劉瀟++馬輝民++張金隆++劉昌猛

摘要：針對(duì)我國(guó)住房保障中公共住房如何公平高效分配的問題，提出了一種適用的解決方法。首先通過保障家庭對(duì)公共住房地理位置、居住面積、市場(chǎng)租金、樓層高度和周邊環(huán)境五個(gè)關(guān)鍵屬性的期望值和重要性排序來反映保障家庭的住房偏好，再依據(jù)保障家庭的住房偏好和公共住房的實(shí)際屬性值構(gòu)建彼此在各個(gè)關(guān)鍵屬性上的子匹配度評(píng)價(jià)體系。用多維空間里的某一點(diǎn)表示保障家庭和公共住房的匹配狀況，而該點(diǎn)各維度的坐標(biāo)值即為各個(gè)子匹配度的數(shù)值，再用該點(diǎn)同空間正負(fù)理想點(diǎn)的相對(duì)距離來衡量保障家庭和公共住房之間的匹配度。之后建立雙邊匹配數(shù)學(xué)模型，按照嚴(yán)格優(yōu)先匹配和非嚴(yán)格優(yōu)先匹配兩種情形，采用不同算法求得合適的匹配解集，并對(duì)比分析其所反映的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：公共住房分配，住房偏好，匹配度，雙邊匹配

中圖分類號(hào)：C931 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-9138-（2015）03-0048-61 收稿日期：2015-01-10

當(dāng)前，中國(guó)社會(huì)正處在人類歷史上最大規(guī)模的城市化進(jìn)程階段，根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的數(shù)據(jù)顯示，2009年我國(guó)城市化率為46.6%，2013年已升至53.7%，數(shù)年之內(nèi)，超過1000萬居民從鄉(xiāng)村遷入城鎮(zhèn)。巨大的人口流動(dòng)對(duì)各類社會(huì)民生保障服務(wù)有了更多更高的需求，而住房保障是其中最重要的服務(wù)之一，一直是全社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)。近幾年，中央和各級(jí)地方政府相繼投入了大量資源進(jìn)行保障性安居工程建設(shè)，根據(jù)“十二五”規(guī)劃綱要，2011到2015年5年內(nèi)，我國(guó)計(jì)劃建設(shè)3600萬套各種類型的保障性住房（以下統(tǒng)稱為公共住房），使全國(guó)公共住房覆蓋比率達(dá)到20%左右。考慮到“十一五”期間已建成的住房，幾年內(nèi)將有大量的公共住房投入市場(chǎng)，惠及中低收入群體，然而如何有效管理這些公共住房，尤其是如何公平高效地將公共住房分配給各種類型的保障家庭是各級(jí)住房保障管理部門所面臨的一個(gè)亟需解決的社會(huì)問題。

國(guó)外對(duì)公共住房分配研究涉及較少，主要因?yàn)榘l(fā)達(dá)國(guó)家或地區(qū)住房福利體系相對(duì)完善，并且公共住房資源相對(duì)豐富，他們對(duì)公共住房的研究多集中在政府政策對(duì)住房體系以及保障家庭支付能力的影響，以及住房評(píng)價(jià)體系的構(gòu)建和應(yīng)用。

而國(guó)內(nèi)雖然對(duì)公共住房分配領(lǐng)域關(guān)注較多，但大多集中在分配政策和制度體系上，或者對(duì)比介紹其他發(fā)達(dá)國(guó)家的分配模式，且大多都是定性的論述，沒有形成實(shí)際可操作的方案；也有部分學(xué)者從搜尋成本角度考慮了市場(chǎng)住房的匹配情形，但忽視了公共住房分配的社會(huì)因素特征。在實(shí)際操作中，國(guó)內(nèi)許多城市現(xiàn)有公共住房主要是靠搖號(hào)方式進(jìn)行分配，這種方式看似簡(jiǎn)單可行，但忽略了保障家庭對(duì)住房的偏好要求，導(dǎo)致待分配的住房和保障家庭心理預(yù)期有較大差異，從而造成政策認(rèn)知高但滿意度低的現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)本來作為稀缺資源的公共住房出現(xiàn)人為空置、閑置等極端現(xiàn)象。顯然，搖號(hào)制度在“誰需要”、“需要什么”、“支付能力”等問題上有明顯的弊端。正是在此背景下，本文針對(duì)如何識(shí)別保障家庭的住房需求，如何建立住房分配規(guī)則體系展開研究，并提出一種基于多屬性雙邊匹配的住房分配方法，在考慮保障家庭住房偏好的基礎(chǔ)上，用定量的研究方法為住房保障管理部門分配決策提供科學(xué)參考。

1 住房雙邊匹配分析

公共住房的分配可以表述為候選保障家庭和待分配公共住房之間的雙邊匹配決策問題。雙邊匹配決策最早由Gale和Shapley提出，起初是針對(duì)古典婚姻匹配和大學(xué)招生錄取的應(yīng)用背景。Roth最早給出了雙邊匹配的定義，“雙邊”（two-sided）是指所有待匹配的主體都分別屬于兩個(gè)互不關(guān)聯(lián)的集合，“匹配”（matching）是指兩個(gè)分別屬于前述兩個(gè)不關(guān)聯(lián)集合的主體建立一對(duì)一的關(guān)聯(lián)。雙邊匹配決策如圖1所示，F(xiàn)和H是兩個(gè)互不關(guān)聯(lián)的集合，F(xiàn)i和Hj分別代表其中第i個(gè)和第j個(gè)個(gè)體，個(gè)體Fi和個(gè)體Hj之間的連線（或?。┍硎居邢虻膬蓚€(gè)權(quán)值，這兩個(gè)權(quán)值分別代表Fi對(duì)Hj的匹配程度（或滿意度）和Hj對(duì)Fi的匹配程度（或滿意度）。雙邊匹配的目的就是確定連接節(jié)點(diǎn)的匹配關(guān)系，找到一個(gè)合理的匹配結(jié)果，使得這些匹配主體之間的總權(quán)值，也就是總體匹配程度（或滿意度）最大，或者能夠形成穩(wěn)定的匹配解。

雙邊匹配理論已廣泛用于人力資源管理、市場(chǎng)交易、金融經(jīng)濟(jì)活動(dòng)等眾多領(lǐng)域，但是由于各自應(yīng)用背景不同，雙邊匹配理論的應(yīng)用和相應(yīng)模型的構(gòu)建各有差異。以股票交易為例，這種雙邊匹配又稱為撮合，類似的還有電力交易、雙向拍賣等，通常是將買賣雙方按照某種規(guī)則分成兩類序列集，匹配結(jié)果一般由價(jià)格、數(shù)量和序列先后順序三要素決定，涉及市場(chǎng)清算、撮合匹配、交易量確定、交易價(jià)格確定、收益計(jì)算等步驟，匹配目標(biāo)通常是使交易數(shù)量或交易金額最大化；而在以電子商務(wù)為代表的雙邊交易中，通常是建立買賣雙方的滿意度或匹配度函數(shù)，以雙方滿意度或匹配度總和最大化為匹配目標(biāo)，這種匹配通常把買方賣方各個(gè)實(shí)體等同看待。公共住房和保障家庭的匹配問題同后者有些類似，但亦存在較大的背景差異，在構(gòu)建公共住房匹配模型時(shí)，尤其需要考慮以下幾個(gè)特點(diǎn)：

第一，保障家庭對(duì)公共住房的考量因素眾多。由于政府的調(diào)控作用，公共住房和保障家庭的匹配情形中，價(jià)格并不是主要決定要素，而是僅作為商品重要屬性之一加以考量。理論上保障家庭對(duì)公共住房每個(gè)屬性都有相應(yīng)的心理預(yù)期，保障家庭在某屬性上的心理預(yù)期和公共住房此屬性實(shí)際值之間的匹配程度，稱為兩者在該屬性上子匹配度。各屬性子匹配度的取值組合直接影響了保障家庭和公共住房?jī)烧咧g匹配度的取值。因此，公共住房分配的第一步即是建立每個(gè)屬性子匹配度的評(píng)價(jià)體系。

第二，各公共住房屬性和各個(gè)保障家庭不能等同對(duì)待。雖然公共住房有許多屬性，如住房地址、居住面積等，但是保障家庭對(duì)這些公共住房屬性的重視程度因人而異，有的在意住房的所在位置，有的更在意住房面積，故公共住房的各個(gè)屬性不能等同視之，也不能“一刀切”的分配固定權(quán)值，這一點(diǎn)恰恰是電子商務(wù)交易匹配模型中所忽視的。此外，大多數(shù)城市的住房分配過程中，一些特殊家庭（如孤寡、重病、傷殘、軍烈等）都會(huì)優(yōu)先獲得住房保障資源，即候選家庭具有不同的分配優(yōu)先級(jí)，不能等同視之。因此，公共住房分配必須根據(jù)各屬性子匹配度和各屬性之間重要性關(guān)系，確定保障家庭和公共住房之間的匹配度計(jì)算規(guī)則，進(jìn)而確定考慮保障家庭分配優(yōu)先級(jí)的總匹配度的計(jì)算規(guī)則。

第三，數(shù)量和分配規(guī)則的限制。由于公共住房是一種稀缺的社會(huì)福利資源，所以不可能有電子商務(wù)交易中一對(duì)多或多對(duì)多的匹配情形。每一個(gè)候選的保障家庭最多只可能被分配到一套公共住房，同樣每套公共住房最多只可能被分配給一個(gè)保障家庭。由于兩者是人和資源之間的匹配，并非涉及買賣雙方，因此兩主體之間只有一個(gè)權(quán)值代表單邊的匹配程度，在本背下僅考慮保障家庭的總體匹配感受。除此之外，兩者的匹配還受到相關(guān)住房分配規(guī)則的約束，如果假定候選家庭都是符合住房分配規(guī)則的門檻要求（一般是家庭經(jīng)濟(jì)收入和現(xiàn)有住房狀況方面的約束），通常出于避免資源浪費(fèi)等目的，政府在分配住房時(shí)往往希望擬分配公共住房的戶型結(jié)構(gòu)與對(duì)應(yīng)保障家庭的人口結(jié)構(gòu)相適宜，并為此制定相關(guān)的約束規(guī)則。

2 數(shù)據(jù)采集設(shè)計(jì)和預(yù)處理

本文將保障家庭對(duì)公共住房各屬性的期望值和對(duì)各屬性的重要性感受稱為保障家庭的住房偏好，保障家庭和公共住房之間的匹配度即是由保障家庭的住房偏好和公共住房屬性實(shí)際值所共同決定。所以，公共住房分配首先需采集保障家庭的住房偏好信息和公共住房各屬性實(shí)際值的信息。此外，還需收集保障家庭的人口結(jié)構(gòu)信息和公共住房的戶型結(jié)構(gòu)信息，這是進(jìn)行雙邊匹配的數(shù)據(jù)來源。

理論上，每個(gè)保障家庭對(duì)公共住房的每個(gè)屬性都有一個(gè)內(nèi)心期望值和重要性認(rèn)知感受，但是公共住房屬性眾多，有些屬性并不被大多數(shù)保障家庭群體關(guān)注，或者公共住房的某些屬性的數(shù)值幾乎沒有波動(dòng)而缺乏討論意義。經(jīng)調(diào)查訪談之后，本文認(rèn)為住房地址、居住面積、市場(chǎng)租金、樓層高度和周邊環(huán)境這五個(gè)住房屬性是公眾最為關(guān)注的住房屬性。換言之，在本文中，保障家庭的住房偏好就是其對(duì)這五個(gè)關(guān)鍵屬性的期望值以及對(duì)這五個(gè)屬性重要性程度的認(rèn)知感受。由于保障家庭對(duì)屬性重要性程度的認(rèn)知感受難以直接測(cè)量，從數(shù)據(jù)采集便捷性的角度出發(fā)，本文用保障家庭對(duì)這五個(gè)屬性重要性先后順序信息來表達(dá)其對(duì)屬性重要性的認(rèn)知感受。

此外，保障家庭數(shù)量眾多，為了提高其住房偏好的規(guī)范性以及合理性，同時(shí)也為適應(yīng)在線大規(guī)模的信息采集方式，保障家庭對(duì)五個(gè)住房關(guān)鍵屬性的期望值需從當(dāng)?shù)刈》勘Ｕ喜块T根據(jù)其所供應(yīng)公共住房的實(shí)際情況而給出的若干個(gè)指定選項(xiàng)中選擇。本文所述方法的數(shù)據(jù)采集設(shè)計(jì)說明如表1所示。

將候選的保障家庭集合記為F，家庭數(shù)量記為m，F(xiàn)i表示其中的一個(gè)保障家庭，i∈[1，m]，并假定保障家庭集合中的元素是按照其分配優(yōu)先級(jí)高低進(jìn)行排序，即F1具有最高的優(yōu)先級(jí)，F(xiàn)2次之，依次類推，F(xiàn)m的優(yōu)先級(jí)最低。待分配的公共住房集合記為H，住房數(shù)量為n，Hj表示其中的一套公共住房，j∈[1，n]。公共住房的五個(gè)關(guān)鍵屬性住房地址、居住面積、市場(chǎng)租金、樓層高度和周邊環(huán)境分別記為u1、u2、u3、u4和u5。為描述屬性的重要性順序，我們用“φ”表示“更重要”，如果某保障家庭對(duì)這五個(gè)住房關(guān)鍵屬性的重要性排序第一是住房地址，第二是居住面積，第三是市場(chǎng)租金，第四是樓層高度，第五是周邊環(huán)境，則記之為u1φu2φu3φu4φu5。

保障家庭Fi對(duì)住房地址的期望記為αi，對(duì)居住面積的期望記為βi，對(duì)市場(chǎng)租金的期望記為γi，對(duì)樓層高度期望記為δi，對(duì)周邊環(huán)境的期望記為εi。公共住房Hj住房地址的實(shí)際值記為aj，居住面積的實(shí)際值記為bj，市場(chǎng)租金的實(shí)際值記為cj，樓層高度的實(shí)際值記為dj，周邊環(huán)境的實(shí)際值記為ej。保障家庭Fi和公共住房Hj在住房地址屬性上的子匹配度是由αi和aj兩個(gè)參數(shù)值所決定，將其記為f1（αi，aj），同理兩者在居住面積、市場(chǎng)租金、樓層高度和周邊環(huán)境的子匹配度分別記為f2（βi，bj），f3（γi，cj），f4（δi，dj）和f5（εi，ej）。下文將給出這些子匹配度函數(shù)的計(jì)算規(guī)則，并定義它們函數(shù)值波動(dòng)范圍均在0和10之間，數(shù)值越大，匹配程度越高，其中0為最小值，10最大值。

住房地址信息包括區(qū)、街道、社區(qū)三級(jí)地址數(shù)據(jù)，保障家庭Fi對(duì)區(qū)地址的期望值記為αi1，對(duì)街道地址的期望值記為αi2，對(duì)社區(qū)地址的期望值記為αi3，αi={αi1，αi2，αi3}，若某項(xiàng)為不限區(qū)域，則標(biāo)記為0。同理，公共住房Hj的區(qū)地址實(shí)際值記為aj1，街道地址的實(shí)際值記為aj2，社區(qū)地址的實(shí)際值記為aj3，aj={aj1，aj2，aj3}。此項(xiàng)屬性的子匹配度隨區(qū)、街道、社區(qū)各自期望值和實(shí)際值的不同而變化，當(dāng)三級(jí)地址的實(shí)際值和預(yù)期值完全一致或者保障家庭對(duì)地址無特定偏好時(shí)，f1（αi，aj）取值最大；反之，當(dāng)三級(jí)地址的實(shí)際值和預(yù)期值完全不一致且保障家庭對(duì)地址有特定的選擇偏好時(shí)，f1（αi，aj）取值最小。f1（αi，aj）函數(shù)隨αi和aj變化的取值情況如公式（1）所示。

（1）

居住面積期望值有15平方米以上、30平方米以上、45平方米以上、60平方米以上、75平方米以上和不限面積六個(gè)選項(xiàng)，分別可用βi=15、βi=30、βi=45、βi=60、βi=75和βi=0來表示。如果βi不超過bj，或者βi等于0，那么該屬性的子匹配度為最大值10，反之如果βi大于bj，則子匹配度隨兩者的差值增大而降低，直到降為最低值0為止。f2（βi，bj）函數(shù)隨βi和bj變化的取值情況如公式（2）所示。

（2）

市場(chǎng)租金和居住面積類似，100元以下、200元以下、300元以下、400元以下、500元以下和不限租金六個(gè)選項(xiàng)可分別記為γi=100、γi=200、γi=300、γi=400、γi=500和γi=+∞。如果γi不低于cj，或者γi為正無窮大，那么該項(xiàng)子匹配度為最大值10，反之，如果γi低于cj，則子匹配度隨兩者的差值增大而降低，直到降為最低值0為止。f3（γi，cj）函數(shù)隨γi和cj變化的取值情況如公式（3）所示。

（3）

不管是樓層高度的預(yù)期值δi還是實(shí)際值dj，它們的取值均為以下某項(xiàng)：首層，記為h1；低樓層，記為h2；中高樓層，記為h3；頂層，記為h4；預(yù)期值δi除此之外還可能是不限樓層，記為h0。即δi∈{h0，h1，h2，h3，h4}，dj∈{h1，h2，h3，h4}。f4（δi，dj）隨δi、dj變化的取值情況如表2所示。

周邊環(huán)境一項(xiàng)同以上四項(xiàng)屬性略有不同，保障家庭對(duì)公共住房周邊環(huán)境的期望εi由其若干個(gè)周邊環(huán)境子屬性選項(xiàng)組成，其中周邊教育環(huán)境記為εi1、周邊醫(yī)療環(huán)境記為εi2、周邊交通環(huán)境記為εi3和周邊生活環(huán)境記為εi4，即εi{εi1，εi2，εi3，εi4}。公共住房的周邊環(huán)境實(shí)際值ej由周邊教育環(huán)境實(shí)際值（記為ej1）、周邊醫(yī)療環(huán)境實(shí)際值（記為ej2）、周邊交通環(huán)境實(shí)際值（記為ej3）和周邊生活環(huán)境實(shí)際值（記為ej4）組成，即ej={ej1，ej2，ej3，ej4}。用g（x）表示εi和ej元素之間的映射，即ejk=g（εik），k=1，2，3，4。用|εi|表示集合εi包含元素的數(shù)量。如果εi為空集，即保障家庭在此屬性的選擇是不限環(huán)境，與此對(duì)應(yīng)f5（εi，ej）為最大值10；否則其取值為保障家庭在此屬性上選擇的子屬性所對(duì)應(yīng)實(shí)際值的平均數(shù)。f5（εi，ej）函數(shù)隨εi和ej變化的取值情況如公式（4）所示。

由于房源和家庭的匹配還涉及保障家庭人口結(jié)構(gòu)和公共住房戶型結(jié)構(gòu)是否符合住房分配規(guī)則，于是用ηi表示保障家庭Fi的人口結(jié)構(gòu)，用pj表示公共住房Hj的戶型結(jié)構(gòu)，用f（ηi，pj）表示Fi和Hj之間是否符合分配規(guī)則，若f（ηi，pj）=1則表示兩者符合分配規(guī)則，若f（ηi，pj）=0則表示兩者不符合分配規(guī)則。在本文設(shè)計(jì)的分配方法中，人口結(jié)構(gòu)有以下幾種情形：?jiǎn)稳思彝?，記為ηi=r1；雙人夫妻家庭，記為ηi=r2；雙人非夫妻家庭，記為ηi=r3；三人含夫妻家庭，記為ηi=r4；其它類型家庭，記為ηi=r5。戶型結(jié)構(gòu)有以下幾種情形：?jiǎn)伍g小戶型，記為pj=t1；一室一廳，記為pj=t2；二室一廳，記為pj=t3；三室一廳及以上的大戶型，記為pj=t4。f（ηi，pj）隨ηi、pj變化的取值情況如表3所示。

3 匹配度定義

保障家庭Fi和公共住房Hj在五個(gè)關(guān)鍵屬性上的子匹配度整體信息用五維空間里的某一點(diǎn)表示，記為Tij，其坐標(biāo)為（f1（αi，aj），f2（βi，bj），f3（γi，cj），f4（δi，dj），f5（εi，ej））。由于保障家庭對(duì)各個(gè)關(guān)鍵屬性的重要性排序有先有后，故需對(duì)點(diǎn)Tij的坐標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q以體現(xiàn)各屬性不同的重要性程度。

將保障家庭Fi對(duì)住房地址、居住面積、市場(chǎng)租金、樓層高度和周邊環(huán)境五個(gè)屬性的重要性指數(shù)分別記為wi1、wi2、wi3、wi4和wi5。屬性重要性排序的排序值轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的重要性指數(shù)的方法很多，但通常無外乎滿足下述三個(gè)條件：第一，重要性指數(shù)都大于零；第二，排序越靠前，重要性指數(shù)越大，反之越靠后，重要性指數(shù)越?。坏谌?，根據(jù)心理感受，按照排序從前到后，重要性指數(shù)降低的速度越來越小。為簡(jiǎn)化起見，本文直接給出一種重要性指數(shù)可行的取值方案：排序第一的屬性重要性指數(shù)為2，排序第二的屬性重要性指數(shù)為1.6，排序第三的屬性重要性指數(shù)為1.3，排序第四的屬性重要性指數(shù)為1.1，排序第五的屬性重要性指數(shù)為1。即有wik∈{2，1.6，1.3，1.1，1}，其中k=1，2，3，4，5。變換后的點(diǎn)用Tij*表示，其坐標(biāo)可用（wi1f1（αi，aj），wi2f2（βi，bj），wi3f3（γi，cj），wi4f4（δi，dj），wi5f5（εi，ej））表示。

對(duì)保障家庭Fi而言，最不理想住房可用此多維空間內(nèi)的點(diǎn)Ti′表示，其坐標(biāo)為（0，0，0，0，0）；最理想住房也可用其中的點(diǎn)Ti″表示，其坐標(biāo)為（10wi1，10wi2，10wi3，10wi4，10wi5）。如果點(diǎn)Tij*同點(diǎn)Ti′距離越遠(yuǎn)，同點(diǎn)Ti″距離越近，則認(rèn)為點(diǎn)Tij*反應(yīng)了五個(gè)屬性整體更高的匹配度。記點(diǎn)Tij*同負(fù)理想點(diǎn)Ti′距離為D1（Fi，Hj），同正理想點(diǎn)Ti″距離為D2（Fi，Hj），并記保障家庭Fi和公共住房Hj之間的匹配度為Dij。根據(jù)Minkowski距離定義，有

其中Tijk*、Tik′和Tik″都是點(diǎn)Tij*、Ti′和Ti″中的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值。當(dāng)q=1時(shí)，即為絕對(duì)距離；當(dāng)q=2時(shí)，即為歐氏距離；當(dāng)q=∞時(shí)，即為切比雪夫距離。當(dāng)q取不同值時(shí)，對(duì)應(yīng)的距離值和匹配度也有所變化。本文取q等于2，采用基于歐氏距離的相對(duì)接近度來衡量匹配度，并考慮戶型和人口結(jié)構(gòu)匹配情況，D1（Fi，Hj）、D2（Fi，Hj）和Dij函數(shù)定義分別如公式（5）（6）（7）所示。

4 匹配模型

給定保障家庭Fi和公共住房Hj的匹配度Dij后，兩者之間的匹配可以用運(yùn)籌學(xué)里的指派問題模型來描述。每套待分配的住房最多只能分配給一個(gè)保障家庭，每個(gè)保障家庭最多只能分配到一套公共住房?？紤]到每個(gè)保障家庭具有不同的分配優(yōu)先級(jí)，記保障家庭Fi的分配優(yōu)先級(jí)指數(shù)為Mi，用xij表示保障家庭Fi和公共住房Hj之間的匹配情況。若xij=1則表示兩者有匹配關(guān)系，若xij=0則表示兩者沒有匹配關(guān)系。該匹配模型如公式（8）（9）（10）（11）所示。

（8）

根據(jù)公共住房實(shí)際分配情況，分配優(yōu)先級(jí)指數(shù)Mi有兩種賦值方案。第一種稱為嚴(yán)格優(yōu)先匹配，此情形下，M1、M2、M3…Mm都是正無窮大的實(shí)數(shù)，并且滿足M1>>M2>>M3>>…>>Mm，其中“>>”表示“遠(yuǎn)大于”。這種模型可用多目標(biāo)規(guī)劃求解，由于各目標(biāo)的優(yōu)先級(jí)已經(jīng)由Mi大小決定，可按照優(yōu)先級(jí)順序從M1到Mm逐次根據(jù)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。這種匹配模型求解算法相對(duì)比較容易，稱為順序循環(huán)算法，其思路如下：

第1步，將可選的公共住房集合記為H，計(jì)算保障家庭Fi（i的初始值為1）和集合H中所有元素的匹配度，記為集合Si。

第2步，從集合Si中找出任意一個(gè)最大的元素，記為Si*。若Si*=0，則進(jìn)入第3步；若Si*≠0，則找出該元素對(duì)應(yīng)的公共住房H*，將公共住房H*分配給保障家庭Fi。同時(shí)更新集合H，將H*從集合H中刪除，H=H-H*。

第3步，令i=i+1；重復(fù)第1步，直至i=m或者集合H中非零元素?cái)?shù)量為0。

第二種稱為非嚴(yán)格優(yōu)先匹配，每個(gè)保障家庭的優(yōu)先級(jí)指數(shù)用一個(gè)具體的數(shù)值表示，MiDij便是模型效率矩陣中的各個(gè)元素，對(duì)優(yōu)化目標(biāo)公式（8）進(jìn)行最大值最小值變換，當(dāng)m與n不相等時(shí)，用零元素加以補(bǔ)充使得新效率矩陣的行列數(shù)相等，即可構(gòu)建傳統(tǒng)指派模型。在本文中，非嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下的Mi取值如公式（12）所示。其中M1和Mm是所有分配優(yōu)先級(jí)指數(shù)中的最大值和最小值，可參考實(shí)際住房分配情況進(jìn)行調(diào)整。

（12）

傳統(tǒng)的指派問題求解算法有很多，如匈牙利法、隱枚舉法、割平面法、運(yùn)輸法、分支定界法等，此外指派問題亦可以轉(zhuǎn)化為圖論中二分圖的權(quán)匹配問題。1955年，Kuhn在求解指派問題時(shí)引用匈牙利數(shù)學(xué)家Konig證明的一個(gè)結(jié)論，并提出改進(jìn)算法。該算法稱為匈牙利算法，是求解指派問題最常用的一種算法，它基于如下兩個(gè)定理：第一，若從效率矩陣中每一行（列）分別減去一個(gè)數(shù)，所得新效率矩陣的最優(yōu)解等價(jià)于原效率矩陣的最優(yōu)解；第二，效率矩陣中獨(dú)立零元素的最多個(gè)數(shù)等于能覆蓋所有零元素的最少直線數(shù)。目前已有大量文獻(xiàn)對(duì)匈牙利算法展開研究，并提供基于多種編程語言的匈牙利算法程序代碼，其算法思路如下：

第1步，每行減去該行最小的數(shù)，每列減去該列最小的數(shù)，使矩陣每行每列均有零元素。

第2步，尋找獨(dú)立零元素，若獨(dú)立零元素的數(shù)目s等于效率矩陣的行數(shù)或列數(shù)，則最優(yōu)解即是這些獨(dú)立零元素對(duì)應(yīng)的匹配結(jié)果；否則進(jìn)入第3步。

第3步，找到覆蓋所有零元素的最少直線，若該最少直線數(shù)l不等于s，則重新返回第2步；否則進(jìn)入第4步。

第4步，尋找未被上述直線覆蓋的最小元素，對(duì)未劃線的行減去該最小元素，劃線的列加上該最小元素，這樣創(chuàng)造新的零元素后，返回第2步。

5 算例分析

為更清楚展示本文所述方法的管理含義，我們給出了基于嚴(yán)格優(yōu)先匹配和非嚴(yán)格優(yōu)先匹配兩種情況的數(shù)值算例。在實(shí)際住房分配情況下，候選家庭數(shù)量通常比公共住房的數(shù)量要多，于是選取15個(gè)保障家庭和10個(gè)公共住房。保障家庭對(duì)五個(gè)關(guān)鍵屬性的預(yù)期值和重要性排序，以及其家庭人口結(jié)構(gòu)信息如表4所示。公共住房的五個(gè)關(guān)鍵屬性實(shí)際值和戶型結(jié)構(gòu)信息如表5所示。為便于表示住房地址中區(qū)、街道和社區(qū)的名稱，在表4和表5中用A1，A2，A3…表示不同的區(qū)；用B1，B2，B3…表示不同的街道；用C1，C2，C3…表示不同的社區(qū)。此算例非嚴(yán)格優(yōu)先匹配中M1和Mm取值分以下三種情形，第一種令M1為2.4，M15為1，即優(yōu)先級(jí)指數(shù)依次遞減；第二種令M1為1.7，M15為1，即遞減差距更??；第三種令M1和M15都為1，即所有家庭優(yōu)先級(jí)指數(shù)均相同。以保障家庭F1和公共住房H1為例，由于住房地址的預(yù)期值和實(shí)際值僅有區(qū)一級(jí)地址一致，故f1（α1，a1）值為4；居住面積預(yù)期值和實(shí)際值分別為30和60，故f2（β1，b1）值為10；市場(chǎng)租金預(yù)期值和實(shí)際值分別為100和350，故值f3（γ1，c1）為5；樓層高度的預(yù)期值和實(shí)際值分別是低樓層和首層，故f4（δ1，d1）值為8；周邊環(huán)境的預(yù)期選項(xiàng)為教育、交通和醫(yī)療，而對(duì)應(yīng)的實(shí)際值為6、9和6，所以f5（ε1，e1）為三者平均值7。此外，反映兩者人口結(jié)構(gòu)和戶型結(jié)構(gòu)是否匹配的f（η1，p1）的取值為1。故點(diǎn)T11的坐標(biāo)為（4，10，5，8，7）。由于保障家庭F1的屬性重要性排序中住房地址為第二序位，居住面積是第一序位，市場(chǎng)租金是第三序位，樓層高度是第四序位，周邊環(huán)境是第五序位，故w11為1.6、w12為2、w13為1.3、w14為1.1、w15為1。變換后可求得點(diǎn)T11*的坐標(biāo)為（6.4，20，6.5，8.8，7）。點(diǎn)T1′和點(diǎn)T1″的坐標(biāo)分別為（0，0，0，0，0）和（16，20，13，11，10）。距離D1（F1，H1）和D2（F1，H1）為24.69和12.18，所以最后D11為0.67。在非嚴(yán)格優(yōu)先匹配情況下，若M1為2.4，則M1D11為1.61；若M1為1.7，則M1D11為1.14。依次類推，計(jì)算Dij，其取值情況如表6所示。

根據(jù)前述所述的順序循環(huán)算法求解嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形，有x16，x24，x37，x48，x55，x69，x7，10，x81，x93和x10，2的值為1，其余為0；用匈牙利算法求解非嚴(yán)格匹配情形，當(dāng)M1=2.4，M15=1時(shí)，有x16，x24，x37，x41，x55，x68，x7，10，x82，x93和x10，9的值為1，其余為0；當(dāng)M1=1.7，M15=1時(shí)，有x16，x24，x37，x48，x55，x7，10，x81，x93，x10，9和x13，2的值為1，其余為0；當(dāng)M1=M15=1時(shí)，有x24，x37，x48，x55，x81，x93，x10，9，x11，10，x13，2和x15，6的值為1，其余為0。另外，本文根據(jù)隨機(jī)函數(shù)模擬10次隨機(jī)搖號(hào)分配進(jìn)行對(duì)比，嚴(yán)格優(yōu)先匹配、非嚴(yán)格優(yōu)先匹配以及這10次隨機(jī)搖號(hào)分配的匹配結(jié)果如表7所示。

6 匹配結(jié)果對(duì)比分析

從表7中可以看出，前兩種分配情形中，10套公共住房全部都分配給了優(yōu)先級(jí)順序在前的10個(gè)保障家庭。這同保障家庭優(yōu)先級(jí)指數(shù)Mi的取值有關(guān)，若Mi遠(yuǎn)大于Mi+1，則必定是順序在前的10位保障家庭可分配到公共住房；若Mi同Mi+1差值越小，則排序在后的家庭才有可能分配到公共住房，當(dāng)Mi和Mi+1值全部相等時(shí)，此算例中優(yōu)先級(jí)排序在后五位的保障家庭F11，F(xiàn)13和F15分配到了公共住房。在嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下，由于保障家庭分配優(yōu)先級(jí)Mi是一個(gè)正無窮大的數(shù)值，無法直接計(jì)算總匹配度D的數(shù)值，但有M1>>M2 >>M3>>…>>Mm，所以，只要依據(jù)保障家庭優(yōu)先級(jí)順序逐次選擇與之匹配度最大的公共住房，就可保證總體匹配度最大。在非嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下，匈牙利算法和10次隨機(jī)搖號(hào)匹配的總匹配度如表8所示。對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M15=1，在M1=2.4、M1=1.7和M1=1的三種取值方式下，匈牙利算法生成的總匹配度比10次搖號(hào)生成的總匹配度均值要分別高出62.61%，58.93%和54.73%。因此本文所述方法對(duì)公共住房資源的分配更具合理性。

7 結(jié)論

本文所述的公共住房分配方法，首先是構(gòu)建各屬性子匹配度的評(píng)價(jià)體系，依據(jù)保障家庭的期望值和公共住房的實(shí)際值計(jì)算相應(yīng)屬性的子匹配度，然后采用多維空間正負(fù)理想點(diǎn)法計(jì)算保障家庭和公共住房之間的匹配度。再后依據(jù)保障家庭優(yōu)先級(jí)的不同取值方式，將雙邊分配問題用多目標(biāo)規(guī)劃求解模型和經(jīng)典指派模型來描述，并用成熟算法求解。對(duì)比傳統(tǒng)的隨機(jī)分配的方法，該方法將保障家庭的住房偏好納入了考量，以考慮保障家庭優(yōu)先級(jí)的匹配度總和為優(yōu)化目標(biāo)，使得公共住房資源配置更具有合理性。

在嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下，公共住房分配優(yōu)先保障優(yōu)先級(jí)指數(shù)較大的家庭，保障家庭可以在可選的公共房源中挑選和自身匹配度最大的公共住房。由于這種分配方式是根據(jù)保障對(duì)象優(yōu)先級(jí)逐步進(jìn)行匹配，在實(shí)際操作過程中，可以引入保障家庭的互動(dòng)機(jī)制，可推薦同該保障家庭匹配度最大的若干個(gè)公共住房房源供其自由選擇。但是倘若待分配的公共住房數(shù)量小于候選保障家庭的數(shù)量，則優(yōu)先級(jí)指數(shù)在后的m-n個(gè)保障家庭必定不能分配到公共住房。這種分配方式在保障家庭分配優(yōu)先級(jí)存在較大差異且住房供應(yīng)緊張的情形下較為適用。

在非嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下，公共住房分配的原則是使考慮保障家庭分配優(yōu)先級(jí)后的總匹配度最大化，這種分配有利于公共住房資源的優(yōu)化配置，是負(fù)責(zé)公共住房分配的政府部門必須考量的一個(gè)重要因素，當(dāng)房源供給相對(duì)充足或者保障家庭優(yōu)先級(jí)趨近一致時(shí)，這種分配方式將更加適用。但是在非嚴(yán)格優(yōu)先匹配情形下，隨著保障家庭優(yōu)先級(jí)指數(shù)的取值不同，匹配結(jié)果也可能隨之發(fā)生變化，因此需根據(jù)當(dāng)?shù)刈》勘Ｕ蠈?shí)際政策對(duì)優(yōu)先級(jí)指數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)2012年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào).http：//www.stats.gov.cn/tjsj/zxfb/201402/t20140224_514970.html

2.Carr J H，Mulcahy M.Twenty Years of Housing Policy：Whats New，Whats Changed，Whats ahead.Housing Policy Debate.2010.20

3.Poon J，Garrat D.Evaluating UK Housing Policies to Tackle Housing Affordability.International Journal of Housing Markets and Analysis.2012.5

4.Natividade-Jesus E，Coutinho-Rodrigues J，Antunes C H.A Multicriteria Decision Support System for Housing Evaluation.Decision Support Systems.2007.43

5.Stevenson F，Leaman A.Evaluating Housing Performance in Relation to Human Behaviour：New Challenges.Building Research and Information.2010.38

6.胡金星 陳杰.公共租賃住房分配模式的國(guó)際比較.城市問題.2013.6

7.張紅 李洋.基于仿真的中國(guó)住房二級(jí)市場(chǎng)搜尋匹配模型.深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版.2013.4

8.Gale D，Shapley L.College Admissions and the Stability of Marriage.American Mathematical Monthly.1962.69

9.Roth A E. Common and Conflicting Interests in Two-sided Matching Markets.European Economic Review.1985.27

10.陳希 樊治平.雙邊匹配決策的研究現(xiàn)狀與展望. 管理評(píng)論.2012.1

11.Lin H T.A Job Placement Intervention Using Fuzzy Approach for Two-way Choice.Expert Systems with Applications.2009.36

12.Huang D K，Chiu H N，Yeh R H et al.A Fuzzy Multi-criteria Decision Making Approach for Solving a Bi-objective Personnel Assignment Problem.Computers & Industrial Engineering.2009.56

13.Ackermann H，Goldberg P W，Mirrokni V S et al.Uncoordinated Two-sided Matching Markets[C].Proceedings of the 9th ACM Conference on Electronic commerce.New York.2008

14.Sorensen M.How Smart Is Smart Money？A Two-sided Matching Model of Venture Capital.Journal of Finance.2007.62

15.唐亮貴 鐘增勝 程代杰.多主體撮合交易系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn).計(jì)算機(jī)科學(xué).2006.1

16.張振華 汪定偉.電子中介中的交易匹配研究.控制與決策.2005.8

17.李銘洋 樊治平 劉洋.一種基于偏好序信息的雙邊匹配方法.運(yùn)籌與管理.2012.4

18.Fan Z P，Yue Q，F(xiàn)eng B，et al.An Approach to Group Decision-making with Uncertain Preference Ordinals.Computers & Industrial Engineering.2010.58

19.You T，F(xiàn)an Z，Yu Z.An Assignment Method for Group Decision Making with Uncertain Preference Ordinals.Journal of Systems Science and Systems Engineering.2012.21

20.Burkard R E.Selected Topics on Assignment Problems.Discrete Applied Mathematics.2002.123

21.Pettie S.A Simple Reduction from Maximum Weight Matching to Maximum Cardinality Matching.Information Processing Letters.2012.112

22.Sankowski P.Maximum Weight Bipartite Matching in Matrix Multiplication Time.Theoretical Computer Science.2009.410

23.Kuhn H W.The Hungarian Method for the Assignment Problem.Naval Research Logistics Quarterly.1955.2

作者簡(jiǎn)介：

劉瀟，華中科技大學(xué)管理學(xué)院博士研究生，主要研究方向?yàn)闆Q策科學(xué)、運(yùn)籌優(yōu)化。

馬輝民，華中科技大學(xué)管理學(xué)院教授，華中科技大學(xué)中國(guó)公共住房研究中心常務(wù)副主任，主要研究方向?yàn)樽》勘Ｕ?、電子政?wù)和企業(yè)信息化。

張金隆，華中科技大學(xué)管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾畔⒐芾怼⒐芾韯?chuàng)新與決策模式。

劉昌猛，黃石市房地產(chǎn)管理局局長(zhǎng)，工作領(lǐng)域?yàn)楣沧》抗芾怼?/p>

基金項(xiàng)目：

“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目課題：公共住房公平分配數(shù)字化管理技術(shù)與應(yīng)用示范（課題編號(hào)：2012BAJ05B06）。