s(F)是R+的推理語義框架。

證明.因為〈K,R,0〉是一個R+的關系語義框架，K?，0∈K，所以s(K)?，s(0)∈s(K)，s(F)滿足定義6中的(1)和(2)。以下證s(F)滿足定義6(3)(i)-(v)。

關于條件(i)，即證對任意的a，[s(0)a]?a。設a是s(K)中的任意元素。由定義11，存在a∈K,a=s(a)。M是R+模型，所以有R0aa。于是，對任意的公式A,B，如果M,0?A→B，且M,a?A，那么M,a?B。由此可得，如果A→B∈s(0)且A∈s(a)，則B∈s(a)。這就是[s(0)a]?a。

關于條件(ii)，即證對任意的a，[aa]?a。由定義11，不妨設存在a∈K,a=s(a)。F是R+的關系語義框架，所以有Raaa。于是，對任意的公式A,B，如果M,a?A→B，且M,a?A，那么M,a?B。由此可得，如果A→B∈s(a)且A∈s(a)，則B∈s(a)，即[aa]?a。

關于條件(iii)，即證對任意的a,b，[ba]?[ab]，也即對任意的c，[ab]?c?[ba]?c。設A,B是任意公式，A→B∈b且A∈a。因為A→((A→B)→B)是R+定理（由A4和A1可得），所以A→((A→B)→B)∈s(0)。又因為有s(R)s(0)aa,A∈a，所以(A→B)→B∈a。由(A→B)→B∈a和A→B∈b可得B∈[ab]。因為[ab]?c，于是B∈c。

關于條件(iv)，即證對任意的a,b,c，[a[bc]]?[[ab]c]，這是對任意的d，[[ab]c]?d? [a[bc]]?d。此證明需要解決的是，對任意的A,B，假設有(1)A→B∈a，(2)A∈[bc]，再由(3)[[ab]c]?d，推出B∈d。

由(2)，可得存在公式C，(4)C→A∈b，且(5)C∈c。設E=(C→A)→((A→B)→(C→B))。因為E是R+定理，所以E∈s(0)。再由(4)和s(R)s(0)bb（以上所證條件(ii)），可得(A→B)→(C→B)∈b。再由(1)，可得C→B∈[ba]。又因為有[ba]?[ab]（以上所證條件(iii)），可得C→B∈[ab]。再由(5)，可得B∈[[ab]c]。于是，由(3)，B∈d。

關于條件(v)，即證對任意的a,b，[ra′]?a?[a′b]?[ab]。設B∈[a′b]。由此又可設，存在A，A→B∈a′且A∈b。因為A→A是公理，所以(A→B)→(A→B)∈r。又因為A→B∈a′，[ra′]?a，所以A→B∈a。再由A∈b，所以B∈[ab]。 □

命題3設M=〈K,R,0,?〉是任意關系語義模型。如果M是一個R+模型，那么M的公式化模型s(M)=〈s(K),s(R),s(0),s(?)〉是R+的推理語義模型。

證明.由命題2，〈s(K),s(R),s(0)〉是推理語義框架。s(?)即?，是推理語義模型中的賦值，所以s(M)是推理語義模型。 □

命題4設M=〈K,R,0,?〉是任意關系語義模型，s(M)=〈s(K),s(R),s(0), s(?)〉是M的公式化模型，A是任意的公式。對任意的a∈s(K),s(M),a?A，當且僅當，A∈a。

證明.對于變項，由定義5(2)(i)，命題成立。

設A∧B∈a。a∈s(K)所以存在a∈K，M,a?A∧B。按定義2，有M,a?A且M,a?B。于是，有A∈a且B∈a。由歸納假設，s(M),a?A且s(M),a?B。再由定義5，可得s(M),a?A∧B。

A∨B與A∧B類似。

設A→B∈a，對任意的b,c∈Z，如果Rabc且A∈b則B∈c。由歸納假設，對任意的b,c∈Z，如果Rabc且s(M),b?A則s(M),c?B。按定義5，即s(M),a?A→B。

命題5設M=〈K,R,0,?〉是任意關系語義的R+模型。如果s(M)=〈s(K),s(R),s(0),s(?)〉是M的公式化模型，那么M與s(M)等價。

證明.設A是任意公式。由命題4，可得s(M),s(0)?A當且僅當A∈s(0)。又因為A∈s(0)當且僅當M,0?A，所以有s(M),s(0)?A當且僅當M,0?A。

命題6R+的關系語義和推理語義是等價的。

證明.由命題1可得，對于R+的任意推理模型M，存在R+的關系語義模型M，M和M是等價的。由命題3和命題5可得，對于R+的任意關系模型M，存在R+的推理模型M，M和M是等價的。由定義10，命題成立。 □

5 相干邏輯的關系語義究竟刻畫的是什么

自相干邏輯的關系語義產生以來，關于這個語義的直觀意義是什么的問題就一直為邏輯學家們所關注，出現(xiàn)了多種解釋。Dunn（[5]）將K解釋為信息片段的集合，Rabc表示“信息狀態(tài)a和b的并包含在信息狀態(tài)c中”。Barwise（[3]）以及Restall（[9]）提出了途徑論（Channel Theory）的解釋。這一解釋認為K可被視為是信息論（Information Theory）中的位置（site）和途徑（channel）所構成的集合。位置是接收信息的一個情境，途徑則是傳遞信息的渠道。在這種解釋下，如果a是一個途徑，b和c是位置，那么Rabc就表示途徑a連接了位置b和c。Mares（[7]）和Israel&Perry（[4]）在其所構建的信息論基礎上對此提出了世界及其之中信息之間關聯(lián)性的解釋。他們認為，每個世界都包含了某種信息之間的關聯(lián)性。例如在現(xiàn)實世界中，根據(jù)牛頓力學，如果x和y是有質量的物體，那么它們就會相互吸引。設a表示現(xiàn)實世界，b表示x和y是有質量的物體這一信息，c表示x和y相互吸引這一信息，于是Rabc表示的是，在世界a中，如果b（x和y是有質量的物體）那么c（x和y相互吸引）。Mares（[8]）用情景化蘊涵（situated implication）解釋相干蘊涵，關系語義模型中的K被解釋為情景的集合。如果a、b是任意兩個情景，P是任意命題，I是描述情景化蘊涵的三元關系，那么Iab‖P‖就表示了a和b中的信息蘊涵了這樣一個情景的集合，P在該集合中的任意情景上都為真。于是，蘊涵式A→B在情景a中為真，當且僅當，對于所有使得A為真的情景b來說，Iab‖B‖成立。在此基礎上，Rabc表示的是c屬于任意使得Iab‖P‖成立的命題P。胡光遠（[14]）再述了這一解釋。

這些解釋的一個共同特點就是都與信息相關，關系語義中的三元關系或者是信息之間的關系，或者是信息與世界、情境相關的關系。4這個現(xiàn)象大概與推理語義產生的過程有關。Dunn&Restall（[6]）指出這一語義是由Routly和Urquhart在二十世紀六十年代和七十年代所分別提出的操作語義（operational semantics）的發(fā)展。操作語義中的框架是一個三元組〈K,?,0〉，其中K是信息片段（pieces of information）的集合，?是K上信息片段之間的復合運算，0表示的是“空的信息片段”。按照這些解釋，相干邏輯就應該是關于信息之間的關系的邏輯，但這與相干邏輯的發(fā)展歷史并不相符。相干邏輯產生于上世紀六十年代，直接的動因是消除蘊涵悖論或蘊涵怪論。蘊涵悖論最早出現(xiàn)于實質蘊涵。所謂“悖論”，不過是直觀上的推出關系與實質蘊涵的不同。為消除實質蘊涵悖論，C.I.Lewis以日常推理的推出關系為原型，提出了嚴格蘊涵，并構建了嚴格蘊涵系統(tǒng)。但是不久人們發(fā)現(xiàn)嚴格蘊涵也有悖論問題。為消解嚴格蘊涵悖論，上世紀五十年代至六十年代，在莫紹揆、W.Ackerman等人工作的基礎上，A.Anderson和N.Belnap建立了以相干蘊涵為核心的相干邏輯（[13]，第8-9頁）。從這個過程可以看出，相干邏輯是圍繞推理問題產生和發(fā)展起來的邏輯分支，但是目前相干邏輯關系語義的各種直觀解釋與此并不吻合，讓相干邏輯看起來是關于信息處理的邏輯，這或許是讓人不滿意這些解釋的原因之一。5在本文的寫作過程中，我們詢問了N.Belanp關于關系語義的三元關系直觀意義的問題。Belnap在回復中說：“我花了很多年來考慮相干邏輯中三元關系的問題。最后，關于三元關系的直觀意義，我所能說的也就是Anderson&Belnap（[2]）中三處非常短的引述。這三處引述是由R.Meyer、A.Urquhart和K.Fine發(fā)現(xiàn)的。關系語義雖然形式上非常漂亮，但是我卻不知道它到底在說什么。因為這三條引述非常短，所以我認為沒什么人能在關系語義的直觀意義問題上說些更多的東西?！窃谖铱磥恚@始終是‘眼中的沙子’”。

當然，歷史的原因或人們構造某種邏輯的動因與實際得到的邏輯可能會有偏差，Lewis的嚴格蘊涵邏輯就是一例。Lewis希望得到刻畫日常推理的邏輯，但是嚴格蘊涵邏輯走向了關于必然性和可能性的邏輯之路，Lewis也由此成為現(xiàn)代模態(tài)邏輯的創(chuàng)始人。盡管相干邏輯是沿著Lewis所希望的方向繼續(xù)前進，但是難免也出現(xiàn)同樣的情況，實際上走向了信息處理的方向?？傊?，歷史的原因還不能作為相干邏輯究竟是什么邏輯最具決定性的證據(jù)。這個最后的證據(jù)只能是其形式語義的直觀。

推理語義有明確的推理背景，特別是其中的三元關系，一開始就明確提出，這是推理中的規(guī)則集、前提集和結論集三者之間的關系，因此推理語義的框架和模型實際上就是對于推理形式結構的刻畫。本文以相干邏輯系統(tǒng)R+為例，證明了關于R+推理語義本身就是關系語義（命題1），而且與關系語義是等價的（命題6）。雖然這只是一個例子，但是其中已經包含了主要的要點，并且展示了具體的細節(jié)。根據(jù)這個例子，有理由認為，將關系語義做推理的解釋更為合理。實際上，相干邏輯提出的基本思想就是試圖通過滿足相干原則的蘊涵來表達推理前提和結論之間的內容聯(lián)系，以解決各種真值蘊涵的前件和后件在內容關聯(lián)上的不足這個問題。在這樣的思想下建立的系統(tǒng)，最后得到了本質上是關于推理形式結構的關系語義學，應該說也是順理成章的結果。

從推理形式結構的角度看，不僅推理語義的解釋更為直觀，而且在這個大的背景下，其中的關系條件也可以得到合理的解釋。例如，關于系統(tǒng)R+的關系語義中的幾個條件關系（定義1(3)）的解釋：

R0aa表達的是，邏輯規(guī)則可以用于任何前提集，推出的結論不會超出這個前提集本身；

Raaa表達的是，任何公式集都可以即做規(guī)則集又做前提集，推出是結論不會超出自己；

Rabc?Rbac表達的是規(guī)則集和前提集可以互換；

R2(ab)cd?R2a(bc)d是最為復雜的條件，從命題2關于條件(iv)的證明看，主要是用到了(C→A)→((A→B)→(C→B))，所以，這個性質所對應的其實主要就是三段論推理。

Rabc且R0a′a? Ra′bc表達的是在推理語義中，R的這個性質對應于[ra′]?a?[a′b]?[ab]。這說明，如果a包含了邏輯規(guī)則和a′推出的結論集[ra′]，那么，用a′做規(guī)則集能推出什么，用a做規(guī)則集也能推出什么。這是推理的單調性（增加了前提還可以推出原來可以推出的結論）。

這些解釋同時也表明了R+是關于什么推理的邏輯。

當然，關系語義模型和推理語義模型還是有所不相同的模型。為刻畫推出關系，推理語義模型要求論域中所有的元素都是公式集，而關系語義模型中卻沒有這樣的要求。從這點看，關系語義比推理語義更抽象，所以也有更廣的應用范圍。但是這并不表明這些應用都是關系語義的基本直觀意義。可能世界語義學也有類似情況。從抽象的形式語義看，可能世界語義學中的框架〈W,R〉只要求W是非空集，R是W上的二元關系，可能世界語義也因此有了廣泛的應用范圍，如語言分析，數(shù)學結構和計算機狀態(tài)及其關系的各種刻畫，但是這并不妨礙我們仍然將W看做是可能世界的集合，R看做可能世界之間的可及關系。這就是可能世界語義學的直觀。

相干邏輯的出現(xiàn)是為了刻畫推出關系。從推理的直觀看，關系語義提供了對于推理結構的形式刻畫。這一解釋為相干邏輯的關系語義提供了一個合適的直觀理解，也為相干邏輯的產生和發(fā)展歷程提供了合適的解釋。

6 結語

對于相干邏輯來說，基于三元關系形成的關系語義在技術上可以說是一個完美的語義，但是長期以來這個語義的直觀意義是什么并沒有令人滿意的回答。這個問題涉及到相干邏輯是什么邏輯的問題。其中的關鍵是這個語義中的三元關系究竟是什么關系。推理語義對此給出了一個推理要素之間關系的解釋，由此構造了表達推理形式結構的推理語義框架和模型。推理語義框架和模型有明確的直觀意義。從推理語義模型與關系語義模型的等價關系上看，推理語義完全可以作為關系語義向推理的直觀解釋過渡的一個中間環(huán)節(jié)。由此不僅使得相干邏輯的關系語義有了推理結構的解釋，同時也說明了相干邏輯是一種關于推理的邏輯。這與相干邏輯產生的歷史也完全吻合。

本文只是以相干邏輯R+的關系語義為例來說明我們的觀點。推理語義具有一般性，這里的討論應該也可以推廣到其他相干邏輯的關系語義，甚至更為一般的關于推理的邏輯的研究。

[1] A.R.Anderson and N.Belnap,1975,Entailment:The Logic of Relevance and Necessity,volume I,Princeton:Princeton University Press.

[2] A.R.Anderson,N.Belnap and J.M.Dunn,1992,Entailment:The Logic of Relevance and Necessity,volume II,Princeton:Princeton University Press.

[3] J.Barwise,1993,“Constraint,channels and the flow of information”,in P.Aczel,D. Israel,Y.Katagiri and S.Peters(eds.),Situation Theory and Its Application,3,pp.3-27,Stanford:CSLI Publication.

[4] D.D.Israel and J.Perry,1990,“What is information?”,in P.Hanson(ed.),Information,LanguageandCognition,6,pp.1-19,Vancouver:UniversityofBritishColumbia Press.

[5] J.Dunn,1986,“Relevance logic and entailment”,in D.Gabbay and F.Guenthner (eds.),HandbookofPhilosophicalLogic,3,pp.117-124,Dordrecht:RiedelPublishing Company.

[6] J.DunnandG.Restall,2002,“Relevancelogic”,inD.GabbayandF.Guenthner(eds.), Handbook of Philosophical Logic 2nd,6,pp.86-98,Netherlands:Kluwer Academic Publishers.

[7] E.Mares,1997,“Relevant logic and the theory of information”,Synthese,109:354-360.

[8] E.Mares,2004,Relevant Logic:A Philosophical Interpretation,Cambridge:Cambridge University Press.

[9] G.Restall,1996,“Information flow and relevant logics”,in D.W.J.Seligman(ed.), Logic,Language and Computation,1,pp.463-478,Stanford:CSLI Publication.

[10] R.Routley and R.Meyer,1972,“The semantics of entailment,II”,Journal of Philosophical Logic,(1):53-73.

[11] R.Routley and R.Meyer,1972,“The semantics of entailment,III”,Journal of Philosophical Logic,(1):192-208.

[12] R.Routley and R.Meyer,1973,“The semantics of entailment”,in H.Leblanc(ed.), Truth,Syntax and Modality,pp.199-243,Amsterdam:North-Holland.

[13] 馮棉，相干邏輯研究，2010年，華東師范大學出版社。

[14] 胡光遠，“相干邏輯的情境論解釋”，邏輯學研究，2013年第6卷第4期，第105-115頁。

[15] 周北海，“衍推系統(tǒng)Efde的推理模型”，自然辯證法研究（增刊），1996年，第10-12頁。

[16] 周北海，“推理、推理模型和推理語義”，邏輯今探——中國邏輯學會第五次代表大會暨學術討論會論文集（1996），1999年，中國社會科學文獻出版社，第3-15頁。

（責任編輯：潘琳琦）

An Explanation for the Relational Semantics of Relevance Logic

Beihai Zhou
Department of Philosophy,Peking University zhoubh@phil.pku.edu.cn
Qing Jia
Institute of Philosophy,Chinese Academy of Social Sciences v100jq@163.com

Relationalsemanticsisoneofthemostpopularsemanticsforrelevancelogic.However,because this semantics is a kind of“purely”formal semantics,the ternary relation R lacks intuition,and that is why there are various interpretations for relational semantics.As to our opinion,R is a representation of the relation among rules,premises and conclusions.Basedonthisopinion,inferencesemanticsispresented.Thebackgroundof inference semantics is the formal structure of inference and this feature makes inference semantics intuitive for our understanding.In this paper,we will prove that relational semantics and inference semantics are equivalent with respect to the relevance logical system R+.From this equivalence relation,inference semantics could be viewed as an intermediate link for the intuitive interpretation of relational semantics.By inference semantics,relational semantics could got an interpretation from the structure of inference.Relevance logic is a logic of inference,so inference semantics is coincident with the history of relevance logic.

B81

A

1674-3202(2015)-01-0050-15

2015-01-20

國家社科基金重大項目（批準號12&ZD119）。

?致 謝：感謝Nuel D.Belanp在本文寫作中所給予的支持。馮棉教授閱讀了初稿，指出了其中的一個錯誤，特此致謝。