☉江蘇省泰興市第二高級中學(xué)丁劍波

浸潤數(shù)學(xué)文化啟發(fā)數(shù)學(xué)思維
——“數(shù)系的擴(kuò)充”教學(xué)設(shè)計

☉江蘇省泰興市第二高級中學(xué)丁劍波

一、教材解讀

“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”是蘇教版普通高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材選修2-2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時安排約一課時·復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個初步的、完整的認(rèn)識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)·

復(fù)數(shù)的引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充·新課程中復(fù)數(shù)內(nèi)容突出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，同時也強(qiáng)調(diào)了復(fù)數(shù)的幾何意義·它的內(nèi)容是分層設(shè)計的：先將復(fù)數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，再把復(fù)數(shù)看成是直角坐標(biāo)系下平面上的點(diǎn)或向量，最后介紹復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義·同時，復(fù)數(shù)作為一種新的數(shù)學(xué)語言，也為我們今后用代數(shù)的方法解決幾何問題提供了新的工具和方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想·通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面讓學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會虛數(shù)引入的必要性和合理性；另一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)·因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容·

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）理解虛數(shù)單位等概念；掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件·

（2）由經(jīng)歷解方程的運(yùn)作領(lǐng)悟引入復(fù)數(shù)的必要性，在探索復(fù)數(shù)有關(guān)概念中進(jìn)一步提升合作、交流水平，在定義復(fù)數(shù)相等的探討中增強(qiáng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化意識·

（3）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用，以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系·

三、教學(xué)流程

活動一：情境引入，再現(xiàn)歷史

問題1：1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹遇到如下問題：將10分成兩部分，使兩者的乘積為40·

設(shè)計意圖：一方面展示數(shù)學(xué)家提出的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史，感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問題入手·

問題2：有沒有兩個數(shù)之和為10呢？有沒有兩個數(shù)之積為40呢？為什么剛才的問題無解呢？

設(shè)計意圖：充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，一方面讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的科研精神，另一方面讓學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)·

問題3：實(shí)數(shù)集中有沒有這兩個數(shù)？

設(shè)計意圖：打破原有認(rèn)知平衡，形成認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到數(shù)已經(jīng)不夠用了，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識的必要性·

活動二：設(shè)置問題，追溯歷史

問題4：數(shù)集經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充？（配圖，穿插數(shù)的發(fā)展史相關(guān)知識）

設(shè)計意圖：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)等，在此礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生重新建構(gòu)數(shù)集的擴(kuò)充過程，即自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集，這是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，也是本節(jié)課知識的生長點(diǎn)·數(shù)學(xué)典故的講解可提高學(xué)生的興趣，讓學(xué)生更加了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)·

問題5：什么原因?qū)е聰?shù)的概念逐步擴(kuò)充的？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過回憶、思考每次數(shù)集擴(kuò)充的必要性，解決了哪些問題，即數(shù)集為什么要擴(kuò)充？

讓學(xué)生感受到這些數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降，是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要·

問題6：如圖1，新數(shù)集與舊數(shù)集是怎樣的關(guān)系？

圖1

（答案：N?Z?Q?R）

問題7：這幾次擴(kuò)充有什么共同的特點(diǎn)？

設(shè)計意圖：一方面培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括與表達(dá)能力；另一方面通過對前幾次數(shù)集擴(kuò)充的梳理，為數(shù)系的再一次擴(kuò)充，以及如何擴(kuò)充打好了堅實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性，并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則·由此，突破本節(jié)課的一個難點(diǎn)·

活動三：還原理論，借鑒歷史

然而，歷史在前進(jìn)，社會在發(fā)展，生活中的矛盾不斷涌現(xiàn)·五百多年前一個怪東西擺在卡爾達(dá)諾面前，即-15開平方問題（板書：）·要解決問題，就是要找一個數(shù)的平方為-15（板書：（）2=-15=15×（-1））·我們知道，已經(jīng)解決，因此問題即轉(zhuǎn)化為找一個數(shù)的平方為-1？（板書：（）2=-1）

設(shè)計意圖：教師引領(lǐng)學(xué)生再現(xiàn)卡爾達(dá)諾問題，將問題轉(zhuǎn)化為找一個數(shù)的平方為-1，而且運(yùn)用規(guī)范醒目的板書和留白藝術(shù)，給予學(xué)生充分思考問題的時間與空間，從而讓“引入新數(shù)”水到渠成·

問題8：為什么用i呢？是誰引入了i呢？

i是英文單詞imaginary（虛幻的）的第一個字母·卡爾達(dá)諾當(dāng)時只是發(fā)現(xiàn)了這個矛盾，它的引入者是被稱為“分析的化身”的瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉，引入時間公元1777年，從十六世紀(jì)到十八世紀(jì)，歷史的車輪已經(jīng)行進(jìn)了兩百多年，可見科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛！

設(shè)計意圖：教師通過自問自答，介紹與虛數(shù)單位i有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生興趣，強(qiáng)化對i的認(rèn)識，并讓學(xué)生感受到科學(xué)上每一步的邁出是多么的艱辛！

問題9：引入i后，你能寫出卡爾達(dá)諾要找的數(shù)嗎？

問題10：你還能寫出其他含有i的數(shù)嗎？

問題11：bi與實(shí)數(shù)a相加的幾何意義呢？

復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）對應(yīng)a+bi形式的數(shù)，點(diǎn)（a，b）唯一·

設(shè)計意圖：分別類比實(shí)數(shù)賦予虛數(shù)單位i，數(shù)bi和a+ bi的幾何表示，使學(xué)生更清楚地認(rèn)識“虛數(shù)不虛”，很自然地引出了復(fù)數(shù)的定義，同時為復(fù)數(shù)的分類和兩個復(fù)數(shù)相等的條件等知識的出現(xiàn)打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)，同時也為第二節(jié)內(nèi)容做好了鋪墊·

問題12：你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數(shù)都包含在內(nèi)嗎？

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)需要形式化、符號化·復(fù)數(shù)的代數(shù)形式正是這一體現(xiàn)，也是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)·筆者通過設(shè)計問題9，10，11來鋪墊問題12的提出，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，抽象概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力·

問題13：a+bi（a，b∈R）一定是虛數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自然而然地對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，攻克本節(jié)課的重點(diǎn)·

問題14：虛數(shù)與實(shí)數(shù)構(gòu)成了一個新的數(shù)集，我們把這個新的數(shù)集叫做復(fù)數(shù)集，記作C·這樣我們就完成了數(shù)系的又一次擴(kuò)充·我們把新的數(shù)系稱作復(fù)數(shù)系·該怎樣用描述法表示集合C呢？

（1）復(fù)數(shù)的定義：（具體內(nèi)容略）

（2）復(fù)數(shù)的分類：

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自己動手，合作探究，找到復(fù)數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，解決復(fù)數(shù)的分類問題，加深對這一知識的理解·

活動四：例題解析，深化概念

例1請你說出下列集合之間的關(guān)系：N，Z，Q，R，C·

例2寫出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，并指出哪些是實(shí)數(shù)？哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)？

例3實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是：（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？

例4已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求實(shí)數(shù)x，y的值·

設(shè)計意圖：例1主要是前后照應(yīng)，采用概念同化的方式完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；例2、例3主要是鞏固復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)；例4主要是強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的充要條件·讓學(xué)生在解決問題的過程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，起到及時反饋、學(xué)以致用的功效·

活動五：反思總結(jié)，提煉收獲

回顧本節(jié)課，i的引入者是歐拉，問題的提出者是卡爾達(dá)諾，卡爾達(dá)諾雖然沒有解決問題，但他依然是大數(shù)學(xué)家，因?yàn)椋l(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要，哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟·”

四、幾點(diǎn)思考

1·浸潤數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程

數(shù)學(xué)文化，從狹義上說，是指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展·廣義上說，除了上述內(nèi)涵，還包括數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)美，以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系等·《新課標(biāo)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)·數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)·”

本教學(xué)設(shè)計就是從數(shù)學(xué)史出發(fā)，無論從上課的流程還是問題的設(shè)置都盡可能返璞歸真，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系的發(fā)生發(fā)展過程·通過對數(shù)系擴(kuò)充的還原，讓學(xué)生在掌握了知識的同時也獲得發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力·數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，似乎只是前人的事、數(shù)學(xué)家的事，不必讓學(xué)生去尋找，教師也把教學(xué)的重心放在結(jié)論的應(yīng)用與鞏固練習(xí)上·但是，教師應(yīng)該注意到數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，也是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)，用對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識設(shè)計自己的教學(xué)，力圖把“學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”，有意設(shè)計成“研究性學(xué)習(xí)”，讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、探究、歸納，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的歷程，發(fā)展創(chuàng)新意識·

2·改變學(xué)習(xí)方式，實(shí)現(xiàn)以生為本的自主學(xué)習(xí)

努力改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生各方面能力的發(fā)展·以人的發(fā)展為本，突出學(xué)生的發(fā)展是《新課標(biāo)》的基本理念之一·《新課標(biāo)》“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”，指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式·”

本節(jié)課的教學(xué)試圖努力改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以問題串的形式展開，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、動手實(shí)踐、合作交流完成相關(guān)問題·學(xué)生的參與面較廣，參與度較大，積極性很高·整節(jié)課學(xué)生圍繞著數(shù)系的發(fā)展過程設(shè)置問題展開，通過學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)、共同學(xué)習(xí)，學(xué)生的觀點(diǎn)得到碰撞，學(xué)生的思維得以激發(fā)，學(xué)生的認(rèn)知得以提升·在激烈的爭辯和思辨中圓滿地解決了提出的問題，從中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂，感受到數(shù)學(xué)的魅力，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的思維軌跡，增強(qiáng)了學(xué)生自信·教學(xué)實(shí)踐表明，在這樣的教學(xué)活動中，不僅學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到發(fā)展，而且“使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、敢于探索和創(chuàng)新的精神”，身心與品質(zhì)也得到發(fā)展·

3·教師主導(dǎo)，讓學(xué)生的思維在問題解決中綻放

扮演好教師在教學(xué)活動中的角色·《新課標(biāo)》指出：“教師不僅是知識的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者·……在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一，但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的主體參與，師生互動·”要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，首先教師要改變在教學(xué)活動中的角色·數(shù)學(xué)教學(xué)是教師組織下的師生、生生的雙邊活動·傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往忽視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性，忽視學(xué)生在課堂上的“參與度”·

本教學(xué)設(shè)計中，教師通過問題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入知識本質(zhì)的思考，而且文中問題的設(shè)置具有一定的思維容量和梯度性，都能有效地激發(fā)學(xué)生的思維活動，引導(dǎo)學(xué)生有效學(xué)習(xí)·問題1到3從卡爾達(dá)諾第一個研究復(fù)數(shù)的歷史問題入手，再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程·這樣設(shè)計在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，具有適切性、聯(lián)系性、思想性，可引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)新知·問題12意在挖掘定義的內(nèi)涵，界定其外延，通過適當(dāng)?shù)男问交?，反?yīng)概念的本質(zhì)，對提高學(xué)生的認(rèn)識非常有意義·

總之，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)，教師以組織者、引導(dǎo)者、合作者、促進(jìn)者的身份捕捉學(xué)生的數(shù)學(xué)心聲，點(diǎn)撥探究思路，助燃認(rèn)知熱情，互動雙方達(dá)成共識，形成共鳴·導(dǎo)學(xué)案的教學(xué)開放了教學(xué)的形式，開放了學(xué)習(xí)的時間，放開了學(xué)生的思維，再現(xiàn)了知識生成的思維軌跡，保障了高效課堂·

1·王振輝，汪曉琴·數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)教材［J］·數(shù)學(xué)通報，2003（9）·

2·孫慶華·復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展及在中國的早期傳播［J］·西北大學(xué)學(xué)報，2006（6）·

3·伊夫斯·數(shù)學(xué)史概論［M］·哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009·

4·中華人民共和國教育部·普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］·北京：人民教育出版社，2003·F