☉江蘇省丹陽市第五中學(xué)蔣偉

教師深度引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)*

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué)蔣偉

學(xué)生的學(xué)習(xí)以接受與探究兩種認識方式相輔相成，即借助語言獲得知識的接受方式與指導(dǎo)學(xué)生操作與思考獲得知識的探究式學(xué)習(xí)·這兩種基本形態(tài)有機結(jié)合才能形成合理的教學(xué)認知活動·教師通過深度研究教學(xué)內(nèi)容，提出恰當(dāng)精準的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，進而解決問題，能使學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望得到激發(fā)，學(xué)習(xí)潛力得到拓展，真正實現(xiàn)學(xué)生對知識的自主建構(gòu)·

一、通過尋疑—質(zhì)疑—析疑，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)建構(gòu)

教師以學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的問題為誘因創(chuàng)造問題情境，揭示學(xué)生認識上的矛盾，一方面可以糾正學(xué)生已有的認識錯誤，另一方面可以對學(xué)生的心理智力產(chǎn)生刺激，同時也是知識建構(gòu)遞進的需要·

教師提供兩種解法·

解法1：f′（x）=x2+ax+2b·

依題意，方程x2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1，另一根大于1且小于2·即0＜x1＜1，1＜x2＜2·則1＜x1+x2＜3，0＜x1x2＜2·由韋達定理得1＜-a＜3，0＜2b＜2，即-3＜a＜-1，0＜b＜ 1，則-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2·相除

解法2：f′（x）=x2+ax+2b·

依題意，方程x2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1，另一根大于1且小于2·

不等式組表示的平面區(qū)域如圖1所示，其中A（-3，1），B（-1，0），D（1，2）·

設(shè)C（a，b）為可行域（陰影）內(nèi)一點·

圖1

教師提出問題1：用兩種解法得到了相同的結(jié)論，都可以嗎？

學(xué)生爭辯后得出如下結(jié)論：解法1中，由0＜x1＜1和1＜x2＜2推出1＜x1+x2＜3和0＜x1x2＜2，不是同解變形，因此此解法是錯誤的；解法2應(yīng)用了線性規(guī)劃知識，準確地得到了不等式組所表示的可行域，此轉(zhuǎn)化是等價的，解法是正確的·

問題2：為什么解法1得出的結(jié)果和正確的結(jié)果相同？

教師提示：用解法2的思路去思考解法1·

學(xué)生思考得出如下結(jié)論：由-3＜a＜-1、0＜b＜1得到的可行域是一個矩形BEAF（如圖2），擴大的此矩形區(qū)域未能改變直線CD斜率的取值范圍（C為可行域內(nèi)的一點），因此得到的結(jié)果和正確的結(jié)果相同·

圖2

教師：數(shù)學(xué)活動的實質(zhì)就是思維的轉(zhuǎn)化過程·在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度、不同的側(cè)面去探討問題的解法，并尋求最佳方法，但在轉(zhuǎn)化過程中保持轉(zhuǎn)化的等價性是至關(guān)重要的·

教師在平時教學(xué)中要注意捕捉學(xué)生答題的思維缺陷，積極營造問題情境，發(fā)揮思維的監(jiān)控作用，及時消除學(xué)生的錯誤認識，促進學(xué)生科學(xué)的認知結(jié)構(gòu)的形成·

*本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃“十二五”重點資助課題《基于問題生成的動態(tài)課堂的實踐研究》（課題編號：B-a/2011/02/05）的研究成果之一·

二、通過展示—評價—總結(jié)，優(yōu)化學(xué)生的認知建構(gòu)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，他們?nèi)绻麕е约旱恼J識、經(jīng)驗、猜想?yún)⑴c課堂活動，就使課堂呈現(xiàn)了人文性、合理性、生動性和豐富性，并在展示與交流中充分發(fā)揮學(xué)生各自的創(chuàng)造力，彼此的思維得到了碰撞、補充、優(yōu)化·

圖3

教師先展示學(xué)生的方案1：假設(shè)存在這樣的k·

則直線方程為y=k（x+c），代入雙曲線方程，得：

設(shè)C（x1，y1）、D（x2，y2）·

教師：利用弦長公式解決弦長問題，自然直接·還有別的方法嗎？

教師：在求過焦點的弦的長時，運用定義可以簡化弦長計算，優(yōu)化了解題步驟，很好·還有更簡便的方法嗎？

沉默片刻，學(xué)生提出方案3：當(dāng)兩交點都在左支上時，最短的弦長為|AB|，當(dāng)兩交點在兩支上時，最短的弦長為|A1A2|，即|CD|≥|A1A2|，所以要想存在k，使|AB|=|CD|，只需滿足：|AB|≥|A1A2|?2a?b2≥a2，此條件不成立，因此這樣的直線不存在·

該方案提出后，學(xué)生有的疑惑，有的驚訝，教師及時給予懇定：過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上時，最短的弦長為2·交點在兩支時，最短的弦長為

2a·并以此為契機，通過方案1、2給予證明，并通過數(shù)形結(jié)合給予了說明、解釋，同時進一步啟發(fā)學(xué)生思考在橢圓中有沒有類似的規(guī)律性結(jié)論·

教學(xué)中教師要積極引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度思考問題的解決方案，并允許、鼓勵學(xué)生大膽猜測，然后啟發(fā)學(xué)生給予數(shù)學(xué)證明，逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力·

三、通過變式—訓(xùn)練—拓展，讓學(xué)生建構(gòu)更深刻

如果我們對課本中的例、習(xí)題進行特殊聯(lián)想、類比聯(lián)想和改變情境、推廣引申，那么我們可以培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣，達到深化理解的目的，同時也為發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識提供了有利條件·

案例3：蘇教版必修5第96頁第13題：已知正數(shù)x、y滿

意圖：此變式主要目的是當(dāng)利用基本不等式求最值時，如果條件不滿足，可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性來完成·

意圖：用字母代替具體的數(shù)字，綜合了上述兩題的方法，增加了對分類討論思想的考查·

意圖：把1+k2改為1-k2，增加對1-k2≤0時的討論，加深了學(xué)生對形如y=x+（a∈R）的最值求解的一整套思路，進一步鍛煉了學(xué)生分類討論的能力·

意圖：把問題放入新情境中，提高了學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化意識及運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力·

在教師的引領(lǐng)下，通過變式訓(xùn)練，循序漸進，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高，學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力被激發(fā)，學(xué)生對形（a∈R）的最值問題的認識是深刻的，很好地培養(yǎng)了學(xué)生分類討論的意識與能力·A