☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室 張建良

對數(shù)學(xué)探究過程中學(xué)習(xí)“增值”的思考

☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室 張建良

一、問題提出

數(shù)學(xué)教學(xué)中通過結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)探究活動，可使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，積累更多有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，但是有的課上雖然有活動、有探究，但從學(xué)習(xí)的過程來看，并沒有見到學(xué)習(xí)的有效“增值”.那么，如何在探究學(xué)習(xí)中獲得更大增值呢？這是一個值得關(guān)注的問題.下面以蘇科版八年級下冊“9.3平行四邊形”中“平行四邊形的性質(zhì)”的教學(xué)為例予以說明.文中所的說“增值”指的是學(xué)習(xí)前與學(xué)習(xí)后的知識、能力、思維、經(jīng)驗(yàn)、態(tài)度等的提高部分.

二、案例呈現(xiàn)

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第三章“9.3平行四邊形”教學(xué)片斷簡述：

1.找一找

學(xué)習(xí)了中心對稱的有關(guān)知識，圖1、圖2是用兩個全等的三角形通過運(yùn)動變換得到的.哪個圖形是中心對稱圖形？為什么？你能說說中心對稱圖形的定義嗎？

圖1

圖2

圖3

2.畫一畫

如圖3，BO是△ABC邊AC上的中線，畫出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的對稱圖形.

3.說一說

你所畫出的四邊形是一個平行四邊形嗎？為什么？

4.轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)

請同桌的兩個同學(xué)把學(xué)案上所畫的平行四邊形圖形重疊，并選疊在上面的圖形繞對角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，你能發(fā)現(xiàn)什么？

5.寫一寫

用幾何語言表達(dá)平行四邊形ABCD的性質(zhì).

已知：平行四邊形ABCD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

結(jié)論：（邊）AB=CD，AD=BC；

（角）∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠CDA；

（對角線）OA=OC，OB=OD.

6.證一證

以上結(jié)論是通過操作、觀察、歸納，經(jīng)合情推理所得，那么你能推證嗎？……

三、案例分析

以上教學(xué)片斷共設(shè)置了6個環(huán)節(jié)，下表是對本階段中各教學(xué)環(huán)節(jié)的統(tǒng)計(jì)：

通過對該課探究環(huán)節(jié)中的實(shí)際教學(xué)狀況分析，將其中三個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)增值描述為“一般”，其“一般”是指學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力提升不大.

當(dāng)學(xué)生在“找一找”中找出圖1中的中心對稱圖形，則說明學(xué)生已經(jīng)掌握其概念和判斷的方法，另外，教師所提問題“哪個圖形是中心對稱圖形？為什么？”指向也特別明確，暗示圖1、2中存在著中心對稱圖形，可能演化為學(xué)生去猜測答案.問題可改為“有中心對稱圖形嗎？”另在后面“畫一畫”中畫出的一個四邊形剛好與“找一找”中出現(xiàn)的四邊形“長相”一樣，接著用新畫出的四邊形再讓學(xué)生“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”驗(yàn)證是不是中心對稱圖形，這樣的教學(xué)中，學(xué)生容易將上一步中獲取的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論直接遷移到新畫出的四邊形中，也就造成學(xué)生用“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”驗(yàn)證該圖形是不是中心對稱圖形時思維變得無挑戰(zhàn)性（在實(shí)際教學(xué)中可以看到不少學(xué)生的操作沒做到位）.這里面不難看出前面的找一找經(jīng)歷著“看看—想想”，用大腦思維操作多；后面轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)經(jīng)歷著“做做—看看”，動手直觀操作多，這樣一前一后兩個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)了先抽象再具象的教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)思維經(jīng)歷了由高到低的過程，由此可以認(rèn)為“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”在這里出現(xiàn)是不恰當(dāng)?shù)?，原因是這一環(huán)節(jié)是將學(xué)生的學(xué)習(xí)倒回“找一找”的階段，再一次去確認(rèn)四邊形是否為中心對稱圖形.整個活動過程看似讓學(xué)生通過直觀操作去探究數(shù)學(xué)新知，但由于探究學(xué)習(xí)過程中信息流動過長，信息量呈現(xiàn)過多，造成在這樣一個教學(xué)過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、合情推理的能力并沒有實(shí)現(xiàn)大的增值.

四、反思與改進(jìn)

1.反思

教師為什么會有這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？其原因之一就是上課教師想通過學(xué)生動手操作展示過程性教學(xué)目標(biāo)和自主探究學(xué)習(xí)，但大家知道動手操作只是學(xué)習(xí)的一種外在表現(xiàn)，有效的探究學(xué)習(xí)應(yīng)該是通過活動促進(jìn)學(xué)生捕捉有用信息和對信息進(jìn)行有序檢索加工能力的提升，讓學(xué)生的知識水平、思維能力和活動經(jīng)驗(yàn)等都有較大的增值.

回顧以上教學(xué)環(huán)節(jié)，看到在探究過程中學(xué)生既要識別中心對稱圖形，又要回答中心對稱圖形概念，還要根據(jù)條件畫出中心對稱圖形，然后動手轉(zhuǎn)動中心對稱圖形比較，由此造成信息流動環(huán)節(jié)多，分散了學(xué)生對核心內(nèi)容的關(guān)注和思考.同樣，當(dāng)探究環(huán)節(jié)過多時，課堂上析出的無關(guān)信息就會增多，從而也降低了對主干問題的思考.那么，本案例中如何設(shè)計(jì)讓探究過程更具有學(xué)習(xí)增值的效果呢？

首先，從課標(biāo)中看“平行四邊形”的學(xué)習(xí)軌跡和要求：1~3學(xué)段能辨認(rèn)平行四邊形.說明學(xué)生已經(jīng)儲存了平行四邊形的圖像，可識圖.4~6學(xué)段通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形；探索并測量掌握平行四邊形的面積公式.說明學(xué)生知道平行四邊形的概念，且會畫平行四邊形，也積累了轉(zhuǎn)化及等積變換解決問題的經(jīng)驗(yàn).7~9學(xué)段探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及判定定理.在第3學(xué)段學(xué)習(xí)中要用符號語言去進(jìn)行演繹推理平行四邊形的性質(zhì)和判斷.明確了課標(biāo)中對學(xué)習(xí)平行四邊形的路徑和要求，也就奠定了“增值”的基點(diǎn).

其次，從教材內(nèi)容安排來看，先學(xué)習(xí)圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對稱、中心對稱圖形，再學(xué)習(xí)平行四邊形，理解教材內(nèi)容的編排也就找到了學(xué)習(xí)增值的起點(diǎn).

2.改進(jìn)

做好以上兩個方面的分析后，再對平行四變形性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn).

問題1：用兩個全等三角形紙片拼成一個四邊形，問：拼成的四邊形是中心對稱圖形嗎？如果是，找出對稱中心，并說明理由.

教學(xué)中，首先，讓學(xué)生拿出從學(xué)案紙上剪下的兩個全等三角形紙片進(jìn)行拼圖——拼成一個四邊形，如圖4~圖9所示（拼成后用膠帶粘住，便于在下一步的操作中使用）.其次，請同桌的兩個同學(xué)一起操作驗(yàn)證中心對稱圖形，并讓學(xué)生代表在實(shí)物投影展臺上匯報(bào)演示，最后由教師利用幾何畫板操作驗(yàn)證.其中圖4~圖6不是中心對稱圖形；圖7~圖9是中心對稱圖形.

通過課件完美演示180°旋轉(zhuǎn)，將有“誤差”的學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)過渡到“準(zhǔn)確”的多媒體直觀示范，進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生猜想的結(jié)論和操作的結(jié)果是否正確.讓學(xué)生在對比學(xué)習(xí)中校正中心對稱圖形這一概念表征，然后進(jìn)行說理.（說理時選用圖9，并標(biāo)注字母）

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

連接AC交BD于點(diǎn)O.因?yàn)椤鰽BD≌△CDB，可推得△AOD≌△COB，得OA=OC，OB=OD.所以點(diǎn)O即為對稱中心，得四邊形ABCD是一個中心對稱圖形.通過“拼—猜—驗(yàn)—證”這四個步驟進(jìn)行本環(huán)節(jié)的探究學(xué)習(xí).

問題2：四邊形ABCD是一個平行四邊形嗎？為什么？

因?yàn)椤鰽BD≌△CDB，所以∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠CBD，所以AB∥DC，AD∥CB.得四邊形ABCD是平行四邊形，實(shí)現(xiàn)從看出到證出的提升.

問題3：探究平行四邊形ABCD還能獲得哪些結(jié)論？

至此，學(xué)生可以用問題1中“繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的操作方法或用問題2中的推理方法繼續(xù)研究，引導(dǎo)學(xué)生分別從邊、角、對角線三個方面去探究平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)及結(jié)論.

通過重新設(shè)計(jì)，學(xué)習(xí)從兩個全等三角形過渡到一個平行四邊形的探究，是對已知信息的再加工，用三個問題進(jìn)行遞進(jìn)式探究學(xué)習(xí)增加了探究學(xué)習(xí)的思維含量，讓探究學(xué)習(xí)的信息更具條理性，信息傳輸路徑精準(zhǔn)，減少了學(xué)生的認(rèn)知搜索，在有序有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)增值.

五、教學(xué)啟示

1.探究學(xué)習(xí)過程中要控制好信息傳輸流量

在教學(xué)中不能片面地從過去“重結(jié)果輕過程”滑向現(xiàn)在的“重過程輕結(jié)果”，過程與結(jié)果應(yīng)保持一個平衡關(guān)系.過程教學(xué)設(shè)計(jì)要精細(xì)化，前后知識的邏輯關(guān)系要理順，操作活動的層次要清晰，特別要關(guān)注課堂教學(xué)過程中信息傳輸、流量的監(jiān)控.特別地，當(dāng)傳輸途徑增多時，無關(guān)或相關(guān)的信息量就會出現(xiàn)，當(dāng)出現(xiàn)多余信息時，就會對學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)造成消極的效應(yīng)，學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷就會加大.因?yàn)樾畔⒁M(jìn)入長時記憶都必須要在工作記憶中加工后才能得以實(shí)現(xiàn)，而工作記憶所接收的容量是有限的，這時如果學(xué)習(xí)者所要加工的信息容量超過學(xué)習(xí)者所具備的工作記憶所能加工的信息容量，那么就會加重認(rèn)知負(fù)荷.所以信息不要過多在“彎道”上傳輸，應(yīng)該是按照鄰近原則呈現(xiàn)教學(xué)材料，減少注意分散和表征保存.在上面案例中只是將探究“動作”進(jìn)行了簡單累加，造成信息傳輸中流量偏大，“探”得長，“究”得少.

建議多一點(diǎn)對教材內(nèi)容的研究，思考設(shè)計(jì)這個學(xué)生探究活動的目的是什么？如果實(shí)施探究，那么其探究有幾步？每一步探究過程中觀察到什么樣的信息？通過問題串指引每一步的操作和思維，控制好信息傳輸途徑和流量，實(shí)現(xiàn)信息內(nèi)化到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.

2.探究學(xué)習(xí)過程中要選擇好信息轉(zhuǎn)化方式

探究學(xué)習(xí)過程是讓學(xué)生思維成長的過程，其探究心理過程是內(nèi)化、理解、推理與反省的過程.內(nèi)化是個體將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息的過程，主要包括對信息的選擇和編碼、語言互譯.其中信息轉(zhuǎn)化方式在目前的初中數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)過程中一般表現(xiàn)為以下方式：（1）通過折（轉(zhuǎn)、剪）紙轉(zhuǎn)化出直觀信息后再探究背后的原由；（2）用電子表格處理數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化出有規(guī)律信息后再去推理論證；（3）用幾何畫板轉(zhuǎn)化出“跳動”的數(shù)據(jù)或點(diǎn)的不同位置信息再探究變化中所含事實(shí)；（4）利用思維導(dǎo)圖轉(zhuǎn)化出問題中的有效信息后確定探究方向.在案例中雖然采用了三種操作方式“找一找”、“畫一畫”、“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”，但是最后轉(zhuǎn)化和獲取的信息都指向一個概念——中心對稱圖形.這樣三個探究環(huán)節(jié)處在同一層面上，知識、思維等并沒有實(shí)質(zhì)性的提升.那么，如何提高探究學(xué)習(xí)的質(zhì)量？就要清楚探究的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和目標(biāo)、轉(zhuǎn)化方式、推進(jìn)速度、思維層次等，更要明確探究過程中有哪些方面會出現(xiàn)低效？這樣思考以后可以更有效地控制探究過程，讓學(xué)習(xí)探究的行為都要圍繞數(shù)學(xué)思維這一核心任務(wù)，避免重形式輕思考.

建議多一點(diǎn)關(guān)注外在操作和內(nèi)在思維這兩條主線，對架設(shè)這兩條線的高度、長度給予充分預(yù)設(shè)，讓轉(zhuǎn)化出的有效信息在這兩條主線上出現(xiàn).通過選擇適當(dāng)?shù)奶骄糠绞綄?shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)增值.

總之，知識的掌握需要有探究學(xué)習(xí)的過程，在探究過程中完成信息的輸入、加工、提煉、直到最后結(jié)論的輸出.輸入和輸出之間必須是一次有效的“增值”過程.當(dāng)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)增值以后，那么學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中都會享受到它帶來的“利息”.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

3.R.M.加涅.學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.

4.錢德春.探究內(nèi)隱于題：一種本真的命題指向［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.