石才英

在解分式方程時(shí)，由于去分母將分式方程化成整式方程后，未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，因而容易出現(xiàn)增根.而分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時(shí)還使其最簡(jiǎn)公分母的值為零.智用分式方程的這一特性可巧解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.

現(xiàn)以2014年部分省市中考題為例說(shuō)明如下.

1求參數(shù)的值

例1（天水市）k為何值時(shí)，方程6x-1-x+kx（x-1）+3x=0有解？

分析將原方程變形為8x=k+3，故x=k+38.再根據(jù)分式方程有解，通過(guò)公分母x（x-1）≠0知x≠0且x≠1去求解即可.

解由k+38≠0且k+38≠1可求得k≠-3且k≠5.這時(shí)原方程就有解.

例2（大連市）當(dāng)m為何值時(shí)，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1產(chǎn)生增根？

分析我們很容易猜測(cè)出分式方程可能產(chǎn)生的增根是x=1或x=-1，只要把猜測(cè)的增根分別代入去分母后的整式方程中即可求出相對(duì)應(yīng)的字母m的值.

解原方程去分母并整理得（m-2）x=5+m，假設(shè)產(chǎn)生增根x=1，則有m-2=5+m，方程無(wú)解.所以不存在m的值使原分式方程產(chǎn)生增根x=1.假設(shè)產(chǎn)生增根x=-1，則有2-m=5+m，解得m=-32.所以m=-32時(shí)，分式方程mx+1-2x-1=3x2-1產(chǎn)生增根.

注方程的增根，是使公分母為0的未知數(shù)的值.求法：①化分式方程為整式方程；②令公分母為0，求x；③再把x的值代入整式方程中，求出字母系數(shù)的值.

例3（煙臺(tái)市）若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1無(wú)解，試確定a的值.

分析化分式方程為整式方程，若整式方程無(wú)解，則分式方程一定無(wú)解；若整式方程有解，但要使分式方程無(wú)解，則該解必是使公分母為0時(shí)對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，此時(shí)相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無(wú)解.

解去分母，整理得（2+a）x=3.若2+a=0，則a=-2，此時(shí)方程無(wú)解；若2+a≠0，則x=32+a是增根.因?yàn)閤=1和x=0是方程的增根，所以32+a=1或0，a=1.所以a=-2或1.

注分式方程無(wú)解有兩種可能，一是去分母后的整式方程無(wú)解；二是去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解使分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0，為分式方程的增根.應(yīng)注意分類討論.

例4（鄭州市）解關(guān)于x的方程xx-1-kx2-1=xx+1不會(huì)產(chǎn)生增根，則k的值（）.

A.是2B.只能是1

C.不為2或-2的實(shí)數(shù)D.無(wú)法確定

分析本題從正面入手求解比較困難，但從逆向思維入手卻比較簡(jiǎn)便.本題不會(huì)產(chǎn)生增根的反面是會(huì)產(chǎn)生增根，當(dāng)方程有增根時(shí)，最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為零.

解原方程去分母整理得x（x+1）-k=x（x-1）.所以k=2x.若方程產(chǎn)生增根，則公分母x2-1=0.所以x=±1.故k=±2.所以當(dāng)k≠2或k≠-2時(shí)，原方程不會(huì)產(chǎn)生增根.因而應(yīng)選C.

注方程無(wú)增根，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，由此，可以確定字母系數(shù)值或取值范圍.

2求增根

例5（宜春市）若方程6（x+1）（x-1）-mx-1=1有增根，則它的增根是（）.

A.0B.1C.-1D.1和-1

分析這是一道錯(cuò)誤率非常高的選擇題，很多同學(xué)看完題目后想都不想就選D答案，理由是“增根”必使原方程中的最簡(jiǎn)公分母為0，而容易忽視“增根”還有另一個(gè)特征：是原分式方程去分母后所得到的整式方程的根.

解方程兩邊同乘（x+1）（x-1），得6-m（x+1）=（x+1）（x-1）.整理得x2+mx+m-7=0.因?yàn)榉匠逃性龈赜校▁+1）（x-1）=0，解得x=1或x=-1.當(dāng)x=1時(shí)，方程x2+mx+m-7=0，有解m=3；當(dāng)x=-1時(shí)，方程x2+mx+m-7=0無(wú)解，所以x=1是原方程增根，x=-1不是原方程增根.故正確答案應(yīng)選B.

注判別或?qū)ふ曳质椒匠痰摹霸龈?，不能?jiǎn)單地認(rèn)為就是使原方程中的最簡(jiǎn)公分母為0的未知數(shù)的值.使原方程中的最簡(jiǎn)公分母為0的未知數(shù)的值只是增根的必要條件，而不是充分條件.

3求參數(shù)的取值范圍

例6（成都市）已知解方程4x4-x2+1=k-k2x-2+1x+2時(shí)不會(huì)產(chǎn)生增根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析本題可仿例3，從逆向思維入手去求解.

解原方程去分母整理得（x+2）（k-k2）=x2-5x-2①.若方程產(chǎn)生增根，則（x+2）（x-2）=0（最簡(jiǎn)公分母=0）.所以x1=-2，x2=2.當(dāng)x1=-2時(shí)，方程①變?yōu)?·（k-k2）=12，k無(wú)實(shí)數(shù)解.當(dāng)x2=2時(shí)，方程①變?yōu)?（k-k2）=-8，所以k1=-1，k2=2.所以當(dāng)k≠-1且k≠2時(shí)，原方程不會(huì)產(chǎn)生增根.

4求方程的根及參數(shù)的值

例7（貴陽(yáng)市）如果關(guān)于x的方程xx-2+x-2x+2x+ax（x-2）=0只有一個(gè)實(shí)根，求a的值及方程的根.

分析本題需要將分式方程通過(guò)去分母化為整式方程求解，但分類討論時(shí)要注意增根的情況.

解原方程可化為：2x2-2x+4+a=0①.（1）若方程①有等根，則Δ=（-2）2-4×2×（4+a）=0，解得a=-3.5，此時(shí)原方程的解為x=0.5；（2）若方程①有不等二實(shí)根，則這兩根中有一個(gè)根是原方程的增根，這時(shí)原方程才只有一個(gè)實(shí)根，而原方程的增根是x=0或x=2.當(dāng)x=0時(shí)，代入方程①，得a=-4，此時(shí)原方程的解為x=1；當(dāng)x=2時(shí)，代入方程①，得a=-8，此時(shí)原方程的解為x=-1.綜上所述：當(dāng)a=-3.5時(shí)，原方程的根是x=0.5；當(dāng)a=-4時(shí)，原方程的根為x=1；當(dāng)a=-8時(shí)，原方程的根是x=-1.

綜上所述可知，解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，這是因?yàn)槲覀儼逊质椒匠剔D(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中，無(wú)形中去掉了原分式方程中分母不為零的限制條件，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，于是就產(chǎn)生了如下兩種情況：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知數(shù)的取值范圍內(nèi)，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根.因此，解分式方程時(shí)，驗(yàn)根是必不可少的步驟，不可否認(rèn)，增根的出現(xiàn)給我們的解題帶來(lái)了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時(shí)還能使其最簡(jiǎn)公分母的值為零，據(jù)此可以解決一些相關(guān)的問(wèn)題.

另外有兩點(diǎn)體會(huì)，供師生參考：

1.已知中明確指出方程有增根，求方程中的待定常數(shù)的值及已知方程的解.該類問(wèn)題的一般解法是：把所給的方程化成整式方程，再把增根代入化簡(jiǎn)后的整式方程，即可求出待定常數(shù)的值，然后將求出的待定常數(shù)的值代入化簡(jiǎn)后的整式（或已知）方程，就可以求出已知方程的根.

2.已知中沒(méi)有明確給出增根的條件，但題目中隱含有增根的條件，解題時(shí)又必須應(yīng)用增根這一條件.這類問(wèn)題的一般解法是：首先應(yīng)明確增根是什么，然后根據(jù)題目的要求作出解答.

總而言之，注意課本中的分式方程增根在中考中的應(yīng)用，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維水平，開(kāi)闊學(xué)生的視野，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)生的解題水平，對(duì)于幫助學(xué)生理解課本內(nèi)容、啟迪思維，提高探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，將會(huì)起到積極的作用.