劉 萍，曾葆青，高玉梅

(電子科技大學(xué) a.中山學(xué)院，廣東 中山 528402； b.物理電子學(xué)院,成都 610054)

Maple軟件在阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用

劉 萍a,b，曾葆青a,b，高玉梅a

(電子科技大學(xué) a.中山學(xué)院，廣東 中山 528402； b.物理電子學(xué)院,成都 610054)

文中以阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)作為應(yīng)用舉例，討論了Maple軟件在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用。由阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用Maple軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能，可以在課堂中現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算出阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的位移表達(dá)式；運(yùn)用Maple軟件便捷的輔助畫圖功能，可以非常方便地畫出各種參數(shù)下振動(dòng)位移隨時(shí)間的演化曲線，起到隨堂演示的效果。Maple軟件在教學(xué)中的運(yùn)用，可以提高學(xué)生對(duì)阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)形態(tài)的理性理解和直觀印象，提高教學(xué)質(zhì)量。

大學(xué)物理；阻尼振動(dòng)；受迫振動(dòng)；Maple軟件

物理學(xué)是探討物質(zhì)結(jié)構(gòu)和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的科學(xué)。由于研究對(duì)象非常廣泛，研究方法必須突出主要矛盾，才能極好地鍛煉大學(xué)生的理性思維。大學(xué)物理是理工科低年級(jí)大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程之一。阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)又是大學(xué)物理中基本而重要的教學(xué)內(nèi)容。研究振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程的求解是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，很多教科書中沒(méi)有給出詳細(xì)的求解過(guò)程，而是直接列出了方程的解。在阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的教學(xué)中，我們?cè)诮虝?huì)學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行手算的同時(shí)，也會(huì)教學(xué)生如何用Maple軟件來(lái)計(jì)算，讓學(xué)生的“手算”和“腦算”兩手都要硬。同時(shí)，用計(jì)算機(jī)輔助做出阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的位移時(shí)間演化圖，加深學(xué)生對(duì)這兩種振動(dòng)在各種不同參數(shù)條件下的位移演化的直觀印象。

Maple軟件是通用的數(shù)學(xué)和工程軟件，提供了強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算功能。從簡(jiǎn)單的數(shù)字計(jì)算到高度復(fù)雜的非線性問(wèn)題，Maple都可以快速、高效地解決。它的畫圖功能也非常齊全。Maple軟件以其便捷的人機(jī)交互方式，強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和符號(hào)計(jì)算功能，成為眾多數(shù)學(xué)軟件中的佼佼者[1-2]。

本文分別介紹Maple軟件在阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)教學(xué)中的應(yīng)用。

1 阻尼振動(dòng)

阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為[3-4]

(1)

式中：γ為阻力系數(shù)。

(2)

式中：δ稱為阻尼系數(shù)；ω0為無(wú)阻尼時(shí)振子的固有角頻率。

我們?cè)谡n堂上用Maple軟件演示了此運(yùn)動(dòng)方程的求解。運(yùn)用Maple軟件的符號(hào)計(jì)算功能，可在Maple軟件界面中輸入以下命令“dsolve(diff(x(t),t,t)+2*delta*diff(x(t),t)+omega[0]^2*x(t));”系統(tǒng)反饋計(jì)算結(jié)果是

式中：C1和C2是任意的積分常數(shù)。為了避免出現(xiàn)復(fù)數(shù)，我們根據(jù)δ與ω0的三種大小關(guān)系δ<ω0，δ=ω0，δ>ω0分別運(yùn)算式(2)的結(jié)果。

1.1 準(zhǔn)周期阻尼振動(dòng)：δ<ω0

x=A0e-δtcos(ω1t+φ0)

(4)

運(yùn)用Maple軟件的畫圖功能，可以對(duì)式(4)用如下命令畫出準(zhǔn)周期阻尼振蕩圖形：“plot(dsubs(A[0]=0.2,phi[0]=0,delta=0.2,omega[1]=1,A[0]*exp(-delta*t)*cos(omega[1]*t+phi[0])),t=0.30);”準(zhǔn)周期振動(dòng)的特點(diǎn)是振幅不斷衰減，我們可用軟件畫出體現(xiàn)振幅衰減特性的曲線。從式(4)，學(xué)生可以很理性地了解當(dāng)阻尼系數(shù)較小時(shí)位移的演化趨勢(shì)。而通過(guò)圖形的展示，可以幫助學(xué)生直觀地了解位移的演化曲線。

1.2 臨界阻尼振動(dòng)和過(guò)阻尼振動(dòng)

準(zhǔn)周期阻尼振動(dòng)、臨界阻尼振動(dòng)和過(guò)阻尼振動(dòng)的位移隨時(shí)間的演化圖形如圖1所示。其中，曲線a對(duì)應(yīng)準(zhǔn)周期阻尼振動(dòng)，曲線對(duì)應(yīng)過(guò)阻尼振動(dòng)，曲線c對(duì)應(yīng)臨界阻尼振動(dòng)。

圖1 三種阻尼振動(dòng)圖形

運(yùn)用Maple軟件的符號(hào)計(jì)算功能和畫圖功能，可很方便地得到臨界阻尼振動(dòng)和過(guò)阻尼振動(dòng)的表達(dá)式和演化曲線。為了比較不同δ下的演化曲線，可用display命令將所畫的準(zhǔn)周期振動(dòng)、臨界阻尼振動(dòng)和過(guò)阻尼振動(dòng)的三個(gè)圖形列在一張圖上，如圖1所示。從圖1可知，臨界阻尼振動(dòng)中振子運(yùn)動(dòng)到平衡位置的時(shí)間比過(guò)阻尼中振子運(yùn)動(dòng)到平衡位置的時(shí)間要長(zhǎng)。這三種狀態(tài)的位移演化曲線顯示出，臨界阻尼情況下，振子最先從運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過(guò)渡到靜止?fàn)顟B(tài)。在課堂中，我們一方面從物理學(xué)受力分析的角度，定性分析這種現(xiàn)象；同時(shí)，借助計(jì)算軟件現(xiàn)場(chǎng)推導(dǎo)本文中所列的公式和展示圖形，對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行理性說(shuō)明，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)阻尼振動(dòng)的理解。

2 受迫振動(dòng)

物體的運(yùn)動(dòng)總是受到阻尼的作用。受到阻尼的物體在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為阻尼受迫振動(dòng)，有時(shí)也簡(jiǎn)稱受迫振動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)方程為[4]

(5)

(6)

當(dāng)振子剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，這個(gè)過(guò)程稱為暫態(tài)過(guò)程。暫態(tài)過(guò)程的位移曲線非常復(fù)雜。固有頻率和外力頻率的大小，阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的初始相位和初始振幅的大小，都會(huì)影響暫態(tài)過(guò)程的時(shí)間演化曲線。我們?cè)诮虒W(xué)中討論了固有頻率和驅(qū)動(dòng)力頻率相同，阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)初始振幅相等的典型情況。即使在頻率和位移的雙重限制條件下，不同的相位關(guān)系仍可以畫出形態(tài)完全不同的暫態(tài)振動(dòng)曲線。通過(guò)典型例子的討論，讓學(xué)生體會(huì)暫態(tài)過(guò)程的位移演化曲線的多樣性。

第一種情況：固有頻率和外力頻率相等，阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的初始振幅相等，初始相位相反。這種情況下的阻尼受迫振動(dòng)在教材中有非常廣泛的介紹。

第二種情況：固有頻率和外力頻率相等，阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的初始振幅相等，相位相等。此時(shí)，我們可對(duì)式(6)運(yùn)用Maple軟件畫出如圖2所示的演化圖。阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的初始相位相等所畫出的演化圖形在教材中介紹得較少。我們只是討論了固有頻率和外力的驅(qū)動(dòng)頻率相等條件下的圖形，如果頻率大小關(guān)系變化，或者阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的初始振幅的大小不可比擬，圖形又會(huì)發(fā)生很大的變化。從我們舉的兩個(gè)例子，已經(jīng)可以讓學(xué)生體會(huì)這種演化的多樣性。

圖2 受迫阻尼振動(dòng)的位移隨時(shí)間的演化曲線二

3 結(jié)束語(yǔ)

阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)是大學(xué)物理的重要教學(xué)內(nèi)容。阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的表達(dá)式和演化曲線相對(duì)較為復(fù)雜，如果簡(jiǎn)單羅列表達(dá)式，學(xué)生對(duì)這兩種振動(dòng)的印象不會(huì)深刻。運(yùn)用Maple軟件，在課堂中現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算、現(xiàn)場(chǎng)畫圖演示，可加深學(xué)生對(duì)這兩種振動(dòng)的理解。對(duì)參數(shù)稍加調(diào)整，便可馬上畫出不同的圖形，這種便捷性使得我們?cè)谡n堂上可以大量展示各種參數(shù)下阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的演化曲線。運(yùn)用Maple軟件輔助阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)的教學(xué)，不僅鍛煉了學(xué)生的物理思維,也鍛煉了學(xué)生借助計(jì)算機(jī)軟件對(duì)物理情景進(jìn)行計(jì)算和分析的能力，提高了教學(xué)效果。

作者衷心感謝電子科技大學(xué)王世璠教授的有益討論和熱情幫助。

[1]劉萍，譚朝陽(yáng).數(shù)學(xué)物理方法中“行波法”教學(xué)方法改革探索[J].衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013,34(3):149-150.

[2] 王悅悅，戴朝卿，趙麗華.用Maple軟件輔助大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)[J].實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù), 2012,10(1):56-57.

[3]王曉勇.利用受迫振動(dòng)儀直接觀察“拍”現(xiàn)象[J].實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù), 2004,2(1):85-86.

[4]張小丹,洪小達(dá).簡(jiǎn)明大學(xué)物理[M].2版.北京：科學(xué)出版社,2008.

Application of Maple Software in Teaching of College Physics

LIU Pinga,b,ZENG Baoqinga,b,GAO Yumeia

(a.Zhongshan Institute, Zhongshan 528402, China;b. School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

The application of Maple software in the teaching of college physics is discussed in this paper, where damped vibration and forced vibration are taken as the examples. Using the powerful computing capabilities of Maple software, one can obtain the formulas of the displacements. The vibration displacement curve evolutions with different parameters can be obtained with the help of drawing function of Maple software, which can play the effect of demonstration in class. The application of Maple software in the teaching of damped vibration and forced vibration can enhance the rational understanding of the two movement patterns and improve teaching quality.

college physics; damped vibration; forced vibration; Maple software

2014-02-28；修改日期: 2014-04-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11305031)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2013010011546)；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(Yq2013205)；中山市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013A3FC0334)；廣東省教學(xué)質(zhì)量工程基金資助項(xiàng)目(ZYGX201401)。

劉 萍(1980-)，女，博士，副教授，主要從事物理學(xué)教學(xué)與研究工作。

TP319;O4-39

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.02.014