☉福建省廈門第一中學(xué) 楊振興
注重課題學(xué)習(xí),引導(dǎo)探究,提升能力
——對一道統(tǒng)考題的教學(xué)思考
☉福建省廈門第一中學(xué) 楊振興
“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”是義務(wù)教育階段一個重要的教學(xué)內(nèi)容,是數(shù)學(xué)課程的一個重要組成部分,也是發(fā)展學(xué)生動手操作能力、探究能力、應(yīng)用意識的重要抓手.美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過:學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn).而課題學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下自主動手操作,自主探究.這與波利亞的思想不謀而合.也充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的教育模式,因此教師在課堂上上好“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”就十分重要了.
在廈門市2014-2015學(xué)年八年級上數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查中,有一道新穎的題目,取材于“課題學(xué)習(xí)”最短路徑問題,并且重點考查學(xué)生的探究能力與知識遷移能力.
題目(2014年廈門市質(zhì)檢第25題第(3)問)如圖1,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,G為邊AD的中點,若E、F為邊AB上的兩個動點,點E在點F左側(cè),且EF=1cm,請用作圖的方式在線段AB上確定點E、F的位置,使得四邊形CGEF的周長最小.(保留作圖痕跡,不寫作法)
分析:因為EF是定值,所以只要GE+FC最小即可.把G、E、F、C四個點看成一個系統(tǒng)(如圖2),因為點E、F在AB上,若E、F重合時,G相應(yīng)地沿AB方向平移了EF的長度到達G′(如圖3),即轉(zhuǎn)化成“牧馬飲水”問題,進而對稱后,根據(jù)“兩點之間,線段最短”即可作出圖形(如圖4).
圖2
圖3
圖4
圖1
解:先把GE沿AB方向平移了EF的長度(1cm)到達G′F,然后作點G′關(guān)于直線AB的對稱點G″.連接G″G,交直線AB于點F,則點F即為所求.
在點F的左側(cè)取EF=1cm,則E、F就是符合題意的點.同理,因為CD∥AB,所以也可以先把CC′延CD方向平移FE的長度到達C′E,這里給出AB、BC、EF的長度只是為了降低難度,本質(zhì)是課本第87頁的造橋問題.不要求學(xué)生說理,只要找出正確的E、F點即可.
本題是2014年廈門市八年級數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查的倒數(shù)第2題的最后一問,最后全市此題的平均分為0.279分,極其低.此題為對《人教版數(shù)學(xué)八上》P86課題學(xué)習(xí)問題2(造橋選址問題)的實際應(yīng)用,但學(xué)生無法與造橋問題類比分析,解題沒有思路.許多學(xué)生直接利于軸對稱再連接,沒有經(jīng)過平移而導(dǎo)致畫錯.本小題需要學(xué)生能對幾種路徑最短的綜合和遷移,有較高的能力要求.但參與評卷的老師反映自己在教學(xué)中已經(jīng)教過造橋選址問題,但學(xué)生幾乎都不會遷移到這道題目中,這反映了在課題學(xué)習(xí)的教學(xué)中存在一些不容忽視的問題.
(1)一些教師對“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容一帶而過或置之不理,導(dǎo)致學(xué)生的探究意識和知識的遷移能力欠缺.
(2)教師缺少對課題學(xué)習(xí)教學(xué)的研究,即使努力教學(xué)也多數(shù)出現(xiàn)按照教材照搬給學(xué)生,模式化教學(xué)的情況,學(xué)生只是“背”下了答案而已,沒有真正理解.
(3)教師缺少對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的研究.最短路徑對于學(xué)生理解上是一個很抽象的過程,不可人為地讓學(xué)生懂得,而應(yīng)引導(dǎo)他們糾錯、發(fā)現(xiàn)、探究,以學(xué)生為主體,這也是課題學(xué)習(xí)所想讓教師做的.
筆者以《人教版數(shù)學(xué)八上》P86課題學(xué)習(xí)問題2(造橋選址問題)的教法為例,給大家提供一個參考和交流的實例.
問題2:(造橋選址問題)如圖5,A、B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN,橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)
圖5
1.課前布置學(xué)生自主探究
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)在定義數(shù)學(xué)思想時特別新增加了“構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想”,因此課題學(xué)習(xí)要體現(xiàn)這個特點,要求老師引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模.筆者在課前一天由學(xué)生設(shè)計數(shù)學(xué)模型,將河流的兩個河岸看成是兩條直線a、b,要在平行線a、b上畫一個垂線段MN使得路徑AMNB最短,發(fā)給每位學(xué)生一張作業(yè)紙,讓他們利用圖5畫出最短路徑AMNB.
隔天交過來的作業(yè)中有如圖6~圖9所示的方法.
圖7
圖8
圖9
總結(jié)學(xué)生作業(yè):圖6、圖7是學(xué)生想利用點到直線的距離“垂線段最短”來解決.圖8、圖9是學(xué)生想利用“兩點之間線段最短”來解決.
當(dāng)然,班級中還有2位學(xué)生的作業(yè)畫法和上述不同,將在隨后展示.
2.課堂學(xué)生自主探究,教師引導(dǎo)
(1)學(xué)生分組測量討論.
(2)師生互動討論.
師:通過測量我們可以發(fā)現(xiàn),利用點到直線的距離“垂線段最短”來解決的圖6、圖7的測量距離長,為什么?
生1:這兩種圖形只考慮了點A或點B到河岸的距離最短,但是另一個點到河岸的距離卻很長,所以不是最短.(引導(dǎo)學(xué)生自己否定這個做法,探究下一個做法)
師:很好,那圖8、圖9的測量結(jié)果顯示它們比較短,哪個更短,是否是最短的?
生2:圖8、圖9是利用“兩點之間線段最短”,應(yīng)該是最短的.
師:那應(yīng)該是一樣短才是啊,可事實數(shù)據(jù)顯示圖8比圖9短,為什么?
生3:可能是誤差?(允許學(xué)生發(fā)表自己的看法,即使他們的想法是錯的,錯的想法會加深學(xué)生對正確解法的記憶,教師不應(yīng)害怕學(xué)生犯錯,有時候犯錯還是好事,教師要抓住學(xué)生的“錯”,引導(dǎo)他們探尋正確的方向,這樣學(xué)生會受益匪淺)
師:有可能,我們用幾何畫板來找找看是否是誤差,還是有更短的?
師:操作幾何畫板(如圖10),我們發(fā)現(xiàn)下面的數(shù)據(jù)明顯比同學(xué)們之前畫的數(shù)值小,還是誤差嗎?
圖10
生4:應(yīng)該不是誤差,老師你在拖動M點時,數(shù)據(jù)有呈現(xiàn)縮小的趨勢,則AM+MN+NB一定有最小值,那我們怎么才能找到這個最短路徑呢?
師:好,我們這堂課就來研究一下,好嗎?(教師在教學(xué)中可以經(jīng)常采取詢問的方式,使學(xué)生在課堂上處于被動地接受知識時成功轉(zhuǎn)為課堂的主動參與者和決策者)
(3)教師引導(dǎo),學(xué)生自主探究.
師:如果沒有河流,如圖11,點A′到點B的最短路徑是什么?
生5:就是兩點之間線段最短的A′B交直線b于點N啊,簡單?。▽W(xué)生鼓掌?。?/p>
圖11
師:如果在河岸b上再加河岸a呢,那A′會怎么移動?
一部分學(xué)生:A′也會往上移動!
師追問:移動多少?
生:一條河岸的寬度?。◣熒幕樱季S的碰撞,呼之欲出的答案)
師:好!大家動手畫一畫,看看是否能得到意想不到的答案.(最后的正確答案必須以學(xué)生為主體自己找到,這樣才能進一步鍛煉學(xué)生的動手能力和圖形操作能力,合乎新課程的理念)
最后,本班學(xué)生56人,32人畫出了正確的圖形,如圖12.
師總結(jié)畫法:①把A向河岸垂直方向靠近平移到A′.
圖12
②連接A′B交直線b于點N,作MN垂直直線b交直線a于點M.
③連接AM、MN、NB,路徑AMNB即為所求的最短路徑.
(4)師生驗證畫法的正確性.
①幾何畫板驗證,如圖13.
AM=3.63
MN=1.98
NB=4.01
AM+MN+NB=9.62
②幾何嚴(yán)謹(jǐn)證明.
圖13
圖14
若橋在另一個位置M′N′,如圖14,則AM′=AN′.
因為平移,所以AM′=AN′.
所以AM′+M′N′+N′B=AN′+M′N′+N′B.
又因為平移AM=A′N,所以AM+ MN+NB=A′N+MN+NB.
因為河岸寬度不變,所以M′N′=MN.
而AN′+N′B>A′B(三角形兩邊之和大于第三邊),又因為A′B=A′N+NB,所以AM′+M′N′+N′B>AM+MN+NB.
這證明了若不在MN處建橋,那么將會更長,因此AMNB即為所求的最短路徑.
(5)師生探尋另解.
師:上面我們一起證明了上述畫法的正確性,那么還有沒有其他的畫法?
生思考,分組討論后得出結(jié)論:類似地,也可平移點B.把B向河岸垂直方向靠近平移到B′,連接B′A交直線a于點M,作MN垂直直線a交直線b于點N,連接AM、MN、NB,路徑AMNB即為所求的最短路徑.
師追問:新得到的路徑和原來的一樣嗎?
生發(fā)現(xiàn):一樣.(對類似的另解的探索讓學(xué)生再次感受一次造橋選址問題,加深學(xué)生對于問題的掌握和理解)
3.課后拓展、提升、運用所學(xué)的結(jié)論
筆者所在備課組自編了3道新穎的變式題課后讓學(xué)生練習(xí),大家可以和最后的統(tǒng)考題做比較.
變式1:已知A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)在要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸是平行的,且橋要與河垂直),怎么選址造橋才能夠使得從A到B的路徑AMNB最短?我們不妨將問題放在平面直角坐標(biāo)系中來研究.
(1)若A(-4,3),B(3,-2).河的兩岸分別設(shè)為y=1與x軸,當(dāng)從A到B的路徑AMNB最短時,求M、N的坐標(biāo).
(2)若A(-4,3)、B(3,-2)還被另一條河隔開(與原河流垂直),需在此河上造一座橋CD(假定河的兩岸是平行的,且橋要與河垂直),此河的兩岸分別設(shè)為x=1與y軸,當(dāng)從A到B的路徑AMNCDB最短時,求M、N、C、D的坐標(biāo).(畫圖,直接用坐標(biāo)回答即可)
變式2:將一長方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,O為頂點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=10,OC=8.在x軸上取兩點M、N(點M在點N的左側(cè)),且MN=4.5,求使四邊形BDMN的周長最短的點M和點N的坐標(biāo).
變式3:在平面直角坐標(biāo)系中,點A(3,0),點B(3,3),點C、D在y軸上,CD=1.試問:是否存在這樣的點C使得四邊形ABCD的周長最短?若存在,請求出點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
1.“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的學(xué)情
課題學(xué)習(xí)活動首先要以學(xué)生為主體,立足于學(xué)生現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗,一步步引導(dǎo)學(xué)生找到知識所在并掌握它.八年級上的學(xué)生只是初步學(xué)習(xí)平移和對稱知識,僅僅掌握了“垂線段最短”、“兩點之間線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等簡易的幾何最值問題,對將其靈活運用在課題學(xué)習(xí)(造橋選址問題)上有一定難度,教師在教學(xué)時應(yīng)該針對學(xué)生的這些情況展開教學(xué)設(shè)計,并且最關(guān)鍵的是以學(xué)生為主體,整個教學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生成為課堂和知識的主人.
2.“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生活動為主線,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也要有數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程,不僅要有基于間接經(jīng)驗的數(shù)學(xué)知識,也要有基于直接經(jīng)驗的數(shù)學(xué)知識,不僅要有抽象的概念和法則,也要有直觀的說明和啟迪.”本課題學(xué)習(xí)教學(xué)中,筆者設(shè)計了讓學(xué)生自主畫圖,再分組測量,并且分組討論,學(xué)生有所發(fā)現(xiàn),但又帶有疑問,進而引入問題的解決,在允許學(xué)生犯錯時,進而引導(dǎo)學(xué)生進一步研究,找到正確的最短路徑.而在讓學(xué)生通過測量、列表、觀察、糾錯、探索后進行幾何理論證明,便是水到渠成之事.整個教學(xué)過程十分順暢,完全都是以學(xué)生為主體,參與解決問題,最后由學(xué)生得出結(jié)論,再證明,學(xué)生感受到了自己才是知識的主人,主動學(xué)習(xí)興趣倍增.雖然筆者在設(shè)計教法時花費了很多時間,但最后學(xué)生受益匪淺,這應(yīng)該是我們教師經(jīng)常要做的,也是職責(zé)所在.最后僅以此例,拋磚引玉,希望廣大的同行們可以對課題學(xué)習(xí)的教法進行深入研究.