☉上海市松江一中 李志成

基于PCK淺談信息技術(shù)在高中數(shù)學課堂中的應用*

☉上海市松江一中 李志成

一、概念綜述

1.PCK介紹

這一概念最早是由斯坦福大學教授Shulman（美國教育研究會主席）提出的，他認為構(gòu)成教學的知識基礎有7類，其中的“學科教學知識”逐步成為教師知識的重心與核心.學科教學知識是“Pedagogical Content Knowledge”（簡稱為PCK）的翻譯，也有些研究者將其翻譯成“教學內(nèi)容知識”或者“學科教育知識”.其內(nèi)涵是指所教的學科內(nèi)容知識與教育學知識的有機融合，針對具體要教的內(nèi)容所使用的教學方法和教學策略.學科教學知識包含四個成分：學科知識、一般教學法知識、關(guān)于學生的知識和關(guān)于學習情境的知識.

2.信息技術(shù)

凡是能擴展人的信息功能的技術(shù)，都是信息技術(shù).可以說，這就是信息技術(shù)的基本定義.它主要是指利用電子計算機和現(xiàn)代通信手段實現(xiàn)獲取信息、傳遞信息、存儲信息、處理信息、顯示信息、分配信息等的相關(guān)技術(shù).計算機技術(shù)與現(xiàn)代通信技術(shù)一起構(gòu)成了信息技術(shù)的核心內(nèi)容.人們獲取信息的途徑有很多，可以直接從生產(chǎn)、生活、科研活動中收集和獲取信息，也可以從網(wǎng)絡、電視、廣播、報刊雜志等獲取間接的信息.其中計算機網(wǎng)絡上收集和獲取信息是極其重要的一條途徑.

本文研究信息技術(shù)在數(shù)學課堂中的應用，信息技術(shù)與課程整合絕不是簡取地將信息技術(shù)與課程進行功能上的疊加，也不僅僅是把信息技術(shù)作為技術(shù)手段在課程層面的應用，而是如何將信息技術(shù)實際地融入課程的有機整體中，使其成為整體不可缺少的部分，或成為一個新的統(tǒng)一體.

二、課堂實錄及設計說明

為了更好地說明信息技術(shù)在高中數(shù)學課堂中應用的特點及作用，我們選擇“橢圓的標準方程”的第一課時為例.

1.學情了解，教材分析

“橢圓的標準方程”的前一個知識是“圓”，是運用“曲線和方程”理論解決二次曲線問題的又一實例.它是對前面所學的運用坐標法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次演練，同時它也是研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎；橢圓的標準方程為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎.

在學習本課之前，學生已學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解與運用的經(jīng)驗，并對運用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識，在教師的合理引導下學生有獨立探究有關(guān)點的軌跡問題的知識基礎和學習能力.但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，思維上會存在障礙.特別是缺乏數(shù)形結(jié)合能力，不善于簡化平面幾何問題.

在教學上本課以多媒體和演示板作為教學手段，教師應用好自己的專業(yè)知識，找好橢圓定義及橢圓方程相關(guān)課件，以學生為主體，結(jié)合自己的學科知識引導學生思考并自己學習分析.課堂上使用多媒體輔助教學與自制教具相結(jié)合的信息技術(shù)應用方案，實現(xiàn)多媒體形象、大容量的優(yōu)勢，既突出了知識的產(chǎn)生過程，又增加了課堂的趣味性.體現(xiàn)學生是一個主動學習、積極探索的個體，盡可能增加學生參與教學活動的思維空間.

2.視頻引入，激發(fā)興趣

（1）展示神舟十號相關(guān)視頻資料（如圖1），并演示飛船飛行動畫，由此引出橢圓.從課堂上的表現(xiàn)可以看出，學生對上課伊始就看圖片和視頻動畫很感興趣，注意力迅速集中到課堂.

圖1

（2）生活中，你見過哪些形狀是橢圓，你能舉出實例嗎？（繼續(xù)用圖片展示，特別展示一些生活中常見的橢圓圖片，如圖2）.學生各種歡樂的回答，迅速帶動了課堂氣氛.

圖2

請學生觀看橢圓相關(guān)的圖片和動畫，以及舉出所看到有關(guān)橢圓的實例，目的是使學生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形.通過動畫演示也會更加形象生動，能引起學生的興趣.

3.動畫演示，定義歸納

（1）利用課前準備好的圖釘和細繩合作畫圖，請兩名同學到黑板上演示畫圖過程（做法：用圖釘穿過準備好的無彈性細繩兩端的套內(nèi)，并且把圖釘固定在兩個定點上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，直至畫出一條曲線）.因為找了兩個負責認真的同學，所以課堂上畫出的橢圓比較標準，而且費時較少.

（2）再通過演示幾何畫板動畫，點B是線段AC上一個動點，分別以定點F1、F2為圓心，|AB|、|BC|為半徑作圓，如圖3，觀察兩圓交點M的軌跡.引導學生探求橢圓上點的運動變化的規(guī)律，并從直觀上認識橢圓.

此環(huán)節(jié)的設計，可以鍛煉學生的合作能力，并使學生在動手操作的過程中對于橢圓上點的性質(zhì)深刻理解.利用課件的動畫操作演示，使橢圓定義更加形象生動，學生更易接受.這樣，讓學生加深對橢圓上點的運動規(guī)律的體會，為下一個環(huán)節(jié)得到“橢圓的定義”做準備的同時，也鍛煉學生從理論到實踐的轉(zhuǎn)化能力.

圖3

（3）動畫輔助，歸納定義.

師：橢圓上的點具有什么特點？

生：橢圓上的點到兩個定點的距離之和等于常數(shù).

師：那么能不能說，到兩個定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓？

生：平面內(nèi)，到兩個定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡，才是橢圓.

師：還有補充嗎？先來觀察一個動畫，如圖4.

圖4

學生通過課件觀察隨著F1、F2距離的改變，軌跡的變化情況.從而發(fā)現(xiàn)：

2a＞|F1F2|時，軌跡是橢圓；

2a=|F1F2|時，軌跡是線段|F1F2|；

2a＜|F1F2|時，無軌跡.

師：橢圓應如何定義？

生：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

這一環(huán)節(jié)，學生通過對動畫的觀看和操作，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時，提高了學習數(shù)學的信心.教師利用自己已有的學科教學知識，提前做好動畫，幫助和引導學生更好地理解了橢圓的定義.

4.推導方程，展示成果

本環(huán)節(jié)主要目的是通過學生獨立建立直角坐標系，推導方程，從中選擇比較簡潔的形式確定為橢圓的標準方程.這是本節(jié)課的第二個重點內(nèi)容，講授時，教師讓學生自主探究、分組討論，教師在這個過程中加以引導.

師：要想得到橢圓的方程，首先要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担绾谓⒆鴺讼的兀?/p>

方案1：以F1、F2所在的直線為x軸，F(xiàn)1F2的中點為原點建立直角坐標系.

方案2：以F1、F2所在的直線為y軸，F(xiàn)1F2的中點為原點建立直角坐標系.

教師首先肯定了學生的方案的正確性，然后請學生求出在方案1所建立的坐標系下橢圓的方程（在這里規(guī)定線段AC的長度為2a，線段F1F2的長度為2c），匯報結(jié)果.按照方案1得到的方程為對這個方程進行進一步化簡.而化簡這個方程是本節(jié)課的難點所在，其關(guān)鍵是怎樣去掉等式中的根號，通過以下兩個問題來突破難點.

師：化簡含有根號的等式時，我們通常采用什么方法？對于本式是直接平方好呢，還是恰當?shù)卣碇笤倨椒胶媚兀?/p>

生：這個方程直接平方不利于化簡，而整理后再平方比較簡潔.

通過學生自己計算化簡，最后得到橢圓的方程為（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

教師打開投影儀，請幾名學生上臺展示演算過程并講解，全班一起從中選出最優(yōu)方法.

橢圓標準方程的推導環(huán)節(jié)，教師已有對平方相關(guān)知識的儲備，通過問答和展示學生成果，充分發(fā)揮學生的學習主動性，學生嚴謹?shù)膶W習精神.學生的上臺講解，既能提高學生的主動學習的意識，又能提高他們的語言表達能力，更是學生相互教育和相互學習的一種重要途徑.教師利用自己的教育專業(yè)知識和心理學知識，如何調(diào)動學生的積極性，讓更多的學生參與到課堂中，也是PCK知識應用的一個表現(xiàn).

5.例題講解，提高效率

例1下列方程哪些表示的是橢圓，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標軸上？

（2）9x2-25y2-225=0；

（3）-3x2-2y2=-1；

注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標軸上，反之亦然.

例2寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.

已知兩個焦點的坐標分別為（-4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10

變式1：將上題焦點改為（0，-4）、（0，4），結(jié)果如何？

變式2：將上題改為兩個焦點距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結(jié)果如何？

例3寫出適合下列條件的橢圓的標準方程.

解析：（法一）因為橢圓的焦點在y軸上，如圖5，

因為c=2，且c2=a2-b2，所以4=a2-b2.①

圖5

聯(lián)立①②可求得a2=10，b2=6.

由橢圓的定義知，

又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.

求橢圓的標準方程的步驟：

（1）首先要判斷焦點位置，設出標準方程（先定位）.

（2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a、b（后定量）.

6.練習小結(jié)，動畫輔助

（1）已知△ABC的一邊BC長為6，周長為16，求頂點A的軌跡方程

（2）一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程.

練習環(huán)節(jié)，學生的學習即可以延伸到課下，動畫的設計可以使學生清晰記憶動點軌跡，增強直觀性，從而使兩圓相切這一思維難題得到了更好的解決.

三、分析總結(jié)

教師利用自己已有的學科教學知識，有意識地制作多媒體課件及教具，充分利用多媒體手段，以輕松愉快的動畫演示，化抽象為形象，創(chuàng)設了直觀的課堂教學效果，化解了知識的難點.借助信息技術(shù)的應用，希望對學生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)、數(shù)學思想的建立、心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用.筆者以“橢圓的標準方程”為例，基于PCK的相關(guān)知識簡要分析信息技術(shù)在高中課堂中的應用.

1.有利于課堂中數(shù)學情境的創(chuàng)設

數(shù)學情境的設計在高中課堂中有很多體現(xiàn)，比如引入環(huán)節(jié)，比如某些抽象性概念或者嚴密的過程推理等內(nèi)容，學生往往難以理解，無法準確把握，導致教學很難達到預期的效果.

如果不借助于教師的學科專業(yè)知識，不借助于信息技術(shù)，學生往往無法激發(fā)出學習數(shù)學的興趣，難以形成對數(shù)學知識的感性認識.信息技術(shù)作為理想的數(shù)學教學情境設計工具，可以運用演示動畫進行圖文并茂的情境教學，教師可以利用自己的學科專業(yè)知識，運用動態(tài)模擬軌跡的形成過程來描述復雜抽象的數(shù)學對象關(guān)系，使學生更容易地理解數(shù)學抽象知識的形成和發(fā)展過程，提高對數(shù)學知識的感性認識，給學生提供了更多親自參與實踐的機會，從而激發(fā)學習興趣.

2.有利于學生對知識的獲取

多媒體提供的圖形、視頻、動畫等多種類型的信息能給予學生多種感官的刺激，根據(jù)科學理論，外部刺激是產(chǎn)生學習的前提條件，刺激有利于學生在認知過程中對信息進行加工，有利于加工過程各階段的強化，有利于新知識體系的建構(gòu).

信息技術(shù)還可應用于數(shù)學教學中的實驗模擬和難點突破，從而更容易獲取知識，更有效的學習.例如，高中數(shù)學中，函數(shù)與幾何部分正好是難點，教師對這兩部分知識的講解，學生由于各種原因無法直觀獲取，抽象的理解使學習大打折扣.如果教師能利用自己掌握的學科知識和信息技術(shù)，借助FLASH或幾何畫板等軟件，設計制作課件，即幫助學生克服這一難題，更快更易鞏固掌握知識.

另外，網(wǎng)絡的應用也是學生學習知識的又一大途徑.教師可以利用自己的知識，建立QQ群、博客、空間、微信等交流平臺，在課后繼續(xù)同學生探討數(shù)學問題，學生之間也可以借助這些工具進行討論，師生還可以在里面共享自己的信息.學生在課內(nèi)課外都能進行合作學習，不僅有助于提高學生的綜合素質(zhì)，而且從某種程度上還能促進師生關(guān)系的良性發(fā)展.

3.有利于課堂效率的提高

高效的課堂教學要求教師備好課，合理安排好各個環(huán)節(jié)，有大容量的教學內(nèi)容.而眾所周知，數(shù)學教學少不了板書、作圖等常規(guī)的教學手段，容量有限.一節(jié)課的時間是有限的，如果常規(guī)手段占據(jù)了太多時間，就沒辦法分出太多時間供學生練習，學習內(nèi)容與練習量不成正比非常不利于學生的學習.信息技術(shù)在課堂中的應用可以把教師從一些重復勞動中解放出來，使其有更多的時間投入到概念講解、解題分析和方法指導上.借助信息技術(shù)，教師可以對一些難點問題，把畫面定格，在某一位置進行分析、歸納，運算推理，再通過必要的板書或板演充分地展現(xiàn)給學生，既省時又省力，從而大大提高教學效率.

4.有助于教師教學水平的促進

隨著網(wǎng)絡信息技術(shù)的發(fā)展和成熟，基于因特網(wǎng)的數(shù)學教學特別適合學生進行探究學習，但網(wǎng)絡只是工具，學習方面應用的關(guān)鍵在教師，教師需熟練掌握教材及網(wǎng)絡方面的應用.作為教學中的指導者，教師是信息技術(shù)應用成功與否的關(guān)鍵因素.所以教師必須先完善自己的學科專業(yè)知識，掌握了扎實的信息技能和專業(yè)知識，就能在教學上不斷進步并促進學生高效地學習.

對教師而言，要改善教學效果，必須提高自身的素養(yǎng)及教學工具.由于信息的社會化程度高，作為高中數(shù)學教師，就要讓學生邊學邊用，而自己也需要不斷學習，成為學生的“合格導師”.教師在使用多媒體技術(shù)的過程中，需要應用某些教學軟件，而這些軟件的使用就需要教師有較為良好的計算機使用技能.因此，教師在這一過程中，其信息技術(shù)的操作技能也得到了進一步的提高.

另外，隨著網(wǎng)絡技術(shù)的發(fā)展，各種網(wǎng)上教育交流平臺的建立，為各地的教師提供了更多的交流機會.各地優(yōu)秀教師的工作經(jīng)驗在網(wǎng)上都可以得到共享，先進的教學思想教學理念及教學方法可以在網(wǎng)上得到共贏.

當然，信息技術(shù)在高中課堂的應用雖給數(shù)學教育帶來了許多有利的改變，為數(shù)學教學提供了更多的選擇，但在實際的課堂教學應用過程中，仍存在不少問題，如有些教師片面追求信息技術(shù)，忽視對教學內(nèi)容的探討，忽視學生的主體能動性的發(fā)揮.所以，我們要重視學生的主體性，也要重視教師的學科專業(yè)知識，重視這些專業(yè)知識在高中數(shù)學教學中的應用.F

*上海市松江區(qū)立項課題《基于PCK的高三數(shù)學教學設計研究》（編號：B1379）.