宋曉東， 吳定俊， 李 奇

(同濟大學橋梁工程系，上海 200092)

基于無限元的2.5維方法預測軌道交通混凝土橋梁低頻噪聲

宋曉東， 吳定俊， 李 奇

(同濟大學橋梁工程系，上海 200092)

提出了一種基于無限元的2.5維方法，可以快速預測橋梁結構噪聲且不失精度。首先，建立沿橋梁縱向截面均勻的二維無限元模型，進行聲傳遞向量計算。然后，聯(lián)合橋梁三維模態(tài)分析結果，通過空間波數(shù)變換獲得三維橋梁模型的模態(tài)聲傳遞向量，并采用三維直接邊界元的計算結果驗證了所提出的2.5維方法的正確性。最后，進行車軌橋耦合振動計算，將獲得的橋梁模態(tài)坐標與聲模態(tài)傳遞向量結合起來預測橋梁振動輻射噪聲。以上海某軌道交通為背景進行噪聲現(xiàn)場測試，將現(xiàn)場實測結果與計算結果對比。分析表明，計算結果在近場與實測值吻合較好，但是由于忽略了相鄰跨橋梁的影響，在遠場數(shù)值計算結果小于實測值。

混凝土橋梁； 低頻噪聲； 2.5維； 無限元法

引 言

由于低頻噪聲對人的集中力、睡眠等有諸多負面影響[1,2]，交通系統(tǒng)產(chǎn)生的低頻噪聲問題已經(jīng)引起了較多的關注[3,4]。由于低頻噪聲很難通過聲屏障等措施得到有效的控制，越來越多的學者開始研究橋梁的低頻噪聲問題[5-11]。為了降低橋梁結構噪聲，首先要提出有效的噪聲預測方法。很多學者采用三維邊界元法(Boundary element method，簡稱BEM)來進行結構噪聲分析。Ghimire等[5]通過有限元諧響應分析與頻域三維聲學邊界元結合分析了混凝土橋梁的噪聲特性。李小珍[6]等通過結合時域車橋耦合振動和頻域三維邊界元來研究鐵路橋梁噪聲問題。由于車橋耦合振動是一個時變過程[7]，也有一些學者通過時域聲學計算來研究低頻橋梁噪聲[8,9]，但是采用的振動和聲學計算模型都較為簡單；而對于較為復雜的模型，采用時域聲學計算效率不高。李奇和韓江龍[10-12]提出了采用聲模態(tài)傳遞向量的方法預測混凝土橋梁時域和頻域的結構噪聲，適合對不同車輛和車速下的橋梁輻射噪聲進行參數(shù)分析。但是，用三維邊界元計算較為耗時，以文獻[12]中30 m跨徑的U形梁為例，計算200 Hz以下的聲模態(tài)傳遞向量需24 h。對于更長的橋梁或更高的聲學分析頻率，三維邊界元計算時間將更長。

2.5維方法適用于截面沿某一方向均勻的問題，通過對一系列二維聲壓方程的解進行傅里葉變換得到三維方程的解[13-16]。Duhamel[13]最早采用2.5維邊界元方法對截面均勻的聲屏障進行聲學分析。Salonmons等[14]在研究交通噪聲時，用2.5維邊界元方法作為標準來驗證射線模型的準確性。Hornikx 和Forssén[15]將這一方法擴展到城市街道噪聲的研究。上述研究主要基于點聲源或者線聲源的研究，并未直接將振動做為聲源考慮。Nillson等[16]提出了一種波導有限元和2.5維邊界元相結合的方法來預測鋼軌的輻射噪聲，鋼軌的振動通過波導有限元獲得，然后結合2.5維邊界元計算得到其輻射聲壓。Nillson的模型中只考慮了鋼軌在單個力作用下的振動輻射噪聲，并未考慮車橋耦合效應。

由于傳統(tǒng)邊界元在計算外場噪聲時存在特征頻率不唯一等奇異問題，且邊界元方程為滿秩矩陣，計算量隨著自由度的增加迅速增大，而無限元法的計算效率要比邊界元高很多，因此適合求解較為復雜的結構[17]。本文將在文獻[12]的基礎上采用2.5維無限元方法來計算橋梁結構噪聲。首先，采用2.5維無限元方法(Infinite element method，簡稱IFEM)計算了一座U形梁的聲模態(tài)傳遞向量，并與三維邊界元計算結果對比以驗證其正確性。然后，建立車輛-鋼軌-橋梁模型進行動力響應分析以獲得橋梁的模態(tài)坐標。最后采用聲模態(tài)傳遞向量方法獲得橋梁結構輻射噪聲，并與實測結果進行對比。

1 2.5維無限元理論

采用一個簡單的模型來介紹2.5維無限元理論，三維模型截面沿z軸均勻，如圖1所示, 三維Helmholtz聲波方程在頻域內表達[18]

(1)

圖1 三維聲學模型Fig．1 Geometry of the 3D acoustic model

沿著z軸對公式(1)做傅里葉變換可得二維聲波方程

(2)

(3)

(4)

式中 0<β<1，本文取0.95。

2 橋梁結構噪聲

2.1 聲模態(tài)傳遞向量算法

聲模態(tài)傳遞向量算法(Modalacoustictransfervectors，以下簡稱MATVs)適用于大尺度模型分析，獲得橋梁模態(tài)Φb后，通過聲學計算獲得MATVs，再結合橋梁模態(tài)坐標譜Qb(ω)，便可得到橋梁聲壓譜P(ω)，公式如下[20]

(5)

式中ω為圓頻率向量；ATV(ω)為聲傳遞向量(Acoustictransfervector，簡稱ATV)，代表結構外表面在單位法向速度下產(chǎn)生的場點聲壓；Tn為投影矩陣，將橋梁模態(tài)投影至外表面法向。

三維橋梁模型的MATVs可以通過上述2.5維無限元方法獲得，具體流程如下。首先，建立二維無限元模型，對每個單元節(jié)點施加單位法向速度，并計算一系列等間距激勵頻率下的聲壓值，即獲得二維聲傳遞向量ATV。注意到二維聲壓方程的解近似符合ejkr的衰減規(guī)律，r為聲源和接收點之間的距離。為了保證計算精度，計算頻率間隔需至少滿足一個波長5個點的原則[13]

(6)

(7)

(8)

式中N為節(jié)點總數(shù)，下標m代表節(jié)點號。

2.2 車輛-軌道-橋梁耦合振動

Li[7]等提出了基于模態(tài)疊加法的數(shù)值計算方法來求解車橋耦合動力響應。車輛-軌道-橋梁系統(tǒng)動力學方程如下

(9)

式中q,Φ,ω,ξ和f分別代表模態(tài)坐標矩陣、模態(tài)位移矩陣、模態(tài)圓頻率矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和荷載矩陣；下標v,t和b代表車輛、軌道和橋梁；上標T表示矩陣轉置。

軌道不平順可根據(jù)隨機不平順功率譜密度函數(shù)生成時域樣本，本文采用ISO3095∶2005[21]標準中的不平順限值譜。求解式(9)后可得到時域橋梁模態(tài)坐標值，經(jīng)過快速傅里葉變換(FFT)之后即可得到橋梁模態(tài)坐標頻譜值Qb(ω)。

圖2 基于2.5D IFEM 的橋梁結構噪聲計算流程Fig．2 Schematic diagram of the 2.5D IFEM-based numerical procedure for predicting bridge-borne noise

2.3 橋梁結構噪聲預測

在獲得MATV(ω)和Qb(ω)之后，根據(jù)式(5)可得到橋梁輻射噪聲值，整個流程如圖2所示。注意到式(5)求得的是頻域聲壓值，通過快速逆傅里葉變換(IFFT)可獲得聲壓時程。

3 工程應用

以上海軌道交通8號線某簡支U形梁為例來驗證2.5維無限元方法預測結構噪聲的準確性，橋梁標準斷面如圖3所示。該橋梁主跨25m，計算跨徑23.84m，頂?shù)装逡约案拱搴穸葹?40mm，結構采用C55混凝土。為了驗證數(shù)值計算結果的精度，現(xiàn)場進行了聲壓實測，在跨中位置垂直于橋梁跨徑方向橫斷面設置了5個麥克風來測試車輛過橋時的輻射噪聲，采樣頻率20 000Hz，噪聲測點布置圖如圖4所示，地面為硬化路面，可近似處理為剛性反射面。

圖3 U形梁標準斷面(單位：mm)Fig.3 Geometry of the U-shaped girder (Unit: mm)

圖4 噪聲測點布置圖Fig．4 Acoustic microphone installation at mid-span

3.1 車輛和軌道模型

車輛采用7節(jié)編組(1拖車+5動車+1拖車)，車輛參數(shù)見文獻[12]。實測車速范圍為56～76km/h，因此數(shù)值仿真時列車車速范圍取56～76km/h。鋼軌截面面積為77.05cm2，采用梁單元模擬，其與橋梁之間通過橡膠墊層和扣件(WJ-2型)連接，可用彈簧和阻尼模擬，每根鋼軌與橋梁之間的縱向、豎向及橫向彈簧剛度分別為：20，60，20MN/m；每根鋼軌與橋梁之間的縱向、豎向及橫向阻尼分別為：60,80,60kN·s/m。

3.2 橋梁模型

Li[12]在研究U梁振動噪聲問題時，發(fā)現(xiàn)橋墩對振動和噪聲的影響主要在32Hz以下,而U梁實測結果表明，其噪聲頻譜峰值主要分布在40～80Hz，所以在研究U梁的結構噪聲時，可以忽略橋墩的影響，僅需建立上部橋梁結構模型。

U梁有限元模型采用Ansys中的8節(jié)點實體單元建立，單元尺寸為0.2m，以U梁底板中心為坐標原點，如圖5的所示。進行橋梁模態(tài)分析，共126階，模態(tài)頻率從4.36Hz到231.16Hz。提取各階模態(tài)位移，用于后續(xù)的車橋耦合和MATV計算。

圖5 橋梁有限元模型Fig.5 Finite element model of the girder

3.3 2.5維無限元計算MATV

在已經(jīng)建立的U梁三維有限元模型基礎上，選取U梁外輪廓生成二維線單元模型，然后將該線單元模型導入Actran軟件中建立2維U梁無限元模型，這樣可以保證有限元模型和無限元模型中U梁節(jié)點的一致性，便于有限元模態(tài)位移的映射投影從而根據(jù)公式(7)中的波數(shù)變換求得聲傳遞向量。無限元模型最大單元尺寸為0.2m，遵循每個波長至少包含6個單元的原則，最高分析頻率為283Hz。由于無限元計算精度受邊界大小以及徑向階次的影響，因此需進行試算。采用圓形無限元邊界，經(jīng)試算，無限元邊界半徑取3m，徑向階數(shù)取5可獲得收斂的結果，模型如圖6所示。設置104個聲場點，總寬度30m，高度12.6m，如圖7所示。為了驗證2.5維IFEM結算結果的精度，同時建立了25m單跨U梁的3維邊界元模型，最大單元尺寸0.2m，在橋梁跨中位置設立相同的聲場點,如圖8所示，三維模型的振動聲輻射計算流程見文獻[12]。

圖6 二維無限元模型Fig．6 2D infinite element model

圖7 二維無限元模型場點Fig．7 Field points of 2D infinite element model

圖8 三維邊界元模型Fig．8 3D boundary element model

通過2.5維無限元和3維邊界元計算2～200Hz頻率內的MATVs，計算頻率間隔取2Hz，未考慮地面反射，模態(tài)位移以m為單位輸入。圖9給出了兩種方法計算獲得的27號場點的MATVs，可見，2.5維無限元計算結果與三維邊界元結果基本吻合。對于以整體變形為主的低階頻率(第1階)，2.5維計算結果基本與3維完全一致，精度非常高；對于以局部變形為主的復雜高階模態(tài)(第126階)，兩者吻合較好，略有區(qū)別。

圖9 橋梁27號場點MATVsFig．9 MATVs of the girder at field point 27

3.4 2.5維無限元預測結構噪聲

獲得MATVs后根據(jù)式(7)可得到列車過橋時橋梁結構噪聲，圖10給出了76km/h車速下兩種方法計算結果對比，可見，兩者在時域和頻域的均吻合較好，結果基本一致。根據(jù)聲壓頻譜值可得到104個場點的總聲壓，如圖11所示，兩種方法的計算結果基本相等。

圖10 76 km/h車速下場點聲壓Fig．10 Sound pressure at speed of 76 km/h

圖11 所有場點總聲壓Fig．11 Overall sound pressure level at all field points

以上對比說明，2.5維無限元具有很高的精度，可以用于橋梁結構噪聲預測，由于只需要建立二維模型，其自由度大大降低，因此計算速度大幅度提升。以文中U梁模型為例，計算機配置為四核2.8GHzCPU+8GB內存，采用2.5維無限元方法計算三維模型的聲模態(tài)傳遞向量只需要927個單元，計算時間僅需2～3h；而三維邊界元模型含13 568個單元，在計算聲模態(tài)傳遞向量時需要22～24h,如表1所示。同時由表可知， 在采用商業(yè)軟件進行3維邊界元計算時， 其結果文件高達20GB， 而采用2.5維IFEM 計算結果文件僅占1 GB。

表1 2.5維無限元與三維邊界元聲模態(tài)傳遞向量計算對比

Tab．1 Comparison of 2.5D IFEM and 3D BEM in the computation of MATVs

方法模型對計算機要求計算時間/h結果文件/GB2．5維2維(927個)低2～313維3維(13568個)高22～2420

3.5 2.5實測與數(shù)值計算對比

假設地面為剛性，采用鏡像原理計算反射聲壓。圖12給出了68 km/h車速不同測點聲壓時程及頻譜實測值和數(shù)值結果的對比。 由圖可知， 對于近場點P1，數(shù)值結果與實測值在時域和頻域都吻合較好，但是隨著測點遠離橋梁，兩者相差越來越大，到P5測點時，實測值遠遠大于數(shù)值結果。產(chǎn)生這一現(xiàn)象有以下幾點原因：(1)數(shù)值計算中僅考慮了一跨橋梁，而忽略了相鄰跨橋梁的聲壓輻射，這一影響對遠場點尤為重要。因此，在預測遠場點聲壓時，需建立多跨模型，這對于三維邊界元來說是一個很大的工作量，而當橋墩的影響可以忽略時，多跨橋梁聲學模型沿z向仍然是均勻截面，此時2.5維無限元則能發(fā)揮優(yōu)勢，大大降低工作量；(2)未考慮橋墩、車身等子系統(tǒng)的輻射噪聲；(3) 未考慮輪軌噪聲、車輛設備動力噪聲和受電弓噪聲。

圖12 聲壓實測值與數(shù)值結果對比Fig．12 Computed and measured sound pressure

從圖12還可以看出，對于文中離地面一定高度的測點，是否考慮反射對近場點影響較小，但是對遠場點影響較大，這是因為當測點離地面有一定距離時，鏡像聲源到近場接收點的距離大于實際聲源到接收點的距離，亦即鏡像聲源對總聲壓的貢獻有限；而對于遠場點，鏡像聲源和實際聲源到接收點的距離相當，此時鏡像聲源的貢獻較大，因此在對遠場點進行噪聲預測時，需考慮反射的影響。

4 結 論

本文首先介紹了2.5維無限元理論，并采用2.5維無限元來求解橋梁聲模態(tài)傳遞向量MATVs，進而計算橋梁結構噪聲。以上海軌道交通8號線U梁為例，同時采用2.5維無限元和 3維邊界元計算了U梁聲模態(tài)傳遞向量和列車過橋時的輻射聲壓，最后通過與現(xiàn)場實測對比，驗證了數(shù)值方法的適用性。本文結論如下：

(1) 2.5維無限元計算結果與三維邊界元基本一致，精度很高，且由于模型簡單，對計算機要求低，其計算時間大幅降低。

(2) 采用單跨橋梁模型計算得到的聲壓值與現(xiàn)場實測值在近場點吻合較好，但遠場差異較大，實測值遠大于計算值，需考慮相鄰跨橋梁的影響。

(3) 對于離地面一定高度的場點，是否考慮地面反射對近場點影響小，但是對遠場點影響較大。

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A 2.5-dimensional infinite element based method for the prediction of structure-borne low-frequency noise from concrete rail transit bridges

SONGXiao-dong,WUDing-jun,LIQi

(Department of Bridge Engineering,Tongji University, Shanghai 200092, China)

A two-and-a-half dimensional (2.5D) procedure based on infinite element method (IFEM) is proposed to predict the bridge-borne noise with higher efficiency, yet no loss of accuracy. The two-dimensional (2D) infinite element model of a bridge with a constant cross section is developed to calculate the acoustic transfer vectors. Then, spatial modal acoustic transfer vectors (MATVs) of the bridge are derived using the space-wavenumber transforms of its 3D modal shapes. The MATVs obtained from 2.5D IFEM and 3D boundary element method are then compared to verify the accuracy of the 2.5D method. The vehicle-track-bridge dynamic interaction analysis is then conducted, and the bridge-borne noise is finally computed through the MATVs and modal coordinate responses of the bridge. The 2.5D procedure is employed to simulate the sound pressure radiating from the concrete bridge in one of Shanghai rail transit lines, and the numerical results are compared with the measured counterparts from field tests. The simulated and measured results match well in both time and frequency domains at near-field points. Nevertheless, the numerical results are smaller than the measured ones for far-field points, mainly due to the neglect of sound pressure induced by adjacent spans.

concrete bridge; low frequency noise; 2.5 D; infinite element method

2014-04-13；

2014-09-10

國家自然科學基金資助項目(50908178)

U448.21; TB532

A

1004-4523(2015)06-0929-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.06.010

宋曉東(1987—)，男，博士研究生。電話：13918007870；E-mail: 11xdsong@#edu.cn

李奇(1980—)，男，博士，副教授。E-mail: liqi_bridge@#edu.cn