徐慧東, 文桂林, 伍 新, 張思進,3

(1.太原理工大學(xué)力學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024； 2.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082；3.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院， 湖南 長沙 410082；4.湖南大學(xué)特種裝備先進設(shè)計技術(shù)與仿真教育部重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

三自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的反控制

徐慧東1, 文桂林2,3,4, 伍 新2, 張思進2,3

(1.太原理工大學(xué)力學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024； 2.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082；3.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院， 湖南 長沙 410082；4.湖南大學(xué)特種裝備先進設(shè)計技術(shù)與仿真教育部重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

對一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf交互分岔進行了反控制研究。首先，基于碰撞振動系統(tǒng)建立了六維Poincaré映射，由于六維映射相應(yīng)雅克比矩陣的特征值沒有解析的表達(dá)式，這使得由特征值特性描述的傳統(tǒng)臨界分岔準(zhǔn)則在確定控制增益中具有很大的局限性。針對這個局限性，建立了包含特征值分布條件、橫截條件和非共振條件的顯式臨界準(zhǔn)則。所建立的準(zhǔn)則與傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則等價，但并不依賴雅克比矩陣特征值的直接計算。然后，針對碰撞的不連續(xù)特性導(dǎo)致的隱式Poincaré映射在閉環(huán)系統(tǒng)控制設(shè)計中的困難，發(fā)展了一種基于原碰撞系統(tǒng)的線性反饋控制方法。最后，數(shù)值分析給出了在指定的參數(shù)點所設(shè)計的映射Hopf-Hopf交互分岔的環(huán)面解，進一步驗證了理論分析的正確性。

非線性振動； Hopf-Hopf交互分岔； 映射的臨界準(zhǔn)則； 分岔的反控制； 碰撞振動系統(tǒng)

引 言

碰撞振動在實際工程領(lǐng)域中普遍存在。由于碰撞振動系統(tǒng)的不連續(xù)性，使其能夠展示出豐富且復(fù)雜的動力學(xué)行為。許多研究者對碰撞系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象作了深入而廣泛的研究。Shaw和Holmes[1]用中心流形理論分析了一類單側(cè)約束簡諧激力下單自由度振子周期運動的局部分岔，并通過同宿相截條件討論了混沌運動；文獻(xiàn)[2-3]系統(tǒng)研究了碰撞振動系統(tǒng)在非共振和強共振下的Hopf分岔；文獻(xiàn)[4-5]研究了兩自由度碰撞系統(tǒng)相應(yīng)Jacobi矩陣有兩個-1特征值時的余維二分岔；文獻(xiàn)[6]研究了高維映射的Hopf-flip分岔并將理論結(jié)果應(yīng)用于一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)中；文獻(xiàn)[7-8]研究了一類碰撞振動系統(tǒng)的Hopf-Hopf分岔和不變環(huán)面的存在性。文獻(xiàn)[9]研究了一類具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)對稱周期n-2運動的音叉分岔、Hopf分岔和Hopf-Hopf分岔。大多數(shù)碰撞振動問題的共同特點是碰撞振動系統(tǒng)的維數(shù)高，動力響應(yīng)復(fù)雜。為達(dá)到預(yù)期的工作目的，取得優(yōu)化的工作效果，大量工程實際問題迫切需要人們對碰撞振動系統(tǒng)的動態(tài)行為有更深入、更全面的認(rèn)識。

Hopf-Hopf交互分岔作為一種典型的環(huán)面分岔現(xiàn)象，其特征值分布條件的特點是在兩參數(shù)的臨界分岔點要求有兩對復(fù)共軛特征值同時位于單位圓周上，這使得此類環(huán)面分岔現(xiàn)象具有更加復(fù)雜而豐富的動力學(xué)行為。Hopf-Hopf交互分岔反控制是在指定的參數(shù)位置通過控制使系統(tǒng)生成具有所期望分岔特性的Hopf-Hopf交互分岔解。在實施分岔的反控制時，需要按分岔的臨界準(zhǔn)則反求出控制增益參數(shù)進而通過調(diào)控增益參數(shù)來生成所期望的分岔解。值得注意的是，傳統(tǒng)的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則是以特征值的特性來描述的，而高維系統(tǒng)的特征值一般又無法解析表示。由此，以往Hopf-Hopf交互分岔的研究通常是通過參數(shù)逐點取值的數(shù)值方法去試算Jacobi矩陣的特征值及其特性是否滿足分岔臨界準(zhǔn)則，這使得傳統(tǒng)的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則在主動控制分析中具有很大局限性。所以，針對這個局限性很有必要建立一種不依賴于特征值計算的新的Hopf-Hopf交互分岔臨界準(zhǔn)則。

本文基于一類三自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)建立的六維Poincaré映射，建立了相應(yīng)映射與傳統(tǒng)Hopf-Hopf交互分岔等價的顯式臨界準(zhǔn)則。所建立的準(zhǔn)則是由雅克比矩陣的元素組成的一些不等式和等式構(gòu)成的顯式條件，并不依賴于雅克比矩陣特征值的計算，這克服了傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則在高維系統(tǒng)中對Hopf-Hopf交互分岔進行主動控制存在的局限性。此外，如果直接對Poincaré映射施加控制，由于碰撞的不連續(xù)特性導(dǎo)致的隱式Poincare映射的特點使得很難反求出原系統(tǒng)相應(yīng)的控制參數(shù)，這給閉環(huán)系統(tǒng)控制設(shè)計中帶來很大的困難，針對這個困難，發(fā)展了一種基于原碰撞微分系統(tǒng)的線性反饋控制方法。最后，基于建立的顯式臨界準(zhǔn)則，使用線性反饋控制方法在指定的參數(shù)點實現(xiàn)了所設(shè)計的映射Hopf-Hopf交互分岔的環(huán)面解。

1 含間隙碰撞振動系統(tǒng)的周期運動及Poincaré映射

圖1是一個含間隙的三自由度振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。質(zhì)量為M1,M2,M3的質(zhì)塊分別由剛度為K1,K2,K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1,C2,C3的線性阻尼器聯(lián)接于支承，每個質(zhì)塊受簡諧激振力Pisin(ΩT+τ)只作水平方向的運動(i=1,2,3)。當(dāng)質(zhì)塊M2的振幅較小而未與剛性約束A(或C)接觸時，系統(tǒng)作簡單的線性振動。當(dāng)M2的振幅增加到與剛性約束A(或C)發(fā)生接觸碰撞時，系統(tǒng)作非線性的碰撞振動。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1 三自由度含間隙振動系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 The model of three-degree-of-freedom vibratory system with clearances

這里直接給出無量綱變換后系統(tǒng)的動力學(xué)方程。未碰撞階段，系統(tǒng)的運動微分方程為[10]

(1)

碰撞時刻,質(zhì)塊m2的沖擊方程為

在方程(1)和(2)中，“．”表示對無量綱時間t求導(dǎo)數(shù)。

令Ψ表示方程(1)的正則模態(tài)矩陣，ω1，ω2和ω3表示無碰撞情況下振動系統(tǒng)的固有頻率。通過模態(tài)疊加法可得到方程(1)的通解如下(i=1,2,3)

(4)

(5)

設(shè)定系統(tǒng)一周期運動的條件如下：

(8)

2 反控制碰撞振動系統(tǒng)Poincaré映射的Hopf-Hopf交互分岔

2.1 受控系統(tǒng)及其Poincaré映射

對系統(tǒng)(1)和(2)加線性反饋后的控制系統(tǒng)為

通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可以得到方程(9)的解為

(11)

(12)

(13)

Xk+1=F(μ,ε,Xk)

(14)

2.2Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的顯式臨界準(zhǔn)則

首先給出傳統(tǒng)的映射Hopf-Hopf交互分岔的臨界準(zhǔn)則如下：

(C1) 特征值分布

(C2) 橫截條件

；i=1,2)

這里，分岔參數(shù)μ=(μ1,μ2)∈R2。

(C3) 非共振條件

；m=3,4,…)

那么，映射(14)在分岔點μ=μ0處會發(fā)生非共振的Hopf-Hopf交互分岔。

定義雅克比矩陣DXF(X*,μ;ε)的特征多項式為

(15)

這里ai=ai(μ,ε)是與分岔參數(shù)μ和控制參數(shù)ε有關(guān)的實數(shù)，i=1,…，6。

基于特征多項式(15)的系數(shù)，給出Hopf-Hopf交互分岔顯式臨界準(zhǔn)則如下：

命題1：如果映射(14)的雅克比矩陣DXF(X*,μ;ε)的特征多項式(15)在分岔點μ=μ0處滿足下面的條件：

(H1) 特征值分布

1+a6>0

(16a)

1-a6>0

(16b)

(16c)

(16d)

1+a1+a2+a3+a4+a5+a6>0

(16e)

1-a1+a2-a3+a4-a5+a6>0

(16f)

(16g)

(16h)

(16i)

(16j)

(H2) 橫截條件

(17)

這里，Δ(μ)=

(H3) 非共振條件

cos(2π/m),m=3,4,…

(18)

(Q-1-Q1)2-32(Q-1+Q1)+256≥0

那么，映射(14)在分岔點μ=μ0處會發(fā)生非共振的Hopf-Hopf交互分岔。

證明：(i)條件(H1)與條件(C1)的等價性

在證明條件(H1)與條件(C1)的等價性時會用到下面的準(zhǔn)則1。設(shè)一個四次多項式方程為

P(λ)=λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0

(19)

準(zhǔn)則1：對于四次多項式方程(19)，有兩對不同的復(fù)共軛特征根同時位于單位圓上當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：

(a) 由條件(H1)推導(dǎo)出條件(C1)

首先將多項式(15)分解為一個四次多項式和一個二次多項式的乘積

(20)

將多項式(20)展開并與多項式(15)作系數(shù)對比有

(21)

然后利用maple軟件由條件(H1)中的(16i)和(16j)可以推導(dǎo)出b4-1=0和b1-b3=0兩個條件。將b4=1和b3=b1代入表達(dá)式(21)中并將簡化結(jié)果a6=c2代入條件(H1)中的(16a)和(16b)可得|c2|<1，再將簡化結(jié)果a1=b1+c1，a5=c1+b1c2，a6=c2代入(H1)中的(16c)和(16d)有

(22)

再將特征值λ=1代入多項式(15)和(20)有

(23)

同樣將λ=-1代入多項式(15)和(20)有

(24)

基于等式(23)和(24)，由條件(H1)中的(16e)和(16f)并利用推導(dǎo)出的不等式1+c1+c2>0和1-c1+c2>0，容易得到1+b1+b2+b3+b4>0和1-b1+b2-b3+b4>0這兩個條件。

(b) 由條件(C1)推導(dǎo)出條件(H1)

(ii) 條件(H2)與條件(C2)的等價性

事實上,在(H2)中的表達(dá)式[13]

(25)

式中λi和λj是多項式(15)的根。

對表達(dá)式(25)關(guān)于參數(shù)μi求一次偏導(dǎo)數(shù)有

(26)

再對表達(dá)式(26)關(guān)于μi求一次偏導(dǎo)數(shù)，可得表達(dá)式(25)關(guān)于參數(shù)μi的二次偏導(dǎo)數(shù)如下

(27)

這里 (·)″表示(·)關(guān)于μi的二次偏導(dǎo)數(shù)。

(28)

將表達(dá)式(28)代入式(27)有

(29)

(30)

(iii) 條件(H3)與條件(C3)的等價性

(31)

將λ=1和λ=-1代入多項式(31)，可得到下面兩個方程

(33)

式(33)中還應(yīng)該保證(Q-1-Q1)2-32(Q-1+Q1)+256≥0。下面來推導(dǎo)Q1和Q-1的表達(dá)式。由式(21)簡化后的3個表達(dá)式a1=b1+c1，a5=c1+b1c2和a6=c2可以解得

(34)

(35)

從命題1中的條件(H1)～(H3)可以看出所建立的準(zhǔn)則不依賴雅克比矩陣特征值的計算。在下一節(jié)將通過數(shù)值算例來驗證此準(zhǔn)則的有效性。

2.3 數(shù)值實驗

選取系統(tǒng)的一組參數(shù)m2=1.5,m3=1,k2=1,k3=1,f10=0,f20=1,f30=0,δ=0.6,R=0.75，以γ和ω為分岔參數(shù)(即,μ=(γ,ω)Τ)。在指定的分岔參數(shù)點μ=μ0=(0.004 3,0.45)Τ處，原系統(tǒng)處于穩(wěn)定的擬周期運動(對應(yīng)Poincaré映射上的不變?nèi)?，如圖2所示。

圖2 Poincaré映射上的不變?nèi)ig.2 The invariant circle on the Poincaré map

圖3 控制參數(shù)分岔圖Fig.3 Control parameter bifurcation diagram

圖3中由綠色的細(xì)曲線AB，黃色的曲線BC和綠色的粗曲線CD圍成的空白區(qū)域內(nèi)，(H1)中所有的不等式(16a)～(16h)都成立，而在灰色區(qū)域內(nèi)至少有(H1)中的一個不等式失敗。紅色曲線m和藍(lán)色曲線n分別由(H1)中的等式(16j)和(16i)得到。兩曲線m和n的兩個交點為P1和P2。其中P2點雖然滿足等式(16j)和(16i)，但因為此點在灰色區(qū)域內(nèi)并不能保證其他的特征值都位于單位圓內(nèi)，所以可以確定P1點是合理的控制參數(shù)分岔點。此外，青色的曲線l是一條共振曲線，此曲線離分岔點P1比較近，在選取控制參數(shù)時應(yīng)該避開此共振曲線。

在指定的臨界分岔點μ=μ0處，通過在控制參數(shù)分岔點P1附近選取控制增益v1=0.3和v2=-0.175獲得了Poincaré映射上的Hopf-Hopf交互分岔環(huán)面解，如圖4所示。

圖4 在指定的分岔點μ0=(0.004 3,0.45)T處通過控制增益v1=0.3和v2=-0.175得到的Poincaré映射上的Hopf-Hopf交互分岔環(huán)面解Fig.4 A torus solution of the created Hopf-Hopf interaction bifurcation on the Poincaré map at μ0=(0.004 3,0.45)T under the control gains v1=0.3 and v2=-0.175

3 結(jié) 論

(1)建立了一類高維映射包括特征值分布、橫截條件和非共振條件的Hopf-Hopf交互分岔的顯式臨界準(zhǔn)則。此準(zhǔn)則是由雅克比矩陣相應(yīng)的特征多項式的系數(shù)表示的一系列等式和不等式組成，不需要直接計算雅克比矩陣的特征值。

(2)在不改變原系統(tǒng)周期運動特性的情況下，發(fā)展了一種基于原碰撞微分系統(tǒng)的線性反饋控制方法。

(3)在通過調(diào)節(jié)控制增益來反控制此類含間隙振動系統(tǒng)映射Hopf-Hopf交互分岔的過程中，相比較傳統(tǒng)的映射Hopf-Hopf交互分岔，此準(zhǔn)則更加的有效和方便。

(4)基于所建立的準(zhǔn)則在指定的參數(shù)點實現(xiàn)了三自由度含間隙振動系統(tǒng)Poincaré映射Hopf-Hopf交互分岔的反控制。

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Anti-controlling Hopf-Hopf interaction bifurcations on Poincaré map of a three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance

XUHui-dong1,WENGui-lin2,3,4,WUXin2,ZHANGSi-jin2,3

(1. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China; 3. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China; 4. Key Laboratory of Advanced Design and Simulation for Special Equipment, Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China)

Anti-controlling Hopf-Hopf interaction bifurcation on Poincaré map in a three-degree-of-freedom vibratory system with clearance is addressed in this paper. Firstly, a six-dimensional Poincaré map of the vibro-impact system is established. As the analytical expressions of all eigenvalues of Jacobi matrix for six-dimensional map are unavailable, the classical critical criteria of Hopf-Hopf interaction bifurcation described by the properties of eigenvalues have a great limitation in obtaining control gains. Aiming at the limitation, a new bifurcation criterion including eigenvalue assignment, transversality condition and non-resonance condition is established. The established criteria are equivalent to the classical critical criteria, but they do not depend on eigenvalue computations of Jacobi matrix. Then, for the difficulty of implicit Poincaré map created by discontinuity of vibro-impact motions in anti-control design of bifurcation of the close-loop system, a linear feedback control method is developed. Finally, numerical simulation shows that a torus solution of Hopf-Hopf interaction bifurcation on Poincaré map is created in a desired parameter location and verifies theoretical analysis.

nonlinear vibration; Hopf-Hopf interaction bifurcation; critical criteria of map; anti-controlling bifurcation; vibro-impact system

2013-12-13；

2014-10-14

國家杰出青年科學(xué)基金資助項目(11225212)；國家自然科學(xué)基金資助項目(11002052，11372101)

O322; TH113

A

1004-4523(2015)06-0952-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.013

徐慧東(1978—)，男，博士，講師。電話：(0731)88821482;E-mail:xhd0931@126.com

文桂林(1970—), 男，教授。電話：(0731)88821482; E-mail: glwen@hnu.edu.cn