錢科鋒, 朱留方, 臧德福, 沈永進, 沈建國, 張付明, 沈洪楚

(1.天津大學電子信息工程學院, 天津 300072; 2.中石化勝利石油工程有限公司測井公司, 山東 東營 257096)

0 引 言

用Doll幾何因子可以獲得與地層電導率直接相關的二次場響應波形[1-2]。以此為基礎,可以對精確解和裸眼井響應中的二次場特征進行分析。精確解所獲得的響應包含一次場和二次場。對于瞬變電磁測井,由于其激發(fā)頻譜幅度比較大的區(qū)域頻率很低(1 Hz左右),由電磁感應所獲得的二次場幅度較一次場小幾個數(shù)量級。只能用不同地層電導率的響應差波形分析二次場。因為一次場響應與地層電導率無關[3-4],所以在響應差中一次場被去掉,僅僅剩下與地層電導率直接相關的二次場。

對裸眼井,用實軸積分方法可以獲得裸眼井的瞬變電磁測井響應,該響應也包含一次場和二次場,同樣,用不同地層電導率的響應差也可以獲得二次場的響應波形。另外,用不同半徑的響應差還可以獲得徑向上不同半徑地層對響應的貢獻,該貢獻只包含二次場,與Doll幾何因子所描述的二次場相似。因此,用這種方法獲得徑向幾何因子,并稱其為井條件下的徑向幾何因子。該幾何因子直接從實軸積分法的響應中獲得,考慮了井的影響,較Doll幾何因子考慮的因素多,是瞬變電磁測井理論的重要結果之一,可以用于徑向不同深度地層電阻率陣列測量探頭結構以及測量系列的設計,也可用于瞬變電磁測井資料的評價。

1 精確解與Doll幾何因子的響應

取地層的電導率為10 S/m,相對磁導率為1,源距為2 m,分別用Doll幾何因子和精確解的計算公式計算瞬變電磁測井響應。將上述精確解的響應(實線)和Doll幾何因子完全解(包含直接耦合場和二次場)的響應(虛線)繪制在一起得到圖1,兩者完全重合。圖1中(a)、(b)的差異:(a)圖計算時選擇的頻率區(qū)間從0開始計算到100 Hz,用到的頻率區(qū)域比較長,高頻成分比較多,響應的峰值接近0.015 V,響應的峰比較尖銳;(b)圖計算時選擇的頻率區(qū)間從0開始計算到50 Hz,所用到的頻率區(qū)域比較短,高頻成分少,響應的峰比較粗(具體的頻率范圍需要根據實驗波形確定)。這些現(xiàn)象說明,在以低頻為主的瞬變激發(fā)響應中,當?shù)貙与妼蕿?0 S/m,源距為2 m時,精確解與Doll幾何因子完全解均能夠對無限大均勻介質的瞬變電磁測井響應進行描述,兩者的響應形狀完全重合。

圖2 精確解與Doll幾何因子完全解二次場對比

同樣,將電導率分別為10 S/m與1 S/m的不同地層電導率的精確解的響應相減得到的響應差(實線)和Doll幾何因子完全解的響應相減所得到的響應差(虛線)繪制在一起進行比較得到圖2(a),兩者也基本重合,Doll幾何因子所得到的響應差幅度稍大。該結果說明,用精確解和Doll幾何因子完全響應,通過響應相減的方法獲得的二次場也是一樣的。該二次場與直接用Doll幾何因子計算的二次場[見圖2(b)]一致,兩者均描述了瞬變電磁響應中與地層電導率有關的響應?？梢酝ㄟ^該二次場的測量獲得地層的電導率。

精確解和Doll幾何因子完全解都是低頻近似情況下的解,均不涉及介質的介電常數(shù)。在磁導率為常數(shù)時,其響應主要受介質的電導率和源距影響。其中介質的電導率越大,對解的影響越明顯。同樣,源距越大,影響也越明顯。圖3給出了源距為2 m,電導率分別為10、1 000、3 000 S/m和6 000 S/m時的響應,圖3中不同電導率的波形幅度和相位的差別明顯。圖4是電導率為10 S/m,源距分別為2、20、30 m和40 m時的響應,對其進行了歸一化處理,即將響應的幾何影響因素(Doll幾何因子的響應表達式中有一個因子L3于分母中,該響應乘以了L3)去掉,圖4中波形幅度的差異主要是物理衰減造成的,隨著源距的增加,波形的到達時間向后移動。

在上述響應中,用Doll幾何因子和精確解得到的響應(見圖1)完全重合。但是,由于幾何因子沒有考慮單個圓環(huán)之間的相互作用,與精確解會有一定的差別。這些差別在電導率比較大或者源距比較大時表現(xiàn)比較突出。圖5是源距不同時2種解的差異。圖5(a)是源距為20 m時響應的對比,圖5(b)圖是其地層電導率分別為1、10 S/m時響應差的對比,差別很明顯。圖6(a)是源距為2 m,電導率分別為1、1 000 S/m時響應的對比,圖6(b)是響應差的對比,差異也很明顯。

圖3 地層電導率為10(實線)、1 000(長虛線)、3 000(點劃線)和6 000(虛線)S/m,源距為2 m時精確解的響應

圖4 地層電導率為10 S/m,源距分別為2(實線)、20(長虛線)、30(點劃線)和40 m(虛線)時精確解的響應

圖5 源距不同時2種解的差異

圖6 響應對比和響應差對比圖

綜上,對于長源距和高電導率地層,幾何因子與精確解的差很明顯。但是,對于地球物理測井,源距比較短(小于2 m),地層的電導率比較低(小于2 S/m),精確解和Doll幾何因子的差別比較小。

精確解和Doll幾何因子的差異在電導率比較小時不明顯,但是當?shù)貙与妼时容^大時,差異明顯。圖7是地層電導率分別為10、100 S/m和1 000 S/m時的響應與地層電導率為1 S/m的響應差除以電導率的差值以后的對比圖。從圖7上可以看出,電導率為10 S/m時的響應差除以9以后(實線)與Doll幾何因子計算的二次場(虛線)很接近,但是,地層電導率為100 S/m時計算的響應與1 S/m計算的響應差除以99以后(點劃線)與虛線差異明顯;當?shù)貙与妼蕿? 000 S/m時計算的響應與1 S/m的響應差除以999以后(長虛線)的曲線與虛線相差比較大。

圖7 地層電導率為1 000(長虛線)、100(點劃線)、10(實線)S/m的精確解響應與電導率為1 S/m時的精確解響應的差與Doll幾何因子對應的響應差(虛線)的對比(L=2 m)

源距增加時,用Doll幾何因子計算的不同源距的響應差(均為虛線)與精確解計算的響應差點劃線(L=2 m)、 長虛線(L=4 m)和實線(L=6 m)與對應源距的Doll幾何因子計算的響應差虛線相差比較大(見圖8)。

對于電阻率測井,由于源距比較短,電導率比較低。因此,Doll幾何因子與精確解的差別不明顯,在一階近似的情況下,能夠保證處理的精度。

但是,嚴格解和Doll幾何因子均沒有涉及到井的影響,沒有包含不同電導率和介電常數(shù)的圓柱形介質界面的影響。

圖8 地層電導率為10 S/m的精確解響應與電導率為1 S/m時的精確解響應的差與Doll幾何因子對應源距的響應差(均為虛線)的對比,源距L分別為2 m(點劃線)、4 m(長虛線)和6 m(實線)

2 實軸積分方法與精確解

為了求裸眼井條件下瞬變電磁測井的二次場,從無限大均勻介質的嚴格解出發(fā),借助于索末菲積分表達式

(1)

(2)

式中,θ是圓柱坐標圓周方向。從式(2)可以看出,無限大均勻介質的精確解可以表示成z方向的傳播函數(shù)eikzz和r方向的傳播函數(shù)K1(lr)的積分。kz是積分變量,在徑向多層介質,用相同的積分變量kz,用徑向傳播函數(shù)滿足微分方程和邊界條件,便可以實現(xiàn)徑向多層介質瞬變電磁響應的計算。例如,線圈半徑為a、圈數(shù)為nk的接收線圈的感應電動勢Ua為

Ua=2πankEθ(a,0,L)=-iωμ2πankAθ(a,0,L)

(3)

式中,i是虛數(shù)單位。

圖9是地層電導率為2 S/m(井內液體與地層取相同的參數(shù)值)時的響應,無限大均勻介質的響應式是實線,裸眼井條件下計算的響應是虛線,兩者基本上完全重合。(a)圖是源距分別為0.1、0.2、0.3 m時響應波形的對比,(b)圖是源距分別為0.5、0.6、0.7 m時響應波形的對比。

圖9 用球面波和裸眼井積分計算的響應(實線是用球面波計算的,虛線是用積分計算的,地層電導率參數(shù)為2 S/m,井半徑為0.108 m)

圖10 用球面波和積分方法計算的無限大均勻介質的響應(虛線)以及2種不同地層電導率(10、2 S/m)的響應差除以電導率的差(實線),源距0.2 m,虛線除了106

對于二次場,直接用式(3)計算得到的波形如圖10所示,其中,虛線是源距為0.2 m處的響應波形,實線是2種不同地層電導率的響應相減以后的結果(二次場),該結果與Doll幾何因子所得到的二次場形狀相同。

3 裸眼井的響應

裸眼井僅有一個圓柱界面,徑向上有2層介質——井內液體和井外固體。需要通過井內的線圈測量井外固體的電導率。建立柱坐標系,設發(fā)射和接收線圈均在井內,井內的瞬變電磁測井響應的勢函數(shù)為

C(kz,ω)I1(lfr)]ei(kzz-ω t)dkzdω

(4)

圖11 實軸積分方法計算出的裸眼井中響應波形

取井內液體的電導率為1 S/m、相對介電常數(shù)為50;地層的電導率為2 S/m、相對介電常數(shù)為5,井內液體和地層的相對磁導率為1。用實軸積分方法計算裸眼井的響應得到圖11。其中圖11(a)是源距分別為0.1、0.2 m時的響應波形;圖11(b)是源距為0.4、0.5 m和0.6 m時的響應波形。從圖11可見,隨著源距的增加,響應波形的幅度快速減小。不同源距的響應波形形狀差別比較小?；蛘哒f,不同源距的響應波形形狀基本相似:在激發(fā)源的突變位置,瞬變電磁測井激發(fā)最強,相應地,測井響應幅度也最大;在其他位置,則響應幅度隨之減小。

改變地層電導率分別為1、0.5 S/m和0.25 S/m得到圖12。其中,虛線是響應波形,實線是地層電導率為1 S/m的響應與地層電導率為2 S/m的響應差;長虛線是地層電導率為0.5 S/m的響應與地層電導率為2 S/m的響應差。點劃線是地層電導率為0.25 S/m的響應與地層電導率為2 S/m的響應差。隨著地層電導率的減小(電阻率增加),響應差(即二次場)的響應幅度增加。在響應(虛線)變化最快的位置,響應差(二次場響應)的幅度最大。圖12(a)圖給出了圖1所示瞬變激發(fā)波形(虛線)的全部響應,圖12(b)是第1張圖的放大,主要刻畫了0到500 ms之間的響應曲線。圖13(c)是單個瞬變激發(fā)(即只有下降沿)時的響應波形,更加深刻地刻畫了瞬變過程的一次場(虛線)和二次場響應波形的形狀,其中,二次場與地層電阻率關系密切。響應差中一次場被去掉,僅僅剩下二次場。由Doll的電磁感應理論推導過程知道,發(fā)射線圈在地層中感應的環(huán)形電動勢(一次場)在地層中產生感應電流,該電流在接收線圈中再次產生感應電動勢(二次場),因此,二次場響應與一次場響應對時間的導數(shù)成正比。

圖12 用實軸積分方法計算的裸眼井無限大均勻介質的響應(虛線)以及地層電導率為1的響應減去地層電導率為2 S/m的響應差(實線)和地層電導率為0.5 S/m的響應減去地層電導率為2 S/m的響應差(長虛線)以及地層電導率為0.25 S/m的響應減去地層電導率為2 S/m的響應差(點劃線),源距為0.1 m

注意:虛線是除了3 000 000以后與其他線繪制在一起。從圖12上可以看出,裸眼井中不同地層電導率的響應相減以后所得到的二次場響應幅度與地層的電導率關系密切,可以用于地層電導率的測量。但是因為瞬變電磁測井的激發(fā)波形的頻率很低,所以,二次場的幅度僅僅為整個響應的106之一,相對于所能夠測量到的波形來講,其幅度非常小(比感應測井小4個數(shù)量級),不能夠像感應測井(20 kHz)那樣設置信號采集和處理方法,應該根據波形的特點設計全新的儀器結構和信號處理方法,或者通過特殊的刻度方法或裝置采集數(shù)據,以此為基礎,對測量的原始數(shù)據進行處理,得到二次場信號。

4 裸眼井的徑向幾何因子

由式(4)知道,在計算裸眼井的響應時可以改變井的半徑,半徑越大,井內液體所占據的空間就越大;由幾何因子的概念知道,井在瞬變電磁測井響應中所占據的部分就越大。以石油工業(yè)上常用的8.5 in*非法定計量單位,1 ft=12 in=0.304 8 m,下同井眼為基礎,逐步增加井半徑,計算瞬變電磁測井響應,并將增加井徑后的裸眼井響應與8.5 in井眼的裸眼井響應相減,去掉直接耦合場(一次場),僅剩下二次場,該二次場主要由8.5 in到所增加的半徑的區(qū)域的地層所組成。如圖13所示,R1是8.5 in井眼的半徑(半徑大約0.108 m)。首先計算其響應φ1,然后半徑開始增加,例如到R2以后,計算井半徑為R2時的響應φ2(井內外的物理參數(shù)不變)。用φ1—φ2將一次場響應去掉,得到一個二次場,該二次場主要刻畫半徑R1和R2之間的圓環(huán)(空間)對二次場響應的貢獻。隨著半徑的增加,φ1—φ2的幅度逐漸增加,取其響應中的極大值,并比較不同源距時響應差φ1—φ2的極大值隨R2的變化規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn),在源距比較短時,φ1—φ2隨半徑R2的增加快速增加,很快趨于常數(shù);在源距比較大時,φ1—φ2的極大值隨R2的變化規(guī)律是,隨著R2的增加,其增加緩慢,在R2達到一定深度以后,快速增加,最后又趨于常數(shù)。

圖13 用實軸積分方法獲得徑向積分幾何因子時的物理模型

由感應測井的Doll幾何因子所獲得的徑向積分幾何因子知道,隨著半徑的增加,徑向積分幾何因子趨于1,不同徑向探測深度的線圈系統(tǒng),其徑向積分幾何因子趨于1的形狀不一樣。在徑向積分幾何因子變化快的半徑區(qū)間內,徑向微分幾何因子往往比較大,該區(qū)域的圓環(huán)(空間圓管)的地層對感應測井響應的貢獻大;當徑向積分幾何因子趨于常數(shù),不隨半徑改變時,相應地,該半徑的徑向微分幾何因子很小,該區(qū)域的圓環(huán)(空間圓管)對感應測井響應的貢獻很小。

圖14 用實軸積分方法獲得的徑向微分幾何因子

基于感應測井Doll幾何因子所獲得徑向積分幾何因子,將φ1—φ2的極大值隨R2的變化規(guī)律歸一化后便得到井條件下的徑向積分幾何因子。用該徑向積分幾何因子便可以獲得相應的徑向微分幾何因子。圖14是用實軸積分方法所獲得的瞬變電磁測井的徑向微分幾何因子,源距從1.004 m到3.804 m(中間等源距增加)。隨著源距的增加,徑向微分幾何因子的極大值向徑向深部移動。

5 結 論

(1) 從精確解與Doll幾何因子的瞬變電磁測井響應差別認識了Doll幾何因子的近似情況:在高電導率地層和長源距響應中誤差比較大。從精確解過渡到裸眼井的響應,并用不同地層電導率的響應相減的方法獲得了瞬變電磁測井的二次場響應形狀,確定了無限大均勻地層的二次場響應特征和裸眼井的二次場響應特征,兩者形狀完全相同,這說明,①在瞬變電磁測井響應中,井邊界的存在對二次場響應影響不大;②在激發(fā)波形的突變位置,一次場響應獲得極值,在極值的兩側一次場響應變化最快的位置,二次場響應分別具有極大值和極小值2個峰值(一正一負),這是二次場是一次場對時間的導數(shù)所致;③2個峰值均與地層的電導率直接相關,是瞬變電磁測井所設計的最佳測量時刻;④二次場響應的峰值與地層的徑向半徑有關,源距不同,二次場響應與半徑的關系不同。

(2) 用這些極值可以獲得瞬變電磁測井的徑向積分幾何因子,該徑向積分幾何因子描述了瞬變電磁測井的徑向探測特征。在源距比較近時,其響應主要由井壁附近的地層電導率所決定,隨著源距的增加,其探測深度逐漸加深,當源距為3 m時,其響應主要由1 m半徑的地層電導率所決定。

(3) 給出的徑向微分幾何因子是近似的,它包含了井眼的影響于幾何因子中,主要用來分析瞬變電磁測井的徑向探測深度,它為設計瞬變電磁陣列接收探頭、獲得不同徑向深度地層電阻率曲線提供了具體的方法。

(4) 瞬變電磁測井的激發(fā)頻率低(波長比較長),與感應測井相比,其探測深度比較深,獲得的近似徑向幾何因子為研究深探測電阻率曲線的測量系統(tǒng)提供了具體的技術。

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