☉江蘇省海門市貨隆初級中學(xué) 陳宏亮

從“學(xué)不得法”談從條件尋找思維起點
——以一道試題的一題多解為例

☉江蘇省海門市貨隆初級中學(xué) 陳宏亮

筆者任教的農(nóng)村初中有部分學(xué)生平時學(xué)習(xí)很努力，學(xué)習(xí)習(xí)慣也很好，練習(xí)時準(zhǔn)確率也很高，但是到考試時就是不盡如人意.這部分學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)為記憶力較好，擅長文科，其學(xué)習(xí)特征是機(jī)械、呆板，理解慢，知識點總是死記硬背.因此他們基礎(chǔ)非常扎實，但遇到綜合性的題目就無從下手.我們總是評價他們“學(xué)不得法”，其實，這是學(xué)生思維能力欠缺的一種表現(xiàn).“課程標(biāo)準(zhǔn)”指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程.同時要求教師教學(xué)時應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ).這一要求就決定了教師的教學(xué)應(yīng)該注重發(fā)展學(xué)生的思維能力.本文筆者嘗試在課堂教學(xué)中利用綜合題的條件分析逐漸培養(yǎng)學(xué)生從條件尋找思維起點的能力，進(jìn)而提高學(xué)生的思維能力.

一、例題教學(xué)過程

1.教學(xué)背景

例題是筆者所在學(xué)校初三中考一模的第27題，此題是純幾何證明（計算）題，分值為12分，班級平均得分只有1.3分，高分也只有6分.考試結(jié)束后通過與學(xué)生的交流以及對題目進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)知識點運用靈活性較大，學(xué)生的思維障礙在于做第一問時無法準(zhǔn)確添加輔助線，而部分同學(xué)進(jìn)行“嘗試性”添輔助線，嘗試很多次也無法解決，時間花了很多，但是效果不佳，因此筆者決定把例題的第一問作為突破口，引導(dǎo)學(xué)生從不同條件中尋找問題解決的思維切入點，達(dá)到一題多解的效果，訓(xùn)練學(xué)生這方面的能力.

2.例題展示

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上，∠EDF=60°.

（1）當(dāng)點D為AB的中點且∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E、F時，如圖1，求證：DE=DF.

（2）當(dāng)點D不是AB的中點，且AD∶AB=1∶3時，

①若∠EDF的兩邊分別交線段AC、BC于點E、F，如圖2，求DE∶DF；

②若∠EDF的邊DE交線段AC于點E、邊DF交BC的延長線于點F，如圖3，直接寫出DE∶DF的值.

圖1

圖2

圖3

3.例題分析

幾何證明（計算）是根據(jù)一定的規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn)，由公理和定理推導(dǎo)出某些命題的過程.其過程分為分析、證明、整理三個過程.分析：分析圖形的切入點及所證（求）.證明：作出輔助線，綜合運用定理、模型等方法，找出已知和未知的聯(lián)系，或推翻否定命題不成立的假設(shè).整理：規(guī)范作答.分析過程是問題解決的重中之重，因此思維的切入點的選擇至關(guān)重要，思維起點有很多種，例如：從問題目標(biāo)的特征選擇；從問題結(jié)論和解法選擇；從觀察和實驗中尋找等.而問題條件構(gòu)成了問題分析的背景，通過對背景的分析還原出問題的初始形態(tài)，因此問題的條件分析是一個重要的思維起點，從這一入口進(jìn)入問題的證明（計算）過程，最終得出相關(guān)結(jié)論，到達(dá)思維的終點.

問題（1）的分析如下所示.

思維起點1：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°以及D為AB的中點.

分析過程：由已知條件得到∠A=∠B=30°，引導(dǎo)學(xué)生考慮到三角函數(shù)，但是本題中沒有直角三角形，因此需要構(gòu)造，如何構(gòu)造？觀察結(jié)論要證得DE=DF，需要相等