☉江蘇省無錫市江南中學 高峰官

淺論概念同化策略在數(shù)學教學中的應用

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概念是思維的最基本單元，數(shù)學概念不僅是建立理論體系的基礎，同時也是解決問題的前提.因此概念學習是數(shù)學基礎知識和基本技能學習的核心.

數(shù)學概念的學習主要有兩種基本形式：概念形成和概念同化.概念形成主要依靠對具體事物的觀察、抽象、概括獲得概念.學生在學習用定義形式陳述的概念時，要主動與其認知結構中的有關概念相互聯(lián)系，相互作用，并領會新概念的本質屬性，從而獲得概念，這叫概念同化.隨著學生年級的升高和知識的積累，概念同化逐漸成為他們獲得概念的主要方式.

一、充分認識概念同化策略及其教學價值

概念同化策略就是指學生直接利用原認知結構中已有的適當概念來定義和理解新概念的學習過程和方法.在同化過程中，同樣需進行積極思維，但與概念形成的觀察、抽象、概括過程不同.概念同化的過程可表示為：（1）給出定義，揭示本質屬性，給出名稱和符號；（2）與原認知結構建立聯(lián)系，明確新概念的內涵與外延；（3）區(qū)別于原有認知結構中的相關概念；（4）將新概念納入原有的概念體系中；（5）原有的認知結構得到充實和優(yōu)化.

從認知理論上講，概念同化實際上是奧蘇貝爾的認知結構同化論在概念教與學中的應用.本質上是根據(jù)學生已有認知結構設計教學情境，幫助學生形成良好的認知結構，提高概念教與學的水平.概念同化同樣需要教師對這種學習方式的心理機制進行深入探析，尋求有效策略，精心設計相關學習過程.

運用概念同化策略，有助于學生從已有的生活經驗和知識背景出發(fā)，將數(shù)學學習與生活緊密聯(lián)系起來，通過學習情境，提高學習的意向性和積極性；可以跨越概念形成過程中所包含的辨別、抽象、分析和概括等相對復雜的心理過程，這樣使概念學習更為方便，也更具有邏輯性和系統(tǒng)性，便于認知結構進一步優(yōu)化；可以溝通知識間的內在聯(lián)系，從而有助于學生理解、記憶和運用新概念，在遷移中發(fā)展學生的邏輯思維能力.

二、重點關注概念同化策略在教學中存在的問題

概念同化的前提是學生具有良好的認知結構和豐厚的知識背景，需要學生具有較強的抽象概括能力.由于多種因素影響，學生對概念的接受和理解的程度往往不同.歸納一下，概念同化策略教學中主要存在以下幾個問題.

問題1：沒有充分運用學生原有的認知結構

學生學習數(shù)學概念時，往往從他原有的認知結構如知識與經驗出發(fā)，才能去認識、理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質.就學習而言，學生就必須掌握那些作為定義項的概念.就教學而言，教師就應當先創(chuàng)設學習情境，想方設法喚起學生原有認知結構中的相關知識和生活經驗.例如，教師教學概率的概念時，應引導學生復習總數(shù)、頻數(shù)、頻率的概念，在此基礎上引導學生認識到概率是指進行大量重復試驗時，某事件發(fā)生的頻率所趨近的一個相對穩(wěn)定值.如果學生對頻率概念都不清楚，那么他對概率的理解一定是模糊不清的.

問題2：不注重運用學生已有的知識經驗創(chuàng)設學習情境

概念形成主要依賴的是對感性材料的抽象歸納，而概念同化主要依靠的是對知識經驗的概括.因此感性材料和知識經驗是概念學習的重要基礎.在教學中，教師往往對學生的感性材料和知識經驗重視不夠，導致學生的感知不充分，不豐富，難以抽象概括出對象的本質屬性.針對這種情況，教師要盡可能地創(chuàng)設教學情境，盡可能地采用實物、模型或舉例等方式，加以豐富學生的知識經驗.概念同化時，要選擇典型材料說明概念，以突出概念的本質屬性.

問題3：在引導學生抽象、概括方面缺少有效方法

盡管概念同化不像概念形成那樣需要觀察、分析、抽象、歸納概括等復雜的過程，但必要的抽象概括還是不可少的.通常所說的抽象，是指在思維中把同類的各個對象的共同本質屬性抽取出來，舍棄每個個別對象的所有其他屬性.所謂概括是把給定的對象納入到容量更大且包含前者的集合的過程.抽象與概括是形成和掌握概念的前提.

在實際教學中，我們往往發(fā)現(xiàn)學生的抽象概括能力不夠，不能抓住事物的本質屬性.要提高學生的抽象概括能力，關鍵是要引導學生分清本質屬性與非本質屬性.為此，教師教學時，可經常利用彩色粉筆或加重語氣的方式，突出概念的本質屬性.學生對概念含糊不清時，教師要明確指出哪些是非本質屬性，它們與定義概念無關.例如，對于三角形的垂心，往往有學生認為只有三角形三邊上的三條高的交點在三角形內部才稱為垂心，其原因就是學生把非本質屬性（交點在形內、形外、形上）誤當為本質屬性了.因此教師及時指出概念所反映事物的非本質屬性，突出本質屬性，這樣能促進學生理解、掌握概念的內涵.

三、切實提升概念同化策略教學的有效性

認知心理學派認為實現(xiàn)概念同化應具備一定條件：首先，學習者要具備把新概念與認知結構中原有的適當觀念關聯(lián)起來的意向；其次，學習材料呈現(xiàn)對新概念的學習必須具有潛在意義.兩個條件缺一不可，否則會導致機械性學習.因此，教學時，要將新概念的定義或特征描述呈現(xiàn)給學生，并要求他們在兩者之間建立聯(lián)系，以促使同化.

1.探尋已有固定觀念，注意新、舊知識間的內在聯(lián)系

概念同化和概念形成教學一樣，都要讓學生理解概念的本質特征.新概念的本質特征是用定義的方式直接呈現(xiàn)給學生，因此學生用于同化的概念主要是上位概念，往往是一種下位學習.例如教學“正方形”的概念時，要用學生頭腦中已形成的上位概念“矩形或菱形”來同化.因此，在進行概念同化教學前，教師首先要知曉和恰當引出學生頭腦中用以同化新概念的原有知識.有時在概念同化教學時，揭示概念本質特征的定義中會涉及若干已有概念.如方程的本質屬性是“含有未知數(shù)的等式”，其中涉及“等式”“未知數(shù)”兩個概念.教師不僅要激起學生回憶出作為上位概念的“等式”，也要讓學生回憶起構成關鍵特征的“未知數(shù)”概念.總之，在呈現(xiàn)定義性概念的本質特征前，一定要充實和豐富學生頭腦中具有同化和理解新概念本質屬性的原有知識.概念同化學習，最常用的方式是溫故引新.這里需要特別強調的是：為新概念學習而準備的舊知識的復習，不是漫無邊際的復習，而是有針對性的復習，那么如何進行有針對性的復習呢？

（1）從舊知識中選擇恰當?shù)男轮R的自然生長點.因為舊知識不僅能起到過渡與搭橋作用，而且還能作為納入新知識的連接點與固定點.

（2）巧用比較法，通過比較新、舊知識的異同點引入新知識，這樣可以避免新、舊知識之間的干擾，又有利于促進新、舊知識之間的學習.例如通過平行四邊形與等腰梯形異同點的比較，既鞏固了平行四邊形的概念，又讓學生在已有認知結構的基礎上吸納和理解了等腰梯形的新概念.

（3）設計“先行組織者”，引導學生把新知識與舊知識聯(lián)系起來.先行組織者作為先于學習內容呈現(xiàn)的一種引導性材料，其目的是在于把新知識納入到已有的知識結構中，教師如果在教學設計中對先行組織者設計得當，學生甚至會出現(xiàn)創(chuàng)造性的理解方式和技巧.例如，學生在學習平面直角坐標系概念之前，教師有意識地介紹法國大數(shù)學家笛卡爾的故事，這一故事中涉及笛卡爾如何經過冥思苦想解決了質點定位的問題.這樣既介紹了數(shù)學史有關內容，拓寬了學生的知識面，又起到了學習平面直角坐標系的先行組織者作用，激發(fā)了學生關注生活、勇于創(chuàng)新的意識.

2.遵循認知規(guī)律，逐級提升概念同化的程度

概念同化的本質就是揭示新、舊概念的內在聯(lián)系.初中生正處于形象思維向抽象邏輯思維的轉變階段，因此，初中數(shù)學概念同化學習中，新、舊概念聯(lián)系的復雜性、抽象性決定了學習者對新概念的精確建構不可能一步到位，像概念形成一樣，也應該遵循由感知—表象—抽象的認識規(guī)律.

例如，引導學生認識負數(shù)時，學生對負數(shù)意義的理解，需經歷一個逐步抽象的過程，需要引導學生的認知結構實現(xiàn)一種漸進式的轉換和提升.具體可以設計成以下幾個環(huán)節(jié).

（1）情景感知.要學習負數(shù)概念，教師要先復習正數(shù)與零的概念，然后創(chuàng)設教學情境，引出生活中許多具有相反意義的量，如天氣預報中的零上多少度與零下多少度；家庭收入1000元與支出500元；海平面以上80米與海平面以下30米；倉庫中運進大米50噸與運出大米30噸等，這些教學情境的創(chuàng)設，讓學生充分感知到生活中確實有很多具有相反意義的量，而我們已經學習過零與正數(shù)的概念，那么與正數(shù)具有相反意義的數(shù)又叫什么數(shù)呢？從而有效地激發(fā)了學生學習負數(shù)的好奇心和學習意向.

（2）數(shù)形結合.《九章算術》曰：“析理以辭，解體用圖.”古往今來，數(shù)與形密不可分.數(shù)形結合具有雙向性，一方面“以形助數(shù)”——借助形的生動和直觀來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系；另一方面，以數(shù)助形——借助數(shù)的簡潔性和概括性來提煉事物（圖形）的本質.顯然，在認識負數(shù)的過程中，給學生提供了實際生活情景后，可利用以形助數(shù)的手段，借助于畫直線圖形以某點為界點，表示溫度的零上與零下、海平面上與海平面下、向南與向北等，我們規(guī)定“交界點”表示零，其中一個為正數(shù)，另一個就為負數(shù)，這樣能通過圖形充分感知到一對相反意義的量，這為負數(shù)概念的理解提供了豐富的圖形直觀支撐，使學生形成有關負數(shù)的清晰表象，為負數(shù)的抽象概括提供堅實的表象基礎.

（3）抽象概括.在學生經歷生活背景與圖形表示之后，就可在這些豐富的實例和直線圖形的基礎上抽象出負數(shù)的定義：比零小的數(shù)是負數(shù).正、負數(shù)表示一對相反意義的量.

可見，概念同化的學習方式雖然從本質上說是一種從概念到概念的過程，但是新、舊概念之間聯(lián)系的建立，不是一種簡單空洞的邏輯鏈接，同樣需要根據(jù)學生的心理特點組織一個生動豐富的學習過程：情景感知—數(shù)形結合—抽象概括.只有這樣，才能使新概念真正與已有的概念體系相融合，獲得意義建構.

3.引導學生同化與分化相整合，深化概念理解

奧蘇貝爾在同化理論的基礎上還提出了學習組織的四大原則.其中第一條原則就是漸近分化的原則.該原則倡導在學習新知識的同時，明確新、舊知識的區(qū)別，并使新、舊知識的聯(lián)系與區(qū)別協(xié)調整合.這與美國心理學家威特金提出的心理分化理論也是一致的.心理分化的一般原則即從渾然一體到清晰分化的發(fā)展.因此，學生對數(shù)學概念的意義建構也應該是一個從同化到分化的過程，兩者應有機統(tǒng)一.在概念同化過程中，如果說同化是尋找新、舊概念的共同特征，那么分化就是辨析新、舊概念的區(qū)別特征.對中學生來說，這種分化也應該是漸近式的.

例如，我們在學習了變量與變化概念后，引入函數(shù)的概念.首先，我們要認識到函數(shù)描述性的概念“雛形”：在一個變化過程中，有兩個變量，一個變量隨著另一個變量的變化而變化，但這是不準確的界定，沒有抓住概念的本質特征.函數(shù)的本質特征是：在一個變化過程中有兩個變量x和y，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一確定的值與它對應.這時，可舉出一個反例深入理解函數(shù)概念：y是非負數(shù)x的平方根，y不是x的函數(shù).這個反例，可促進學生對函數(shù)與一個量隨另一個量變化而變化兩個概念的分化，從而加深對概念的理解.可見，在教學中，教師通過由粗略描述到精確定義、由肯定例證到否定例證的教學設計，可逐步實現(xiàn)新、舊概念的精確分化.這一過程將求同的思維過程實施逆轉：變求同為求異，變同化為分化，最終實現(xiàn)對概念的意義建構.

4.引導學生掌握概念圖策略

一個數(shù)學概念的獲得，既包括對它本身涵義的理解，同時還包括對不同概念間的各種相互聯(lián)系的理解.新的概念只有納入相應的概念系統(tǒng)中，與其他概念建立必然的聯(lián)系，才能被學習者全面、深刻地理解和掌握.概念圖策略是指學習者按照自己對知識的理解，用結構網絡的形式表示出概念的意義以及與其他概念之間聯(lián)系的一種策略.一個完整的概念圖要包括命題、層次等級、橫向聯(lián)系和實例四個方面.

（1）命題.命題是兩個概念通過某個連接詞而形成的，例如“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”這個命題是通過“是”而形成的.

（2）層次等級.概念圖中的概念必須是有層次的，這以概念的抽象水平為依據(jù).

（3）橫向聯(lián)系.概念圖必須反映同一或不同抽象層次概念之間的“橫向”聯(lián)系.

（4）實例.概念圖不只是抽象的概念，還需用具體實例豐富和加深學生對概念的認識.如實數(shù)的概念圖如下所示.

概念圖是一種同化學習策略，更是一種有效的“學會學習”的方式.引導學生掌握概念圖策略可分為三個環(huán)節(jié)：首先，教師要結合具體實例，講清楚概念圖的構成及其制作步驟，做出示范；其次，學生模仿教師的步驟，師生共同編制概念圖，教師及時給予指導；最后，學生自己制作有關的概念圖，相互交流、比較和評價，并及時修改和補充，從而加深對有關概念及其內在聯(lián)系的理解.

總之，對于數(shù)學概念學習，只有理清概念的關聯(lián)，并納入系統(tǒng)之中，才能真正掌握它.因此，教師應積極引導學生把學過的概念進行分析、比較，揭示概念的共性、特性、區(qū)別與聯(lián)系，形成概念的網絡圖.

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