張 倩，陳志華，王小盾，劉紅波

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市土木工程結(jié)構(gòu)及新材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

基于連續(xù)折線索單元的樹狀結(jié)構(gòu)找形研究

張 倩1,2，陳志華1,2，王小盾1,2，劉紅波1,2

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市土木工程結(jié)構(gòu)及新材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

在樹狀結(jié)構(gòu)各種力學(xué)性能研究中，找形分析是十分重要的．在研究以往樹狀結(jié)構(gòu)找形過程的基礎(chǔ)上，以減小桿件內(nèi)的單元彎矩為目的，提出將連續(xù)折線索單元應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)找形的方法，給出一般操作步驟，并通過試驗(yàn)對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證．經(jīng)過內(nèi)力分析比較，得到該方法能夠有效減小單元彎矩、結(jié)果較理想的結(jié)論，同時(shí)該方法具有操作簡便、無需編程迭代、耗時(shí)較短的優(yōu)勢．對(duì)找形后的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，可以進(jìn)一步減小單元彎矩．分析分級(jí)節(jié)點(diǎn)位置變化對(duì)找形結(jié)果的影響，總結(jié)規(guī)律，為今后樹狀結(jié)構(gòu)工程的設(shè)計(jì)應(yīng)用提供了一定的參考.

樹狀結(jié)構(gòu)；找形分析；連續(xù)折線索單元

樹狀結(jié)構(gòu)由德國設(shè)計(jì)師Frei Otto于20世紀(jì)60年代提出，文獻(xiàn)[1]介紹了樹狀結(jié)構(gòu)這一結(jié)構(gòu)形式，文獻(xiàn)[2]從結(jié)構(gòu)哲學(xué)的角度出發(fā)，在論述自然結(jié)構(gòu)體的形成及原理，比較分析自然結(jié)構(gòu)體和建筑結(jié)構(gòu)體的基礎(chǔ)上，提出了樹狀結(jié)構(gòu)的研究方向．文獻(xiàn)[3]簡介了樹狀結(jié)構(gòu)在公共建筑中的應(yīng)用．文獻(xiàn)[4]從建筑結(jié)構(gòu)仿生入手，結(jié)合國內(nèi)外工程實(shí)例，簡要介紹了樹狀建筑結(jié)構(gòu)及樹狀結(jié)構(gòu)屋頂．文獻(xiàn)[5-14]對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力分析進(jìn)行了研究．文獻(xiàn)[15-17]對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)和制造進(jìn)行了研究．文獻(xiàn)[18-21]對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)的施工工藝和過程進(jìn)行了探討．

樹狀結(jié)構(gòu)的形態(tài)關(guān)系的力學(xué)性能，如何使結(jié)構(gòu)受力更為合理，使材料發(fā)揮最大功效，是值得關(guān)注和研究的．本文在總結(jié)各種樹狀結(jié)構(gòu)找形方法的基礎(chǔ)上，提出應(yīng)用連續(xù)折線索單元對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形研究，并進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn)．該方法能夠有效減小桿件的單元彎矩，耗時(shí)較短，結(jié)果較理想．對(duì)節(jié)點(diǎn)荷載下的結(jié)構(gòu)找形結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步減小單元彎矩．研究分級(jí)節(jié)點(diǎn)位置變化對(duì)結(jié)構(gòu)的影響．

1 樹狀結(jié)構(gòu)找形研究進(jìn)展

德國斯圖加特大學(xué)、輕型結(jié)構(gòu)研究所(IL-Frei Otto)、測量學(xué)工程應(yīng)用研究所(IAGB-Klaus Link-witz)和結(jié)構(gòu)力學(xué)研究所(IB-Ekkehard Ramm)在早期對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)找形進(jìn)行了一些研究．文獻(xiàn)[22]基于分杈角度、層數(shù)等參數(shù)編寫程序來確定樹狀結(jié)構(gòu)的形狀．圖1是利用這種程序產(chǎn)生的一種分杈角度為50°、層數(shù)為8的樹狀結(jié)構(gòu)形式，這種找形方法對(duì)于顯示樹狀結(jié)構(gòu)桿件的不同布置很有效，但沒有考慮結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，因此只是一種單純的生成形狀的程序設(shè)計(jì)．文獻(xiàn)[23]使用另一種程序設(shè)計(jì)方法CARAT探討了不同荷載作用下內(nèi)力為壓力時(shí)的最優(yōu)幾何形狀，發(fā)現(xiàn)樹狀結(jié)構(gòu)更適用于低密度分布荷載情況．文獻(xiàn)[24]使用如圖 2的線模型探討結(jié)構(gòu)形狀，將線模型浸入水中，表面張力使得細(xì)線聚攏到一起形成樹的形狀，即通過作用在細(xì)線上的表面張力尋找偽最小路徑，使用這種方法產(chǎn)生的實(shí)際形狀受到細(xì)線松弛量的影響．文獻(xiàn)[25]對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了廣泛研究，將細(xì)線固定在框架上或在懸浮狀態(tài)下拉伸，珠子在細(xì)線上通過摩擦力成為節(jié)點(diǎn)，不同于浸入水中的線模型，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)者可以通過滑動(dòng)節(jié)點(diǎn)到不同位置迅速找到一系列幾何形狀，圖3為使用串珠的三維線模型．

圖1 分杈角度50°、層數(shù)為8的形狀Fig.1 Shape with 50° branching angle，8 branching layers

圖2 浸入水中的線模型Fig.2 Thread model dipped in water

圖3 使用串珠的三維線模型Fig.3 3D thread model using beaded strings

文獻(xiàn)[26]使用基于遺傳算法的設(shè)計(jì)工具 IGDT，對(duì)內(nèi)力為壓力和拉力的兩種狀態(tài)，荷載位置分別在頂端和底部，中間節(jié)點(diǎn)是否約束的樹狀結(jié)構(gòu)計(jì)算模型進(jìn)行了分析，并與傳統(tǒng)浸水線模型進(jìn)行了比較，同樣的計(jì)算模型也被用來尋找構(gòu)件總長度最小的幾何形狀．文獻(xiàn)[27]利用浸水線模型對(duì)密歇根州花園中心樹屋的樹狀支承柱進(jìn)行找形分析，得到更加適用于此工程的小比例模型(見圖 4)．文獻(xiàn)[28]基于自平衡理論，假定模型節(jié)點(diǎn)為鉸接，在節(jié)點(diǎn)處添加支座，并調(diào)整其豎向位置以得到靜定結(jié)構(gòu)，再調(diào)整其水平位置使得支座反力接近為零，得到結(jié)構(gòu)最終模型(見圖 5)，并將程序計(jì)算的找形結(jié)果與浸水線模型對(duì)比．

圖4 樹屋支承柱1∶100模型Fig.4 1∶100 model of tree house

圖5 自平衡模型Fig.5 Shape of self equilibrium

文獻(xiàn)[29]將線模型倒掛(見圖 6)，利用倒掛受拉反向受壓的原理進(jìn)行找形．文獻(xiàn)[30]用改進(jìn)的進(jìn)化論方法(evolutionary structural optimization，ESO)創(chuàng)建結(jié)構(gòu)形態(tài)，生成了樹狀結(jié)構(gòu)模型，如圖7所示．

圖6 倒掛模型Fig.6 Reverse hanging model

圖7 ESO模型效果圖Fig.7 Effect drawing of model using ESO

文獻(xiàn)[31-32]基于形效結(jié)構(gòu)的概念，通過分析樹狀結(jié)構(gòu)的幾何特點(diǎn)和受力特點(diǎn)，提出了一種樹狀結(jié)構(gòu)的找形方法逆吊遞推找形法，當(dāng)所有高級(jí)樹枝均指向由其分出的低級(jí)樹枝所承擔(dān)的屋蓋受力中心時(shí)，各級(jí)樹枝均只受軸力作用，所有節(jié)點(diǎn)處均無彎矩產(chǎn)生，并明確了具體實(shí)施步驟和需要注意的問題，結(jié)合樹狀結(jié)構(gòu)工程實(shí)例，介紹了逆吊遞推找形法的實(shí)際應(yīng)用過程，并對(duì)穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究．文獻(xiàn)[33]以樹狀結(jié)構(gòu)的最小用鋼量為目標(biāo)函數(shù)，以結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性為約束條件，對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析，優(yōu)化后在減少結(jié)構(gòu)用鋼量的同時(shí)，也減小了結(jié)構(gòu)的最大豎向位移，并使各桿件的內(nèi)力分布更趨合理．文獻(xiàn)[14]也介紹了ESO優(yōu)化法的應(yīng)用，并以一單層樹狀結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行找形過程和結(jié)果分析．

2 連續(xù)折線索單元應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)的找形

樹狀結(jié)構(gòu)力流明確，通過高級(jí)樹枝逐級(jí)傳遞，將屋面荷載有效集中到基礎(chǔ)，樹枝的分布即桿件的力流傳遞方向，在進(jìn)行桿件布置即找形分析時(shí)，樹枝只受軸力、節(jié)點(diǎn)處無彎矩是較理想狀態(tài)，因此盡可能減小桿件內(nèi)彎矩是本文找形的主要目的．傳統(tǒng)的浸水模型并不能找到唯一的形狀，操作起來也較不簡便；串珠模型和倒掛模型可以找到一系列的形狀，并由設(shè)計(jì)師根據(jù)一些客觀條件如美觀因素等選擇一個(gè)最終形態(tài)，而往往不是受力上最為合理的形態(tài)．以上物理找形方法都利用了絲線的只拉特性，很好地模擬了樹狀結(jié)構(gòu)單元軸力是主要控制因素的特性，但形態(tài)不唯一；現(xiàn)有的數(shù)值模擬方法可以得到唯一解，但均需通過一步步的迭代使得單元內(nèi)的彎矩較?。疚木C合考慮以上找形方式的優(yōu)勢和不足，提出基于連續(xù)折線索單元的樹狀結(jié)構(gòu)找形方法．該方法的理論依據(jù)來源于逆吊找形法，其基本思想為將特定荷載下的柔性結(jié)構(gòu)固化，翻轉(zhuǎn)后即可獲得在相同荷載下只承受壓力作用的結(jié)構(gòu)．連續(xù)折線索單元各節(jié)點(diǎn)間的索段可以不在同一直線上，呈折線布置，除兩端節(jié)點(diǎn)外各節(jié)點(diǎn)可在外力作用下沿單元任意滑動(dòng)以達(dá)到平衡狀態(tài)[34]．根據(jù)連續(xù)折線索單元的受力特點(diǎn)，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?，編?ABAQUS用戶單元子程序，將子程序嵌入軟件，從而實(shí)現(xiàn)連續(xù)折線索單元的調(diào)用．根據(jù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n命名為n節(jié)點(diǎn)連續(xù)折線索單元，應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)找形上，各節(jié)點(diǎn)均可滑動(dòng)以達(dá)到平衡．索段只受軸力，滿足樹狀結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，節(jié)點(diǎn)在外力作用下滑移達(dá)到平衡狀態(tài)的過程即找形過程．

本文以一簡單二維樹狀結(jié)構(gòu)為例說明應(yīng)用連續(xù)折線索單元的樹狀結(jié)構(gòu)找形過程．圖 8是 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)的初始形狀，節(jié)點(diǎn) 8固定，各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如圖8所示．上部節(jié)點(diǎn)受拉、下部節(jié)點(diǎn)固定和下部節(jié)點(diǎn)受拉、上部節(jié)點(diǎn)固定兩種情況下，應(yīng)用連續(xù)折線索單元的找形結(jié)果是一致的，因此本文采用上部節(jié)點(diǎn)固定、下部節(jié)點(diǎn)受拉的模型進(jìn)行找形分析．

圖8 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)初始形狀(單位：m)Fig.8 Initial shape of tree structure with two-level branching(unit：m)

首先考慮靜力計(jì)算過程找形，在最下端節(jié)點(diǎn)8施加力的荷載，在找形過程中連續(xù)折線索單元的可滑移節(jié)點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生大變形，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂．再考慮在最下端節(jié)點(diǎn)8施加位移荷載，具體找形過程如下：

(1)結(jié)構(gòu)組成，結(jié)構(gòu)由3個(gè)3節(jié)點(diǎn)連續(xù)折線索單元和 1個(gè)兩節(jié)點(diǎn)連續(xù)折線索單元組成，節(jié)點(diǎn) 1、5、2為單元1，節(jié)點(diǎn)3、6、4為單元2，節(jié)點(diǎn)5、7、6為單元3，節(jié)點(diǎn)7、8為單元4；

(2)節(jié)點(diǎn)1、2、3、4固定，建立10個(gè)荷載步，在節(jié)點(diǎn)8作用豎向位移荷載，取值分別為1,m、2,m、3,m、4,m、5,m、6,m、7,m、8,m、9,m和10,m，查看每一步的支座反力，第1步支座反力為零，拉索處于松弛狀態(tài)，第2步開始反力不為零，拉索處于張拉受力的狀態(tài)；

(3)在位移荷載 1.1～2.0,m范圍內(nèi)再建立10個(gè)荷載步，每一步位移荷載增量為 0.1,m，查看支座反力，按照步驟(2)的方法選取下一輪10個(gè)荷載步范圍1.41～1.50,m，每一步位移荷載增量為0.01,m；

(4)選取所有支座反力均不為零的最小荷載步，位移荷載為 1.450,m，根據(jù)該荷載步中各節(jié)點(diǎn)位移確定各節(jié)點(diǎn)位置，形成如圖9所示的找形結(jié)果．

圖9 基于靜力計(jì)算的找形結(jié)果(單位：m)Fig.9 Final shape using static calculation(unit：m)

上述找形過程需要3～4輪多個(gè)荷載步的選取和計(jì)算，因此考慮加質(zhì)量塊的動(dòng)力分析進(jìn)行更加簡便的找形過程，因?yàn)閯?dòng)力分析時(shí)考慮一定阻尼，能夠解決靜力分析時(shí)節(jié)點(diǎn)大變形導(dǎo)致的不收斂問題．其具體找形過程如下：

(1)結(jié)構(gòu)組成，結(jié)構(gòu)由3個(gè)3節(jié)點(diǎn)連續(xù)折線索單元和 1個(gè)兩節(jié)點(diǎn)連續(xù)折線索單元組成，節(jié)點(diǎn) 1、5、2為單元1，節(jié)點(diǎn)3、6、4為單元2，節(jié)點(diǎn)5、7、6為單元3，節(jié)點(diǎn)7、8為單元4；

(2)節(jié)點(diǎn)1、2、3、4固定，在可滑移節(jié)點(diǎn)5、6、7、8處加質(zhì)量塊單元，質(zhì)量大小為0.1,N，單元阻尼大小1.0，在節(jié)點(diǎn)8的質(zhì)量塊上作用一豎直向下1,N的荷載；

(3)進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算，根據(jù)各節(jié)點(diǎn)位移確定最終狀態(tài)的各節(jié)點(diǎn)位置，形成如圖10所示的找形結(jié)果．折線索單元應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)找形方法的可行性．

圖12 試驗(yàn)找形后形狀Fig.12 Final shape of test

對(duì)基于連續(xù)折線索單元確定形狀的樹狀結(jié)構(gòu)在Midas軟件里進(jìn)行靜力計(jì)算，圖13所示為單元編號(hào)，采用梁單元模擬，上部節(jié)點(diǎn)作用大小為10,kN/m的節(jié)點(diǎn)荷載，樹狀結(jié)構(gòu)底部全固結(jié)，如圖14所示，找形前后的彎矩計(jì)算結(jié)果如表1所示，將兩者的彎矩進(jìn)行比較，結(jié)果如圖15所示．

圖10 基于動(dòng)力計(jì)算的找形結(jié)果(單位：m)Fig.10 Final shape using dynamic calculation(unit：m)

由圖9和圖10可知，靜力計(jì)算加位移荷載的找形方法和動(dòng)力計(jì)算加質(zhì)量塊的找形方法在結(jié)果上非常相似，前者耗時(shí)比后者稍長，后者在一定程度上考慮了摩擦阻尼，二者各有優(yōu)勢，均能得到比較滿意的找形結(jié)果．

為了對(duì)此數(shù)值模擬方法進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)行簡單試驗(yàn)．圖 11所示為找形前的初始形狀，用表面稍光滑有一定摩擦的線來模擬連續(xù)折線索單元，用不同質(zhì)量的水袋來模擬加在質(zhì)量塊上的不同荷載，節(jié)點(diǎn) 5、6的水袋質(zhì)量是節(jié)點(diǎn)8的5倍，此平衡狀態(tài)為結(jié)構(gòu)初始形態(tài)；去掉節(jié)點(diǎn)5、6的水袋，節(jié)點(diǎn)5、6、7、8在節(jié)點(diǎn)8水袋質(zhì)量的作用下滑動(dòng)達(dá)到新的平衡，如圖 12所示，此平衡狀態(tài)即為找形后的結(jié)構(gòu)形狀．由此簡單試驗(yàn)得到的結(jié)果與數(shù)值模擬方法很接近，驗(yàn)證了將連續(xù)

圖11 試驗(yàn)初始形狀Fig.11 Initial shape of test

圖13 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)單元編號(hào)Fig.13 Element numbers of tree structures with two-level branching

表1 節(jié)點(diǎn)荷載作用下2級(jí)分杈找形前后彎矩比較Tab.1 Comparison of bending moment with two-level branching before and after form-finding under nodal loads

圖14 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)荷載Fig.14 Tree structures with two-level branching under nodal loads

圖15 2級(jí)分杈節(jié)點(diǎn)荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.15 Comparison of bending moments with two-level branching before and after form-finding under nodal loads

由表1和圖15可知，經(jīng)過找形后的單元彎矩明顯減小，對(duì)于樹狀結(jié)構(gòu)的分級(jí)樹枝單元，減小幅度為70.56%～83.98%，為使總荷載大小相等，可在單元1、2、3作用大小為2.22,kN/m的均布線荷載代替原節(jié)點(diǎn)荷載．彎矩比較結(jié)果如表 2和圖 16所示，可知均布荷載下，找形后的單元彎矩也明顯減小，對(duì)于分級(jí)樹枝單元，減小幅度最高達(dá) 91.65%，說明基于連續(xù)折線索單元的找形方法應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)是可行的，能夠有效減小桿件單元內(nèi)的彎矩．

表2 均布荷載作用下2級(jí)分杈找形前后彎矩比較Tab.2 Comparison of bending moment with two-level branching before and after form-finding under uniform loads

圖16 2級(jí)分杈均布荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.16 Comparison of bending moments with two-level branching before and after form-finding under uniform loads

根據(jù)以上過程，對(duì)應(yīng)用連續(xù)折線索單元找形樹狀結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算步驟總結(jié)如下：

(1) 結(jié)構(gòu)組成，將初始形態(tài)的結(jié)構(gòu)劃分為連續(xù)折線索單元組成的結(jié)構(gòu)形式；

(2) 在可滑移節(jié)點(diǎn)處加質(zhì)量塊單元，確定質(zhì)量大小和單元阻尼大小，通常阻尼不小于 1.0，也不可過大，找形無關(guān)外力，因此忽略結(jié)構(gòu)上部荷載作用，在最下端節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量塊上作用一豎直向下的荷載，荷載大小至少是質(zhì)量塊質(zhì)量的10倍，上部節(jié)點(diǎn)固定；

(3)進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算，根據(jù)各節(jié)點(diǎn)位移確定最終狀態(tài)的各節(jié)點(diǎn)位置，完成找形過程．

需要說明的是：應(yīng)用連續(xù)折線索單元找形，利用的是節(jié)點(diǎn)的可滑移性以達(dá)到平衡狀態(tài)，如果靜力計(jì)算直接加力的荷載，會(huì)因?yàn)楣?jié)點(diǎn)的大變形導(dǎo)致計(jì)算不收斂，因此考慮采用在可滑移節(jié)點(diǎn)處加質(zhì)量塊和單元阻尼進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算，在加載時(shí)荷載大小至少是質(zhì)量塊質(zhì)量的10倍以上也是為了克服阻尼以達(dá)到最終的找形形態(tài)．如采用靜力分析計(jì)算，在最下端節(jié)點(diǎn)加位移荷載，通過上部節(jié)點(diǎn)支座反力的變化，逐漸縮小位移荷載范圍，經(jīng)過幾輪選取，也可找到最終的幾何形狀，二者的找形結(jié)果吻合度很高．

應(yīng)用連續(xù)折線索單元進(jìn)行樹狀結(jié)構(gòu)找形有如下優(yōu)勢：只拉單元模擬，受力合理；概念清晰，操作簡便，不需迭代編程，耗時(shí)較短；有效減小彎矩，結(jié)果較理想，具有在工程中廣泛推廣的意義．

再以3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)為例，比較找形前后的單元內(nèi)彎矩．3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)初始形狀及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值如圖 17所示，按照上述方法找形后的形狀如圖 18所示．

圖17 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)初始形狀(單位：m)Fig.17 Initial shape of tree structure with three-level branching(unit：m)

圖18 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)找形結(jié)果Fig.18 Final shape of tree structure with three-level branching

對(duì)基于連續(xù)折線索單元確定形狀的 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)在Midas軟件里進(jìn)行靜力計(jì)算，如圖19所示為單元編號(hào)，采用梁單元模擬，節(jié)點(diǎn)1、4、5、8作用大小為 10,kN/m的節(jié)點(diǎn)荷載，樹狀結(jié)構(gòu)底部全固結(jié)，彎矩比較結(jié)果如表3和圖20所示，如果在單元1～7作用大小為2.22,kN/m的均布線荷載，彎矩比較結(jié)果如表4和圖21所示．

表3 節(jié)點(diǎn)荷載作用下3級(jí)分杈找形前后彎矩比較Tab.3 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under nodal loads

圖19 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)單元編號(hào)Fig.19 Element numbers of tree structure with three-level branching

由表3、表4、圖20和圖21可知，經(jīng)過找形后的單元彎矩明顯減小，節(jié)點(diǎn)荷載作用下分級(jí)樹枝單元的彎矩減小幅度為 12.15%～87.98%，均布荷載下彎矩減小幅度最高達(dá) 92.09%，說明應(yīng)用連續(xù)折線索單元對(duì)樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形的方法同樣適用于 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)，結(jié)果較理想．

圖20 3級(jí)分杈節(jié)點(diǎn)荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.20 Comparison of bending moments with three-level branching before and after form-finding under nodal loads

表4 均布荷載作用下3級(jí)分杈找形前后彎矩比較Tab.4 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under uniform loads

圖21 3級(jí)分杈均布荷載作用下找形前后彎矩比較Fig.21 Comparison of bending moment with three-level branching before and after form-finding under uniform loads

為說明結(jié)論的普遍適用性，對(duì)不同初始形狀的樹狀結(jié)構(gòu)按照基于連續(xù)折線索單元的找形方法進(jìn)行找形，并對(duì)找形前后的單元彎矩進(jìn)行比較．2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)和 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)分別見圖 8和圖 17，不同初始形狀的樹狀結(jié)構(gòu)找形前后彎矩比較如表5所示．

表5 不同初始形狀樹狀結(jié)構(gòu)找形前后彎矩比較Tab.5 Comparison of bending moment of tree structures with different initial shapes before and after formfinding

由表 5可知，找形后的單元彎矩均有所減小，大部分減小幅度在80%以上，說明基于連續(xù)折線索單元的找形方法應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)是可行的，效果比較理想，具有普遍適用性．

3 優(yōu)化方法

在荷載總值相等的前提下，對(duì)節(jié)點(diǎn)荷載和均布荷載作用下找形后結(jié)構(gòu)的單元彎矩進(jìn)行比較．以第 2節(jié)中的兩個(gè)模型為例，2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)在兩種荷載情況下的彎矩比較如圖 22所示，3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)的彎矩比較如圖23所示．

圖22 2級(jí)分杈節(jié)點(diǎn)荷載和均布荷載下找形后彎矩比較Fig.22 Comparison of bending moment with two-level branching under nodal loads and uniform loads

圖23 3級(jí)分杈節(jié)點(diǎn)荷載和均布荷載下找形后彎矩比較Fig.23 Comparison of bending moment with three-level branching under nodal loads and uniform loads

由圖22和圖23可知，2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)和3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)找形后的結(jié)構(gòu)在均布荷載下樹枝單元彎矩值絕大部分小于節(jié)點(diǎn)荷載下的彎矩值，因此本節(jié)以2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)為例，探討節(jié)點(diǎn)荷載下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，以期進(jìn)一步減小單元彎矩值．

將圖8所示的2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)增加級(jí)數(shù)，1級(jí)節(jié)點(diǎn)和2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置不變，在2級(jí)節(jié)點(diǎn)和上部節(jié)點(diǎn)之間增加3級(jí)節(jié)點(diǎn)，形成如圖24所示的3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)．對(duì)此 3級(jí)分杈結(jié)構(gòu)按照第 2節(jié)的方法進(jìn)行找形，找形結(jié)果如圖25所示．

圖24 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)初始形狀(單位：m)Fig.24 Initial shape of tree structure with three-level branching(unit：m)

圖25 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)找形結(jié)果Fig.25 Final shape of tree structure with three-level branching

保留找形后的2級(jí)節(jié)點(diǎn)，將3級(jí)節(jié)點(diǎn)、2級(jí)樹枝和3級(jí)樹枝去掉，2級(jí)節(jié)點(diǎn)和上部節(jié)點(diǎn)直接相連形成新的2級(jí)樹枝，完成3級(jí)到2級(jí)的簡化過程，形成如圖26所示優(yōu)化后的形狀．

圖26 優(yōu)化后的找形結(jié)果(單位：m)Fig.26 Final shape after optimization(unit：m)

將原找形結(jié)果和優(yōu)化后結(jié)果的單元彎矩進(jìn)行比較，如圖27所示，可知優(yōu)化后各個(gè)桿件的彎矩均有所減小，減小幅度為37.89%～44.92%，結(jié)果比較理想．

綜上，節(jié)點(diǎn)荷載作用下，首先對(duì) 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)增加級(jí)數(shù)，形成 3級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)；按照連續(xù)折線索單元應(yīng)用于樹狀結(jié)構(gòu)的找形方法進(jìn)行 3級(jí)分杈的找形；去掉找形后的3級(jí)節(jié)點(diǎn)、3級(jí)樹枝和2級(jí)樹枝，將找形后的2級(jí)節(jié)點(diǎn)和上部節(jié)點(diǎn)直接相連，簡化成新的2級(jí)樹枝，形成優(yōu)化后的形狀．按照此優(yōu)化方法形成的找形結(jié)果能夠進(jìn)一步減小節(jié)點(diǎn)荷載下的單元彎矩，效果較理想．均布荷載作用下，采用此優(yōu)化方法并不能進(jìn)一步減小彎矩，因此該優(yōu)化方法適用于節(jié)點(diǎn)荷載作用下的樹狀結(jié)構(gòu)找形結(jié)果的優(yōu)化．

圖27 2級(jí)分杈節(jié)點(diǎn)荷載作用下優(yōu)化前后彎矩比較Fig.27 Comparison of bending moment with two-level branching before and after optimization under nodal loads

4 最優(yōu)形狀的討論

樹狀結(jié)構(gòu)初始形狀的分級(jí)節(jié)點(diǎn)位置不同，找形結(jié)果會(huì)不同，對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力也會(huì)有影響．本節(jié)以2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)為例，探討1級(jí)節(jié)點(diǎn)和2級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)的變化對(duì)單元內(nèi)彎矩的影響．

4.1 節(jié)點(diǎn)荷載

以圖8所示的2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)為例，2級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)－4不變，1級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)分別為－7、－9和－11，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點(diǎn)荷載作用下找形后的樹枝單元彎矩比較如圖28所示．

圖28 節(jié)點(diǎn)荷載作用下1級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.28 Comparison of bending moment with the change of the first-level joint under nodal loads

由圖28可知，節(jié)點(diǎn)荷載作用下，1級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，找形后樹枝單元彎矩減小，但相差不大．

1級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)－11不變，2級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)分別為-4、-5和-6，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點(diǎn)荷載下找形后的樹枝單元彎矩比較如圖29所示．

由圖 29可知，節(jié)點(diǎn)荷載下 2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，找形后樹枝單元彎矩減?。?/p>

1級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)分別為-9、-10和-11，相應(yīng)的2級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)分別為-4、-5和-6，即1級(jí)節(jié)點(diǎn)和2級(jí)節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)差不變，以形狀1、形狀2和形狀3代表3種情況，節(jié)點(diǎn)荷載作用下找形后的樹枝單元彎矩比較分別如圖30所示．

圖29 節(jié)點(diǎn)荷載作用下2級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.29 Comparison of bending moment with the change of the second-level joint under nodal loads

圖30 節(jié)點(diǎn)荷載作用下1、2級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.30 Comparison of bending moment with the change of the first- and second-level joint under nodal loads

由圖30可知，節(jié)點(diǎn)荷載作用下1、2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置均下移，找形后樹枝單元彎矩減?。?/p>

4.2 均布荷載

與第 4.1節(jié)的節(jié)點(diǎn)位置相同，均布荷載作用下 3種變化的樹枝單元彎矩比較如圖31～33所示．

由圖31～33可知，均布荷載作用下，1級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，找形后樹枝單元彎矩增加；2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，找形后大部分樹枝單元彎矩增加；1、2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置均下移，1級(jí)樹枝和 2級(jí)樹枝中間桿件的彎矩增加，2級(jí)樹枝兩側(cè)桿件彎矩值略有減小．

綜上，節(jié)點(diǎn)荷載作用下，1級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，樹枝單元彎矩減小；2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，樹枝單元彎矩減?。己奢d作用下，1級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，樹枝單元彎矩增加；2級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，大部分樹枝單元彎矩增加．因此，在確定找形之前的初步形狀時(shí)，節(jié)點(diǎn)荷載作用下，分級(jí)節(jié)點(diǎn)的位置應(yīng)在滿足其他要求的情況下盡可能下移；而均布荷載作用下，分級(jí)節(jié)點(diǎn)的位置應(yīng)在滿足其他要求的情況下盡可能上移，這樣找形后的樹枝單元彎矩較小，結(jié)果較理想．

圖31 均布荷載作用下1級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.31 Comparison of bending moment with the change of the first-level joint under uniform loads

圖32 均布荷載作用下2級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.32 Comparison of bending moment with the change of the second-level joint under uniform loads

圖33 均布荷載下作用1、2級(jí)節(jié)點(diǎn)變化時(shí)找形后彎矩比較Fig.33 Comparison of bending moment with the change of the first- and the second-level joint under uniform loads

5 結(jié) 論

在樹狀結(jié)構(gòu)各種力學(xué)性能的研究中，找形分析是十分重要的，本文對(duì)此進(jìn)行了一些研究比較，得到了如下結(jié)論：

(1) 基于連續(xù)折線索單元，提出了一種高效的樹狀結(jié)構(gòu)找形方法，給出一般步驟，并通過試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證；

(2) 節(jié)點(diǎn)荷載下，對(duì) 2級(jí)分杈樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，先增加級(jí)數(shù)找形，再簡化成 2級(jí)分杈，優(yōu)化后的單元彎矩進(jìn)一步減?。?/p>

(3) 節(jié)點(diǎn)荷載下，分級(jí)節(jié)點(diǎn)位置下移，樹枝單元彎矩值減??；均布荷載下，分級(jí)節(jié)點(diǎn)位置上移，樹枝單元彎矩值減??；

(4) 本文的研究僅以二維樹狀結(jié)構(gòu)為例，基于連續(xù)折線索單元的樹狀結(jié)構(gòu)找形思路同樣適用于三維樹狀結(jié)構(gòu)，有待于進(jìn)一步研究分析．

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(責(zé)任編輯：樊素英)

Form-Finding of Tree Structures Based on Sliding Cable Element

Zhang Qian1,2，Chen Zhihua1,2，Wang Xiaodun1,2，Liu Hongbo1,2
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin Key Laboratory of Civil Engineering Structure and New Materials，Tianjin 300072，China)

Form-finding is very important in the researches on the mechanical behavior of tree structures. Based on the researches of other form-finding methods of tree structures，a new form-finding method was proposed. Sliding cable element was used for simulation in order to reduce element bending moments，the general steps were given，and then a test was carried out to verify the proposed method. The conclusion was drawn from the internal force comparison that this method can effectively reduce element bending moments and the result is ideal. This method also shows such advantages as easy operation，no iteration or programming and very short consuming time. By optimizing the result with form-finding，this method can further reduce unit bending moments. By analyzing the effect of classification joint position changes on the result of form-finding and summarizing the rule，this method has the significance in engineering applications and provides some references for the analysis and design of tree structures.

tree structure；form-finding analysis；sliding cable element

TU318

A

0493-2137(2015)04-0362-11

10.11784/tdxbz201309030

2013-09-09；

2013-11-22.

天津市科委基金資助項(xiàng)目(11ZCZDSF04800)．

張 倩（1985— ），女，博士研究生，popzhqly@163.com.

王小盾，maodun2004@126.com.