☉福建省廈門第一中學(xué) 楊振興

注重課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)探究，提升能力
——對(duì)一道統(tǒng)考題的教學(xué)思考

☉福建省廈門第一中學(xué) 楊振興

“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”是義務(wù)教育階段一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)重要組成部分，也是發(fā)展學(xué)生動(dòng)手操作能力、探究能力、應(yīng)用意識(shí)的重要抓手.美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過：學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn).而課題學(xué)習(xí)的主要目的就是讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下自主動(dòng)手操作，自主探究.這與波利亞的思想不謀而合.也充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的教育模式，因此教師在課堂上上好“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”就十分重要了.

一、問題提出

在廈門市2014-2015學(xué)年八年級(jí)上數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查中，有一道新穎的題目，取材于“課題學(xué)習(xí)”最短路徑問題，并且重點(diǎn)考查學(xué)生的探究能力與知識(shí)遷移能力.

題目（2014年廈門市質(zhì)檢第25題第（3）問）如圖1，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，G為邊AD的中點(diǎn)，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，且EF=1cm，請(qǐng)用作圖的方式在線段AB上確定點(diǎn)E、F的位置，使得四邊形CGEF的周長最小.（保留作圖痕跡，不寫作法）

分析：因?yàn)镋F是定值，所以只要GE+FC最小即可.把G、E、F、C四個(gè)點(diǎn)看成一個(gè)系統(tǒng)（如圖2），因?yàn)辄c(diǎn)E、F在AB上，若E、F重合時(shí)，G相應(yīng)地沿AB方向平移了EF的長度到達(dá)G′（如圖3），即轉(zhuǎn)化成“牧馬飲水”問題，進(jìn)而對(duì)稱后，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可作出圖形（如圖4）.

圖2

圖3

圖4

圖1

解：先把GE沿AB方向平移了EF的長度（1cm）到達(dá)G′F，然后作點(diǎn)G′關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)G″.連接G″G，交直線AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求.

在點(diǎn)F的左側(cè)取EF=1cm，則E、F就是符合題意的點(diǎn).同理，因?yàn)镃D∥AB，所以也可以先把CC′延CD方向平移FE的長度到達(dá)C′E，這里給出AB、BC、EF的長度只是為了降低難度，本質(zhì)是課本第87頁的造橋問題.不要求學(xué)生說理，只要找出正確的E、F點(diǎn)即可.

本題是2014年廈門市八年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢查的倒數(shù)第2題的最后一問，最后全市此題的平均分為0.279分，極其低.此題為對(duì)《人教版數(shù)學(xué)八上》P86課題學(xué)習(xí)問題2（造橋選址問題）的實(shí)際應(yīng)用，但學(xué)生無法與造橋問題類比分析，解題沒有思路.許多學(xué)生直接利于軸對(duì)稱再連接，沒有經(jīng)過平移而導(dǎo)致畫錯(cuò).本小題需要學(xué)生能對(duì)幾種路徑最短的綜合和遷移，有較高的能力要求.但參與評(píng)卷的老師反映自己在教學(xué)中已經(jīng)教過造橋選址問題，但學(xué)生幾乎都不會(huì)遷移到這道題目中，這反映了在課題學(xué)習(xí)的教學(xué)中存在一些不容忽視的問題.

二、深究原因

（1）一些教師對(duì)“數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容一帶而過或置之不理，導(dǎo)致學(xué)生的探究意識(shí)和知識(shí)的遷移能力欠缺.

（2）教師缺少對(duì)課題學(xué)習(xí)教學(xué)的研究，即使努力教學(xué)也多數(shù)出現(xiàn)按照教材照搬給學(xué)生，模式化教學(xué)的情況，學(xué)生只是“背”下了答案而已，沒有真正理解.

（3）教師缺少對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的研究.最短路徑對(duì)于學(xué)生理解上是一個(gè)很抽象的過程，不可人為地讓學(xué)生懂得，而應(yīng)引導(dǎo)他們糾錯(cuò)、發(fā)現(xiàn)、探究，以學(xué)生為主體，這也是課題學(xué)習(xí)所想讓教師做的.

三、課題學(xué)習(xí)的教法探究

筆者以《人教版數(shù)學(xué)八上》P86課題學(xué)習(xí)問題2（造橋選址問題）的教法為例，給大家提供一個(gè)參考和交流的實(shí)例.

問題2：（造橋選址問題）如圖5，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

圖5

1.課前布置學(xué)生自主探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在定義數(shù)學(xué)思想時(shí)特別新增加了“構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想”，因此課題學(xué)習(xí)要體現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)，要求老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.筆者在課前一天由學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，將河流的兩個(gè)河岸看成是兩條直線a、b，要在平行線a、b上畫一個(gè)垂線段MN使得路徑AMNB最短，發(fā)給每位學(xué)生一張作業(yè)紙，讓他們利用圖5畫出最短路徑AMNB.

隔天交過來的作業(yè)中有如圖6~圖9所示的方法.

圖7

圖8

圖9

總結(jié)學(xué)生作業(yè)：圖6、圖7是學(xué)生想利用點(diǎn)到直線的距離“垂線段最短”來解決.圖8、圖9是學(xué)生想利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決.

當(dāng)然，班級(jí)中還有2位學(xué)生的作業(yè)畫法和上述不同，將在隨后展示.

2.課堂學(xué)生自主探究，教師引導(dǎo)

（1）學(xué)生分組測(cè)量討論.

（2）師生互動(dòng)討論.

師：通過測(cè)量我們可以發(fā)現(xiàn)，利用點(diǎn)到直線的距離“垂線段最短”來解決的圖6、圖7的測(cè)量距離長，為什么？

生1：這兩種圖形只考慮了點(diǎn)A或點(diǎn)B到河岸的距離最短，但是另一個(gè)點(diǎn)到河岸的距離卻很長，所以不是最短.（引導(dǎo)學(xué)生自己否定這個(gè)做法，探究下一個(gè)做法）

師：很好，那圖8、圖9的測(cè)量結(jié)果顯示它們比較短，哪個(gè)更短，是否是最短的？

生2：圖8、圖9是利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，應(yīng)該是最短的.

師：那應(yīng)該是一樣短才是啊，可事實(shí)數(shù)據(jù)顯示圖8比圖9短，為什么？

生3：可能是誤差？（允許學(xué)生發(fā)表自己的看法，即使他們的想法是錯(cuò)的，錯(cuò)的想法會(huì)加深學(xué)生對(duì)正確解法的記憶，教師不應(yīng)害怕學(xué)生犯錯(cuò)，有時(shí)候犯錯(cuò)還是好事，教師要抓住學(xué)生的“錯(cuò)”，引導(dǎo)他們探尋正確的方向，這樣學(xué)生會(huì)受益匪淺）

師：有可能，我們用幾何畫板來找找看是否是誤差，還是有更短的？

師：操作幾何畫板（如圖10），我們發(fā)現(xiàn)下面的數(shù)據(jù)明顯比同學(xué)們之前畫的數(shù)值小，還是誤差嗎？

圖10

生4：應(yīng)該不是誤差，老師你在拖動(dòng)M點(diǎn)時(shí)，數(shù)據(jù)有呈現(xiàn)縮小的趨勢(shì)，則AM+MN+NB一定有最小值，那我們?cè)趺床拍苷业竭@個(gè)最短路徑呢？

師：好，我們這堂課就來研究一下，好嗎？（教師在教學(xué)中可以經(jīng)常采取詢問的方式，使學(xué)生在課堂上處于被動(dòng)地接受知識(shí)時(shí)成功轉(zhuǎn)為課堂的主動(dòng)參與者和決策者）

（3）教師引導(dǎo)，學(xué)生自主探究.

師：如果沒有河流，如圖11，點(diǎn)A′到點(diǎn)B的最短路徑是什么？

生5：就是兩點(diǎn)之間線段最短的A′B交直線b于點(diǎn)N啊，簡單?。▽W(xué)生鼓掌?。?/p>

圖11

師：如果在河岸b上再加河岸a呢，那A′會(huì)怎么移動(dòng)？

一部分學(xué)生：A′也會(huì)往上移動(dòng)！

師追問：移動(dòng)多少？

生：一條河岸的寬度?。◣熒幕?dòng)，思維的碰撞，呼之欲出的答案）

師：好！大家動(dòng)手畫一畫，看看是否能得到意想不到的答案.（最后的正確答案必須以學(xué)生為主體自己找到，這樣才能進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力和圖形操作能力，合乎新課程的理念）

最后，本班學(xué)生56人，32人畫出了正確的圖形，如圖12.

師總結(jié)畫法：①把A向河岸垂直方向靠近平移到A′.

圖12

②連接A′B交直線b于點(diǎn)N，作MN垂直直線b交直線a于點(diǎn)M.

③連接AM、MN、NB，路徑AMNB即為所求的最短路徑.

（4）師生驗(yàn)證畫法的正確性.

①幾何畫板驗(yàn)證，如圖13.

AM=3.63

MN=1.98

NB=4.01

AM+MN+NB=9.62

②幾何嚴(yán)謹(jǐn)證明.

圖13

圖14

若橋在另一個(gè)位置M′N′，如圖14，則AM′=AN′.

因?yàn)槠揭?，所以AM′=AN′.

所以AM′+M′N′+N′B=AN′+M′N′+N′B.

又因?yàn)槠揭艫M=A′N，所以AM+ MN+NB=A′N+MN+NB.

因?yàn)楹影秾挾炔蛔?，所以M′N′=MN.

而AN′+N′B＞A′B（三角形兩邊之和大于第三邊），又因?yàn)锳′B=A′N+NB，所以AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+NB.

這證明了若不在MN處建橋，那么將會(huì)更長，因此AMNB即為所求的最短路徑.

（5）師生探尋另解.

師：上面我們一起證明了上述畫法的正確性，那么還有沒有其他的畫法？

生思考，分組討論后得出結(jié)論：類似地，也可平移點(diǎn)B.把B向河岸垂直方向靠近平移到B′，連接B′A交直線a于點(diǎn)M，作MN垂直直線a交直線b于點(diǎn)N，連接AM、MN、NB，路徑AMNB即為所求的最短路徑.

師追問：新得到的路徑和原來的一樣嗎？

生發(fā)現(xiàn)：一樣.（對(duì)類似的另解的探索讓學(xué)生再次感受一次造橋選址問題，加深學(xué)生對(duì)于問題的掌握和理解）

3.課后拓展、提升、運(yùn)用所學(xué)的結(jié)論

筆者所在備課組自編了3道新穎的變式題課后讓學(xué)生練習(xí)，大家可以和最后的統(tǒng)考題做比較.

變式1：已知A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)在要在河上造一座橋MN（假定河的兩岸是平行的，且橋要與河垂直），怎么選址造橋才能夠使得從A到B的路徑AMNB最短？我們不妨將問題放在平面直角坐標(biāo)系中來研究.

（1）若A（-4，3），B（3，-2）.河的兩岸分別設(shè)為y=1與x軸，當(dāng)從A到B的路徑AMNB最短時(shí)，求M、N的坐標(biāo).

（2）若A（-4，3）、B（3，-2）還被另一條河隔開（與原河流垂直），需在此河上造一座橋CD（假定河的兩岸是平行的，且橋要與河垂直），此河的兩岸分別設(shè)為x=1與y軸，當(dāng)從A到B的路徑AMNCDB最短時(shí)，求M、N、C、D的坐標(biāo).（畫圖，直接用坐標(biāo)回答即可）

變式2：將一長方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為頂點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8.在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長最短的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo).

變式3：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（3，3），點(diǎn)C、D在y軸上，CD=1.試問：是否存在這樣的點(diǎn)C使得四邊形ABCD的周長最短？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

四、教學(xué)反思

1.“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的學(xué)情

課題學(xué)習(xí)活動(dòng)首先要以學(xué)生為主體，立足于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，一步步引導(dǎo)學(xué)生找到知識(shí)所在并掌握它.八年級(jí)上的學(xué)生只是初步學(xué)習(xí)平移和對(duì)稱知識(shí)，僅僅掌握了“垂線段最短”、“兩點(diǎn)之間線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等簡易的幾何最值問題，對(duì)將其靈活運(yùn)用在課題學(xué)習(xí)（造橋選址問題）上有一定難度，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該針對(duì)學(xué)生的這些情況展開教學(xué)設(shè)計(jì)，并且最關(guān)鍵的是以學(xué)生為主體，整個(gè)教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生成為課堂和知識(shí)的主人.

2.“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)應(yīng)以學(xué)生活動(dòng)為主線，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也要有數(shù)學(xué)結(jié)果形成的過程，不僅要有基于間接經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也要有基于直接經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅要有抽象的概念和法則，也要有直觀的說明和啟迪.”本課題學(xué)習(xí)教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了讓學(xué)生自主畫圖，再分組測(cè)量，并且分組討論，學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)，但又帶有疑問，進(jìn)而引入問題的解決，在允許學(xué)生犯錯(cuò)時(shí)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究，找到正確的最短路徑.而在讓學(xué)生通過測(cè)量、列表、觀察、糾錯(cuò)、探索后進(jìn)行幾何理論證明，便是水到渠成之事.整個(gè)教學(xué)過程十分順暢，完全都是以學(xué)生為主體，參與解決問題，最后由學(xué)生得出結(jié)論，再證明，學(xué)生感受到了自己才是知識(shí)的主人，主動(dòng)學(xué)習(xí)興趣倍增.雖然筆者在設(shè)計(jì)教法時(shí)花費(fèi)了很多時(shí)間，但最后學(xué)生受益匪淺，這應(yīng)該是我們教師經(jīng)常要做的，也是職責(zé)所在.最后僅以此例，拋磚引玉，希望廣大的同行們可以對(duì)課題學(xué)習(xí)的教法進(jìn)行深入研究.