孫 瑤， 楊鐵軍， 梁偉龍， 陳 冰， 黃 迪

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

復(fù)雜隔振結(jié)構(gòu)激勵(lì)下彈性基礎(chǔ)振動(dòng)及聲輻射分析

孫 瑤， 楊鐵軍， 梁偉龍， 陳 冰， 黃 迪

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

針對(duì)隔振結(jié)構(gòu)-彈性基礎(chǔ)耦合結(jié)構(gòu)向外聲輻射問(wèn)題，采用剛體理論及改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法建立以任意邊界彈性板為基礎(chǔ)的雙層隔振耦合結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型。采用瑞利-里茲方法得到整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，繼而通過(guò)提取表面振速分布計(jì)算基礎(chǔ)彈性板向外的輻射聲功率。根據(jù)隔振結(jié)構(gòu)的布置情況，以隔振器安裝點(diǎn)的振動(dòng)作為表征，探討了耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)板聲輻射模態(tài)之間的耦合對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后計(jì)算并分析了基礎(chǔ)邊界條件對(duì)基礎(chǔ)板向外輻射聲功率的影響。

雙層隔振； 彈性基礎(chǔ)； 耦合結(jié)構(gòu)； 聲輻射； 邊界條件

引 言

雙層隔振是目前船用動(dòng)力機(jī)械常用的隔振方式之一。不同于陸地上的設(shè)備，船舶動(dòng)力機(jī)械隔振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需要考慮隔振結(jié)構(gòu)和彈性基礎(chǔ)(船體結(jié)構(gòu))的耦合作用[1-3]。不僅如此，考慮到對(duì)環(huán)境的影響及船舶噪聲標(biāo)準(zhǔn)的要求，通過(guò)彈性基礎(chǔ)向外的聲輻射也一直是研究人員關(guān)注的熱點(diǎn)。盛美萍[4]采用統(tǒng)計(jì)能量法及輻射效率經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)單層隔振-彈性基礎(chǔ)的輻射聲功率進(jìn)行了估算，并分析了隔振器阻尼、設(shè)備安裝位置對(duì)彈性基礎(chǔ)聲輻射的影響。張志誼等[5]以雙自由度隔振模型和嵌于無(wú)限大障板中的四邊簡(jiǎn)支加筋板構(gòu)成的耦合結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，采用有限元及邊界元法建模，討論了主動(dòng)隔振對(duì)基礎(chǔ)彈性板聲輻射的影響。以上的研究表明，雖然最終只關(guān)心彈性基礎(chǔ)向外的聲輻射，但隔振結(jié)構(gòu)的存在使施加在彈性基礎(chǔ)上的激勵(lì)情況變得復(fù)雜。因此對(duì)于隔振結(jié)構(gòu)與彈性基礎(chǔ)構(gòu)成的耦合結(jié)構(gòu)而言，如果僅僅是對(duì)彈性基礎(chǔ)的振動(dòng)及其聲輻射進(jìn)行分析不能全面地體現(xiàn)耦合結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)聲輻射的特性。

早期對(duì)于結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射的研究集中于對(duì)振動(dòng)模態(tài)輻射效率的分析[6]，但振動(dòng)模態(tài)之間對(duì)聲輻射的互耦合作用使其變得復(fù)雜[7]。20世紀(jì)90年代國(guó)外一批學(xué)者通過(guò)特征值分解對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射進(jìn)行分析[8-9]。這種分析角度的優(yōu)勢(shì)在于各階聲輻射模態(tài)對(duì)輻射聲功率的貢獻(xiàn)獨(dú)立并且不隨邊界條件及材料屬性的變化而改變。而其不足之處在于聲輻射模態(tài)形狀對(duì)頻率的變化不敏感，對(duì)于高頻段高階振動(dòng)模態(tài)主導(dǎo)的情況，輻射效率高的聲輻射模態(tài)也可能對(duì)輻射聲功率的貢獻(xiàn)不大?；谶@兩類(lèi)模態(tài)各自的特性及頻域上變化的不匹配性，有學(xué)者對(duì)振動(dòng)模態(tài)及聲輻射模態(tài)之間的耦合關(guān)系進(jìn)行了研究[10-11]。如李雙等[10]討論了簡(jiǎn)支平板振動(dòng)模態(tài)及聲輻射模態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中應(yīng)用了簡(jiǎn)支板振動(dòng)模態(tài)奇偶模態(tài)序數(shù)的概念，但這種奇偶模態(tài)的描述方法對(duì)于非簡(jiǎn)支邊界條件的彈性板卻并不適用。

本文采用能量法對(duì)彈性基礎(chǔ)上的雙層隔振耦合結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，考慮隔振結(jié)構(gòu)的多自由度運(yùn)動(dòng)及任意邊界彈性基礎(chǔ)的彈性振動(dòng)。以隔振器安裝點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為切入點(diǎn)，對(duì)耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)彈性板聲輻射模態(tài)之間的耦合關(guān)系進(jìn)行探討。這種分析方法將容易測(cè)量得到的隔振器安裝位置的振動(dòng)情況與耦合結(jié)構(gòu)的聲輻射關(guān)聯(lián)在一起，為彈性基礎(chǔ)上隔振系統(tǒng)的聲輻射分析帶來(lái)便利。

1 耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建模

圖1描述了彈性基礎(chǔ)上的雙層隔振結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)聲輻射產(chǎn)生的機(jī)理。本文考慮的雙層隔振-彈性基礎(chǔ)耦合結(jié)構(gòu)如圖2所示。耦合結(jié)構(gòu)由上層質(zhì)量(模擬機(jī)械設(shè)備)、中間質(zhì)量、隔振器(上下層各采用對(duì)稱(chēng)布置的4個(gè)隔振器)和基礎(chǔ)彈性板構(gòu)成。圖2中所示板邊界的剪切彈簧及扭轉(zhuǎn)彈簧可用來(lái)模擬任意邊界條件，上下層隔振器如圖2中所示進(jìn)行編號(hào)。

圖1 彈性基礎(chǔ)上雙層隔振結(jié)構(gòu)聲輻射耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of the vibro-acoustics of a double-stage vibration isolation system mounted on a flexible structure

圖2 彈性基礎(chǔ)雙層隔振結(jié)構(gòu)布置圖Fig.2 A double-stage vibration isolation system mounted on a rectangular plate with arbitrary boundary condition

在忽略空間聲場(chǎng)對(duì)結(jié)構(gòu)耦合作用的假設(shè)條件下，基礎(chǔ)彈性板向外的聲輻射可以通過(guò)基礎(chǔ)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的速度分布得到。其求解基本思路為：首先根據(jù)各子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)情況給出其含未知系數(shù)的振動(dòng)位移表達(dá)式；繼而對(duì)耦合結(jié)構(gòu)采用能量原理進(jìn)行描述；然后采用瑞利-里茲近似方法得到系統(tǒng)的控制方程組；最終求解特征方程并將系數(shù)向量帶回結(jié)構(gòu)振動(dòng)表達(dá)式中得到各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況。

首先，將各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況用含有未知系數(shù)的函數(shù)表示。對(duì)于上層及中間質(zhì)量采用剛體理論建模，考慮一個(gè)平動(dòng)自由度及兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)描述剛體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，其具體表達(dá)式如下：

ze=Zesinωt,θe=Θesinωt,φe=Φesinωt

zi=Zisinωt,θi=Θisinωt,φi=Φisinωt

(1)

式中z，θ及φ分別代表豎直方向、繞y軸及繞x軸的位移及角位移，下標(biāo)e代表上層質(zhì)量(機(jī)械設(shè)備)，下標(biāo)i代表中間質(zhì)量，ω為角頻率，t為時(shí)間變量。待求未知系數(shù)組成的幅值向量為[Ze,Θe,Φe,Zi,Θi,Φi]T。

對(duì)于作為基礎(chǔ)的彈性板，為不失一般性,本文采用二維改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示其面外彎曲振動(dòng)[7]，此方法可以對(duì)任意邊界薄板的彎曲振動(dòng)進(jìn)行描述?；A(chǔ)彈性板的橫向位移可表示為

(2)

對(duì)整個(gè)耦合結(jié)構(gòu)采用能量原理進(jìn)行描述，系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)可以表示成如下形式

L=V總-T總-Wext

(3)

式中V總表示耦合結(jié)構(gòu)中存儲(chǔ)的總勢(shì)能，T總為耦合結(jié)構(gòu)的總動(dòng)能，Wext表示外力對(duì)耦合結(jié)構(gòu)所做的功。

對(duì)于雙層隔振-彈性基礎(chǔ)耦合結(jié)構(gòu)，其振動(dòng)動(dòng)能由各層質(zhì)量和基礎(chǔ)彈性板的動(dòng)能構(gòu)成，其勢(shì)能由隔振器中儲(chǔ)存的勢(shì)能及基礎(chǔ)彈性板的彎曲及邊界勢(shì)能構(gòu)成，即：

V總=V上層隔振器+V下層隔振器+V基礎(chǔ)

(4)

T總=T上層質(zhì)量+T中間質(zhì)量+T基礎(chǔ)

(5)

隔振器中儲(chǔ)存的勢(shì)能可表示為：

jωce(zel-zil)2]

(6)

(7)

基礎(chǔ)彈性板的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：

(8)

(9)

式中ρ，h分別代表板的密度和厚度，D，μ分別代表板的彎曲剛度及泊松比。Kx，Ky與kx，ky分別代表基礎(chǔ)彈性板邊界上的扭轉(zhuǎn)及剪切彈簧剛度，通過(guò)改變剛度值可以模擬任意的邊界條件。例如，當(dāng)基礎(chǔ)板的邊界條件為簡(jiǎn)支時(shí)則可以將剪切彈簧剛度設(shè)為無(wú)窮大，而扭轉(zhuǎn)彈簧剛度設(shè)為0。類(lèi)似地,板的自由邊界條件則可將剪切及扭轉(zhuǎn)彈簧剛度均設(shè)為0。

采用瑞利-里茲方法，在式(2)中取有限階函數(shù)項(xiàng)來(lái)描述基礎(chǔ)彈性板的位移。將系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)對(duì)未知系數(shù)取極值，可以得到15個(gè)線性方程組，表示成矩陣形式如下

(10)

式中E為耦合結(jié)構(gòu)的未知系數(shù)向量，K，C，M及F分別代表耦合結(jié)構(gòu)在縮減的拉格朗日坐標(biāo)系下的剛度、阻尼和質(zhì)量矩陣及外激勵(lì)向量。

通過(guò)求解式(10)可以得到耦合結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)作用下的未知響應(yīng)的系數(shù)幅值，再代回式(1)和(2)中即可得到雙層隔振結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)和基礎(chǔ)彈性板的振動(dòng)位移分布。

基礎(chǔ)彈性板向半無(wú)限空間的聲輻射應(yīng)用瑞利積分計(jì)算。空間任意點(diǎn)聲壓與基礎(chǔ)彈性板表面振速之間的關(guān)系可由下式來(lái)描述

(11)

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率Wrad可由結(jié)構(gòu)表面聲壓和法向速度表示為

(12)

式中 上標(biāo)H代表共扼轉(zhuǎn)置，Re()表示取實(shí)部。

如將基礎(chǔ)彈性板分割成M個(gè)振動(dòng)面元(面元的分割應(yīng)保證面元幾何尺寸遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng))，可對(duì)式(12)進(jìn)行離散。此時(shí)，輻射聲功率可以表示成矩陣形式如下

Wrad=VHRV

(13)

式中V為離散的板表面振速分布向量。R為聲輻射阻抗矩陣，并且其第(m′,n′)個(gè)元素可以表示為

式中rm′,n′為板上第m′個(gè)面元到第n′個(gè)面元之間的距離，Δs為每個(gè)離散振動(dòng)面元的面積。根據(jù)聲輻射模態(tài)理論，對(duì)聲阻抗矩陣R進(jìn)行特征值分解，可以得到一組特征向量φm′及其相應(yīng)的特征值{λm′}。其特征向量被視為結(jié)構(gòu)聲輻射的模式即聲輻射模態(tài)，特征值則對(duì)應(yīng)于此階聲輻射模態(tài)的輻射效率[9]。輻射聲的能量可視為各階聲輻射模態(tài)輻射聲功率的疊加

(15)

由式(15)可以看出，輻射聲功率不僅受聲輻射模態(tài)的輻射效率λm′影響，還由聲輻射模態(tài)形狀與振速分布的耦合程度來(lái)決定。

2 耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)及聲輻射模態(tài)

本文建立的雙層隔振結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)彈性板的幾何參數(shù)如表1所示。材料的特性參數(shù)為：密度為7 800 kg/m3、楊氏模量為2×1011N/m2、泊松比為0.3。上層隔振器剛度為4×105N/m，阻尼50 N·s/m；下層隔振器剛度為1×106N/m，阻尼30 N·s/m。上下層隔振器的安裝位置列于表2中?；A(chǔ)彈性板的邊界條件為四邊固支。

表1 耦合結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)

表2 隔振器安裝位置

2.1 耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)

若忽略阻尼及外力的做功項(xiàng)，式(10)成為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征值問(wèn)題，通過(guò)求解線性特征值問(wèn)題可得到耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)。其前10階固有頻率與有限元計(jì)算結(jié)果的比較如表3所示：

表3 耦合結(jié)構(gòu)前10階固有頻率

由上表可以看出，利用本文建立的模型計(jì)算出的耦合結(jié)構(gòu)固有頻率與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好。

繪制耦合結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)振型如圖3所示。

為了方便探討耦合結(jié)構(gòu)模態(tài)中雙層隔振結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)彈性板之間的耦合對(duì)應(yīng)關(guān)系，本文結(jié)合隔振結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)的連接特性，以下層隔振器在基礎(chǔ)彈性板上4個(gè)安裝點(diǎn)、上層隔振器在上層及中間質(zhì)量上安裝點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況作為表征對(duì)耦合結(jié)構(gòu)中各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形態(tài)進(jìn)行描述(上下層隔振器在中間質(zhì)量的安裝位置雖然不同，但是由于中間質(zhì)量采用剛體建模，所以采用一組安裝點(diǎn)即可反映中間質(zhì)量的振動(dòng)形態(tài))。隔振器安裝點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可按隔振器編號(hào)順序依次表示為++++，++--，+-+-及+--+(+，-表示方向相反的運(yùn)動(dòng)形態(tài))。根據(jù)圖3所顯示振型，可將耦合結(jié)構(gòu)中各子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)形式列于表4中。

從圖3和表4可以看出，雙層隔振結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)彈性板的振型服從特定的耦合對(duì)應(yīng)關(guān)系。如隔振器上端的運(yùn)動(dòng)形式為++--，則其下端只能以++--或--++的形式運(yùn)動(dòng)；并且由于隔振結(jié)構(gòu)上下層質(zhì)量采用剛體理論建模，所以不會(huì)出現(xiàn)對(duì)角線對(duì)稱(chēng)模態(tài)，即耦合結(jié)構(gòu)不會(huì)出現(xiàn)+-+-的振動(dòng)形態(tài)。此外，耦合結(jié)構(gòu)前6階模態(tài)的振型以雙層隔振結(jié)構(gòu)的振動(dòng)為主，從第7階模態(tài)開(kāi)始耦合結(jié)構(gòu)的振型主要體現(xiàn)為基礎(chǔ)彈性板的振動(dòng)。與單純邊界支撐的彈性板不同，下層隔振器的約束使基礎(chǔ)彈性板的振動(dòng)模態(tài)形狀發(fā)生了變化，即耦合結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)純板低階振動(dòng)模態(tài)的重復(fù)，而且某些純板模態(tài)不會(huì)出現(xiàn)。

圖3 耦合結(jié)構(gòu)模態(tài)振型(1～10階)Fig.3 The first 10 modal shapes of the coupling structure

2.2 耦合結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)彈性板聲輻射模態(tài)

根據(jù)聲輻射模態(tài)理論[9,13]，對(duì)輻射聲阻矩陣R進(jìn)行特征值分解可以得到基礎(chǔ)彈性板的各階聲輻射模態(tài)形狀及對(duì)應(yīng)的輻射效率。其前6階聲輻射模態(tài)輻射效率隨頻率的變化如圖4所示。圖5為彈性板前6階聲輻射模態(tài)形狀。由于聲輻射模態(tài)形狀對(duì)頻率變化不敏感，此處以100 Hz激勵(lì)時(shí)基礎(chǔ)彈性板的聲輻射模態(tài)形狀代表耦合結(jié)構(gòu)在考慮頻段范圍內(nèi)的聲輻射模態(tài)形狀。

圖4 基礎(chǔ)彈性板前6階聲輻射模態(tài)的輻射效率曲線Fig.4 Radiation efficiencies of the first 6 radiation modes

圖5 100 Hz激勵(lì)時(shí)基礎(chǔ)彈性板前6階輻射聲輻射模態(tài)形狀Fig.5 The first 6 radiation modal shapes when exciting frequency is 100 Hz

根據(jù)對(duì)式(15)的分析可以推斷，當(dāng)板以特定的振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)時(shí)，其與聲輻射模態(tài)形狀的耦合情況很大程度上影響了輻射聲功率的幅值。如聲輻射模態(tài)形狀與振動(dòng)模態(tài)形狀正交則會(huì)導(dǎo)致輻射聲功率為0。繼續(xù)以下層隔振器基礎(chǔ)安裝點(diǎn)作為參考量，結(jié)合圖3、表4及圖5可以得到耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)彈性板的輻射聲模態(tài)之間的耦合對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表5所示。

表5 下層隔振器基礎(chǔ)安裝點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)與聲輻射模態(tài)

Tab.5 Correspondence between vibration modes and sound radiation modes through motion styles of lower isolator locations on base plate

下層隔振器基礎(chǔ)安裝點(diǎn)振動(dòng)形態(tài)對(duì)應(yīng)耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)板聲輻射模態(tài)++++1，4，7，101，5，6-++-2，6，82--++3，5，93+-+-無(wú)此振型4

從表5中可以看出，由于隔振器的約束，耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)彈性板的聲輻射模態(tài)將根據(jù)下層隔振器安裝位置的振動(dòng)情況有選擇地相互耦合，如耦合結(jié)構(gòu)的1,4,7,10階模態(tài)振動(dòng)以基礎(chǔ)彈性板的第1,5,6階聲輻射模態(tài)向外輻射噪聲，而2,6,8階振動(dòng)模態(tài)則對(duì)應(yīng)著第2階聲輻射模態(tài)，第3,5,9階振動(dòng)模態(tài)則對(duì)應(yīng)著第3階聲輻射模態(tài)。

3 耦合結(jié)構(gòu)的輻射聲功率

考慮激勵(lì)力作用于上層質(zhì)量(0.1,0.1)處時(shí)基礎(chǔ)彈性板各階聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)的輻射聲功率及總的輻射聲功率，計(jì)算結(jié)果曲線如圖6所示。

圖6 基礎(chǔ)彈性板前6階輻射聲模態(tài)及總的輻射聲功率曲線Fig.6 Sound radiation power curves of the first 6 individual radiation modes and the total sound radiation power

從圖6中可以看出，在200 Hz頻率范圍內(nèi)，基礎(chǔ)彈性板第1，5，6階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線中的前3個(gè)峰值分別對(duì)應(yīng)著耦合結(jié)構(gòu)的第1，4和第7階振動(dòng)模態(tài)，最后一個(gè)峰值對(duì)應(yīng)著耦合結(jié)構(gòu)的第10階振動(dòng)模態(tài)。這和表5中顯示的振動(dòng)模態(tài)和聲輻射模態(tài)的耦合關(guān)系一致。同樣，第2，3階聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)的聲功率曲線也呈現(xiàn)出與表5一致的特征。

第4階聲輻射模態(tài)的輻射聲功率幾乎為零，這是由于這階聲輻射模態(tài)的形狀與對(duì)邊相同臨邊相反的振動(dòng)形態(tài)耦合。如表5所示，耦合結(jié)構(gòu)的振型中不會(huì)產(chǎn)生這種對(duì)角相同臨邊相反的振速分布，故此階聲輻射模態(tài)對(duì)耦合結(jié)構(gòu)總的輻射聲功率沒(méi)有貢獻(xiàn)。

圖6顯示，總的輻射聲功率曲線在0～100 Hz的頻率范圍內(nèi)基本上與第1階聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)的輻射聲功率曲線重合，然后沿第2階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線上行，但同時(shí)受到第3階聲輻射模態(tài)的影響，最后又回到第1階聲輻射模態(tài)輻射聲功率曲線。這是因?yàn)樵?～100 Hz的頻率范圍內(nèi)耦合結(jié)構(gòu)主要由前7階振動(dòng)模態(tài)主導(dǎo)(見(jiàn)表3)，不同振動(dòng)模態(tài)又有選擇的與1～6階聲輻射模態(tài)耦合(見(jiàn)表5)。由圖4可知，第1階聲輻射模態(tài)的輻射效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他各階聲輻射模態(tài)，受此影響在較低的頻率范圍內(nèi)總的輻射聲功率以第1階聲輻射模態(tài)的貢獻(xiàn)為主。隨著頻率的升高，振動(dòng)與聲輻射模態(tài)對(duì)應(yīng)的選擇性逐漸顯現(xiàn)。隔振結(jié)構(gòu)第8，9階振動(dòng)模態(tài)分別只與第2，3階聲輻射模態(tài)耦合，所以總的輻射聲功率曲線在結(jié)構(gòu)第8階振動(dòng)模態(tài)頻率附近主要以第2階聲輻射模態(tài)貢獻(xiàn)為主，而在結(jié)構(gòu)第9階模態(tài)頻率附近會(huì)受到第3階聲輻射模態(tài)的影響。但到了第10階振動(dòng)模態(tài)頻率附近，第1階聲輻射模態(tài)與模態(tài)振型的高度耦合，使總的輻射聲功率曲線又開(kāi)始回到第1階聲輻射模態(tài)的輻射聲功率曲線。

4 耦合結(jié)構(gòu)的能量傳遞關(guān)系

本文在計(jì)算基礎(chǔ)彈性板輻射聲功率的同時(shí)還考慮了隔振系統(tǒng)的能量傳遞情況。圖7為基礎(chǔ)彈性板輻射聲功率、傳遞至基礎(chǔ)的功率及耦合結(jié)構(gòu)總輸入功率隨頻率的變化情況。根據(jù)耦合結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型，可以將所考慮的頻率范圍分為雙層隔振結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制區(qū)(1至6階振動(dòng)模態(tài))和基礎(chǔ)彈性板振動(dòng)控制區(qū)(7階振動(dòng)模態(tài)之后)。

圖7 耦合結(jié)構(gòu)中能量傳遞關(guān)系及輻射聲功率Fig.7 Power flow in the coupling structure and sound radiation

從圖7可以看出，在雙層隔振結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制區(qū)范圍內(nèi)，傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線與耦合結(jié)構(gòu)總的輸入功率流曲線在前3階振動(dòng)模態(tài)頻率范圍內(nèi)基本一致，而在4～6階模態(tài)頻率范圍內(nèi)卻有較大的差別。從表4中不難發(fā)現(xiàn)，耦合結(jié)構(gòu)前3階振動(dòng)模態(tài)中雙層隔振結(jié)構(gòu)的兩個(gè)質(zhì)量與基礎(chǔ)彈性板為同向振動(dòng)，即隔振器的上下兩個(gè)端面沒(méi)有大的相對(duì)位移，因此隔振器的阻尼沒(méi)有耗散太多的振動(dòng)能量。而4～6階振動(dòng)模態(tài)中上層及中間質(zhì)量反向振動(dòng)，上層隔振器受到大的拉伸和壓縮，隔振器阻尼吸收了一部分振動(dòng)能量從而削減了傳遞至基礎(chǔ)彈性板的振動(dòng)功率流，同時(shí)會(huì)降低了基礎(chǔ)板向外的輻射聲功率。

對(duì)比傳遞功率流曲線與輻射聲功率曲線，第2，3，5和第6階振動(dòng)模態(tài)雖然在傳遞功率流中有明顯的峰值，但在輻射聲功率曲線中并沒(méi)有明顯體現(xiàn)。這是因?yàn)檫@幾階振動(dòng)模態(tài)基礎(chǔ)彈性板的振動(dòng)形式為++--和+--+，與基礎(chǔ)彈性板的第2，3階聲輻射模態(tài)耦合(見(jiàn)表5)，而這兩階聲輻射模態(tài)的輻射效率較低(見(jiàn)圖4)，所以在輻射聲功率曲線中沒(méi)有這2階振動(dòng)模態(tài)峰值。

對(duì)于基礎(chǔ)彈性板振動(dòng)控制區(qū)，功率流傳遞及輻射聲功率主要受基礎(chǔ)彈性板振動(dòng)的影響，而受雙層隔振結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響較小，因此傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線與基礎(chǔ)輻射聲功率曲線形狀大致相同。此外，在這個(gè)區(qū)域基礎(chǔ)彈性板的++++，++--和+--+，----(分別對(duì)應(yīng)第7到第10階耦合結(jié)構(gòu)模態(tài))振動(dòng)形態(tài)在輻射聲功率曲線中有明顯峰值。這是因?yàn)殡S著頻率的升高，高階聲輻射模態(tài)的輻射效率逐漸增大。由于這幾階振動(dòng)模態(tài)雙層隔振結(jié)構(gòu)的振幅很小，而激勵(lì)力作用在上層質(zhì)量上，所以總的輸入功率流沒(méi)有明顯對(duì)應(yīng)的峰值。從圖7中還可以看出，在基礎(chǔ)彈性板振動(dòng)控制區(qū)，雙層隔振結(jié)構(gòu)的下層隔振器上下兩端受到壓縮或拉伸，其阻尼能吸收一部分振動(dòng)能量，所以傳到基礎(chǔ)的功率流較總的輸入功率流有較大的衰減。

上述分析表明：相對(duì)于振動(dòng)模態(tài)或者聲輻射模態(tài)，隔振器的振動(dòng)形態(tài)信息可以更加簡(jiǎn)便地反映彈性基礎(chǔ)輻射聲功率的情況，這對(duì)于振動(dòng)主動(dòng)控制傳感及控制策略有一定的指導(dǎo)意義。

5 基礎(chǔ)彈性板邊界條件影響

由于基礎(chǔ)彈性板結(jié)構(gòu)邊界上所有彈性約束的貢獻(xiàn)被包含在基礎(chǔ)板的勢(shì)能表達(dá)式中，各種不同的邊界條件可以通過(guò)設(shè)置約束的彈簧剛度系數(shù)從零到無(wú)窮大范圍內(nèi)的任何數(shù)值來(lái)表示，所以可以方便地考察基礎(chǔ)彈性板的邊界條件對(duì)其聲輻射的影響。

參照?qǐng)D2將y方向扭轉(zhuǎn)彈簧剛度Ky設(shè)定為0，將剪切彈簧剛度ky分別設(shè)為5×105,1×106及1×1011(與Ky值組合對(duì)應(yīng)著簡(jiǎn)支邊界條件)，可以得到三組不同邊界條件下的基礎(chǔ)輻射聲功率、聲功率與傳遞功率流的比值曲線如圖8所示。從圖中可以看出，隨著剪切彈簧剛度的降低，耦合結(jié)構(gòu)的固有頻率降低，并且這種固有頻率的偏移在基礎(chǔ)彈性板振動(dòng)控制區(qū)域更加明顯。結(jié)合圖8(b)可以看出隨著剪切彈簧剛度的降低，輻射聲功率幅值呈升高趨勢(shì)，振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化成聲輻射能量的比例增大。

類(lèi)似地將y方向剪切彈簧剛度ky值設(shè)為1×1011，將扭轉(zhuǎn)彈簧剛度Ky分別設(shè)為0(與ky值組合對(duì)應(yīng)著簡(jiǎn)支邊界條件)、1×105及1×1011(與ky值組合對(duì)應(yīng)著固支邊界條件)，得到的基礎(chǔ)板輻射聲功率、聲功率與傳遞功率流比值如圖9所示。與圖8相似，隨著邊界上扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的降低，共振峰頻率變小，共振峰幅值升高。

圖8 y方向剪切彈簧剛度的影響Fig.8 Effects of ky

圖9 y方向扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的影響Fig.9 Effects of Ky

由式(13)可知，輻射聲功率是由受邊界條件影響的速度分布向量與不受邊界條件影響的聲輻射阻抗矩陣決定，而改變邊界上的剛度在一定程度上改變了彈性基礎(chǔ)板振動(dòng)響應(yīng)的速度分布。同時(shí)式(15)表明，輻射聲功率的幅值與振動(dòng)模態(tài)及表面振速的耦合程度有關(guān)，即聲輻射模態(tài)與振動(dòng)模態(tài)形狀的耦合程度決定了輻射聲功率的幅值?？疾靾D5可知，聲輻射模態(tài)形狀與邊界約束較小時(shí)的振動(dòng)模態(tài)很相近，即其與邊界剛度較小時(shí)振動(dòng)模態(tài)的耦合度更高。所以當(dāng)弱邊界約束的彈性板振動(dòng)時(shí)，其輻射聲功率占輸入功率的比值會(huì)比強(qiáng)邊界約束時(shí)大。

6 結(jié) 論

本文對(duì)雙層隔振-彈性基礎(chǔ)的耦合結(jié)構(gòu)采用能量法建模，計(jì)算了任意邊界基礎(chǔ)彈性板向半無(wú)限空間的聲輻射情況。結(jié)合隔振器安裝點(diǎn)的振動(dòng)情況建立了耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)輻射聲模態(tài)之間的聯(lián)系。結(jié)果表明隔振器在基礎(chǔ)安裝點(diǎn)的振動(dòng)形態(tài)信息可以更加方便地反映輻射聲功率的情況。

雙層隔振結(jié)構(gòu)對(duì)于基礎(chǔ)彈性板聲輻射的影響表現(xiàn)為：1)隔振結(jié)構(gòu)的存在不僅使基礎(chǔ)彈性板受到與隔振器相同數(shù)目的激勵(lì)，同時(shí)也是對(duì)基礎(chǔ)彈性板的約束，這使耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)與基礎(chǔ)彈性板的聲輻射模態(tài)有選擇地耦合；2)在雙層隔振結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制區(qū)，傳遞至基礎(chǔ)的振動(dòng)能量由隔振結(jié)構(gòu)的振動(dòng)決定，耦合結(jié)構(gòu)振動(dòng)形態(tài)與聲輻射模態(tài)的耦合程度關(guān)系到彈性基礎(chǔ)的聲輻射能量；3)對(duì)于基礎(chǔ)振動(dòng)控制區(qū)，聲輻射能量及傳遞功率流均由基礎(chǔ)板的振動(dòng)響應(yīng)決定。

隔振結(jié)構(gòu)對(duì)基礎(chǔ)彈性板的約束及其在低頻段的主導(dǎo)作用，使與其耦合的基礎(chǔ)彈性板呈現(xiàn)出不同于單獨(dú)平板的振動(dòng)形態(tài)。并且有別于單獨(dú)平板振動(dòng)模態(tài)從低階向高階的形狀變化，耦合結(jié)構(gòu)中的基礎(chǔ)板振動(dòng)形態(tài)會(huì)出現(xiàn)純板低階模態(tài)的幾次重復(fù)。此外，某些單獨(dú)平板的振動(dòng)模態(tài)有可能不會(huì)在耦合結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)板振動(dòng)中出現(xiàn)。

通過(guò)改變基礎(chǔ)彈性板的邊界條件，計(jì)算了基礎(chǔ)彈性板輻射聲功率、聲功率與傳遞功率比值的變化。結(jié)果表明：邊界剛度的降低使系統(tǒng)共振頻率下降，并且這種下降趨勢(shì)在基礎(chǔ)板振動(dòng)控制區(qū)表現(xiàn)得更加明顯，而輻射聲功率的幅值隨著邊界剛度的降低而升高。

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Vibration and sound radiation from a flexible base excited by a complex vibration isolation structure

SUNYao,YANGTie-jun,LIANGWei-long,CHENBing,HUANGDi

(Power and Energy Engineering College, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The mathematical model of a double-stage vibration isolation system mounting on a flexible plate was established from the viewpoint of energy in this paper. The masses of double-stage vibration isolation system were regarded as rigid bodies whereas the flexible base plate was described using a modified Fourier series expansion which permits arbitrary boundary conditions. By using Rayleigh-Ritz method, the forced responses of the coupled structure could be obtained and the sound radiation power from the base plate could be evaluated employing Rayleigh integral. Furthermore, the coupling between vibration modes of the coupling structure and sound radiation modes of the plate was discussed. In addition, the influence of boundary conditions upon sound radiation was analyzed.

double-stage vibration isolation; flexible base; coupling structure; sound radiation; boundary condition

2014-12-08；

2015-07-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375103)

O328； TK421.6

A

1004-4523(2015)06-0902-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.007

孫瑤(1987—)，女，博士研究生。電話：(0451)82589199-306;E-mail: sunyao@hrbeu.edu.cn