☉江蘇省蘇州市第四中學(xué)校 薛宏偉

讓“化歸”成為高中數(shù)學(xué)解題中的“利器”

☉江蘇省蘇州市第四中學(xué)校 薛宏偉

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生解題能力的提升一直是數(shù)學(xué)教師關(guān)注的熱點(diǎn)話題；筆者從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)多年來，一直關(guān)注學(xué)生解題能力提升的探究，在自身的實(shí)踐中深深體會到：化歸數(shù)學(xué)思想方法的合理運(yùn)用能夠?qū)⒏咧袛?shù)學(xué)問題“化繁為簡、化難為易、化生為熟……”，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的轉(zhuǎn)化分析能力；在本文中，筆者以理論探究與案例分析相結(jié)合的方式進(jìn)行思考，側(cè)重于闡述數(shù)學(xué)教師從多角度引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用發(fā)展和運(yùn)動的觀點(diǎn)探尋有效的化歸途徑，從而推動學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率與質(zhì)量的快速提升.

一、數(shù)形結(jié)合，相得益彰，化抽象為形象

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短；實(shí)踐證明，數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化與滲透能夠?qū)?fù)雜問題簡單化，抽象的問題具體化、形象化，為解題帶來方便、快捷.

時，使得不等式logx＞sin2x（a＞0， a≠1）恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：本題若按常規(guī)的代數(shù)方法進(jìn)行處理顯得比較抽象、難懂，對于學(xué)生而言，求解十分困難，感覺束手無策，但是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行處理，顯得方便、可行；具體解析如下：

構(gòu)建函數(shù)y1=logax和y2=sin2x，根據(jù)題意作出圖像，如圖1所示，當(dāng)a＞1時，顯然不成立（舍去），當(dāng)0＜a＜1時，只要滿足：當(dāng)時，能夠使得logax＞sin2x恒成立，則可得不等式方程組

圖1

思考：從本題的分析中可以看出：看似復(fù)雜的問題在圖形的輔助下變得簡單明了；可見，數(shù)形結(jié)合的處理手段在數(shù)學(xué)解題中能夠化抽象為形象，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提升，增強(qiáng)了化歸的靈活性和實(shí)效性.

二、緊扣課本，回歸定義，化隱為顯

新課改以來，高中數(shù)學(xué)考查形式與手段發(fā)生了較大的變化，我們經(jīng)常遇到一些比較特殊的題目，表面看來感覺缺少什么條件似的，給不少學(xué)生在解題中帶來了麻煩；但是如果將題設(shè)中涉及的數(shù)學(xué)知識與課本教材聯(lián)系起來，歸溯到數(shù)學(xué)的基本概念與定義，有時候反而能夠挖掘出題設(shè)中的隱含信息進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，將解題的最佳條件化隱為顯，從而達(dá)到“迎刃而解”的目的.

圖2

分析：根據(jù)課本教學(xué)中拋物線的定義可以知道橢圓上4個點(diǎn)所滿足的條件符合拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意便能揭示出重要的條件“這4個點(diǎn)在拋物線y2=2px上”，這時本題就可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)成：p取何值時，拋物線y2=2px與橢存在4個不同的交點(diǎn).聯(lián)立方程可此方程存在兩個不等的正根即可滿足題設(shè)條件，則

思考：課本教材中的數(shù)學(xué)概念往往是處理數(shù)學(xué)問題基石，從本案例中可以看出處理數(shù)學(xué)復(fù)雜問題時，回歸課本定義能夠靈活挖掘命題中的隱含信息，拓展數(shù)學(xué)解題的思路，有助于學(xué)生分析推理能力的提升，讓學(xué)生深刻體會到化歸思想在實(shí)際問題中的高效性.

三、空間轉(zhuǎn)換，圖形演變，化空間為平面

立體幾何一直是高中學(xué)生感覺難以理解的問題，主要是需要學(xué)生具備一定的空間想象思維能力，在處理空間圖形問題的時候通常是轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行處理，異面直線夾角問題、多面體和旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上的相關(guān)問題，運(yùn)用這一方式進(jìn)行處理效果較佳.

圖3

圖4

分析：對于學(xué)生而言，空間曲線長度的計算比較困難，沒有任何直接套用的公式和定理的運(yùn)用，這里如果將圓錐的側(cè)面展開成扇形（如圖4所示），這樣空間問題就等價轉(zhuǎn)化為平面問題；根據(jù)幾何關(guān)系可得圓錐側(cè)邊長PM0=6R，扇形圓心角顯然繩子被分割成一段一段的，當(dāng)M0M1′、M1M2′、M2M3′……垂直于PN時，繩子的總長最短；由于△PM0N為等邊三角形，則M1′、M2′、M3′……分別是PN、PM1′、PM2′……的中點(diǎn)；這樣繩子的總長度即為以的無窮等比數(shù)列各項之和，這時將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行處理，則繩子總長

思考：在涉及立體幾何的空間問題中，化歸思想的運(yùn)用比較常見，通過圖形的合理變換，化空間為平面，有效建立立體幾何與平面幾何之間、幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系關(guān)系，學(xué)生探究問題的思路被進(jìn)一步拓展，培養(yǎng)了學(xué)生化歸的敏捷性.

四、動靜結(jié)合，相輔相成，化特殊為一般

運(yùn)動是永恒的，靜止是相對的，辯證唯物主義告訴我們：“事物是在運(yùn)動變化中不斷發(fā)展的”，在探究數(shù)學(xué)問題過程中，靈活運(yùn)用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)對象時，能夠容易發(fā)現(xiàn)這些對象在運(yùn)動過程中保持不變性的方面；事物發(fā)展的普遍規(guī)律往往寄寓于特例之中，我們在處理數(shù)學(xué)問題的時候，可以通過研究對象特殊位置的處理找出正確的結(jié)論，再由特殊拓展至一般情況，在科學(xué)論證的基礎(chǔ)上得出最終結(jié)論.

圖5

分析：題中動點(diǎn)P的任意性使得|OP|、|AQ|、|AB|都是處于變化之中，題目中要證明的定值結(jié)論，這里可以采取特殊狀態(tài)確定這一定值，即將P點(diǎn)移動至A′點(diǎn)，則|OP|= a，|AQ|=2a，|AB|=a，則知道定值結(jié)果心中就踏實(shí)多了，再將P點(diǎn)移動至其他一般位置進(jìn)行證明，在證明過程中就存在著目標(biāo)性，這樣解題能夠做到胸有成竹、游刃有余.

思考：本題中采取特殊化探路、一般化解決的處理手段，體現(xiàn)了人類認(rèn)識客觀世界的基本規(guī)律，這也是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的重要形式之一，動態(tài)的一般性問題利用靜態(tài)下的特殊狀態(tài)進(jìn)行試探，為成功解題奠定基礎(chǔ)；學(xué)生的創(chuàng)新思維在動靜轉(zhuǎn)換中得以激發(fā)和提升，有助于培養(yǎng)學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題中化歸思想的運(yùn)用意識.

總而言之，高中數(shù)學(xué)的解題過程是一個系統(tǒng)的工作，化歸思想作為數(shù)學(xué)解題的思想方法其實(shí)施途徑是多樣化的，“化高為低、化虛為實(shí)、化整為零……”都是我們解題中常用的方法，作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，在平時的教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生對化歸途徑的有效探尋，讓學(xué)生在探尋中發(fā)揮自身的創(chuàng)新思維，激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)一步提升分析問題和解決問題的創(chuàng)造性能力.F