☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 陳德軍

新思維、新視角
——淺談函數(shù)思想學(xué)數(shù)列的教學(xué)嘗試

☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 陳德軍

函數(shù)一直是高中數(shù)學(xué)最重要的知識(shí)組成，可以這么說(shuō)，函數(shù)（即變量思想）思想自始至終圍繞著高中數(shù)學(xué)．學(xué)生從高一接觸函數(shù)概念起始，到其高考試卷壓軸問(wèn)題函導(dǎo)數(shù)分析、解析幾何最值問(wèn)題求解等，無(wú)一不圍繞變量思想在做文章．傳統(tǒng)教材中，我們還能見(jiàn)到這樣的編排：從函數(shù)—數(shù)列—三角函數(shù)，這樣編排的目的是將變量體系在高一階段就建立起來(lái)，學(xué)習(xí)的心理過(guò)程是從一般到特殊的演繹推理．

作為一種特殊的函數(shù)，數(shù)列自始至終成為了高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)、熱點(diǎn)所在．通過(guò)大量研究表明：數(shù)列知識(shí)對(duì)于區(qū)分學(xué)生頭腦中邏輯思維能力有著極大的辨別價(jià)值，我們可以看到數(shù)列有限項(xiàng)的研究是大多數(shù)同學(xué)可以掌握的，但是對(duì)于項(xiàng)數(shù)是無(wú)限項(xiàng)的數(shù)列，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的邏輯推理能力就可以清晰地辨別學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的高低；其次，數(shù)列與不等式的結(jié)合一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，近年來(lái)盡管考查頻率降低、難度有所下降，但是在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中數(shù)列與不等式的結(jié)合依舊是一道亮麗的風(fēng)景．我們不僅要問(wèn)：數(shù)列難嗎？為什么學(xué)生掌握數(shù)列極其困難呢？很多學(xué)生對(duì)于數(shù)列中基本的通項(xiàng)公式、求和公式、遞推數(shù)列的方式、求和的基本方法等都不能一一熟練掌握？談何更深層次地解決更高端的數(shù)列問(wèn)題呢？這些問(wèn)題困擾著我們的數(shù)列教學(xué)．因此，本文將從數(shù)列最本質(zhì)的特征出發(fā)，以新思維、新視角來(lái)看待數(shù)列學(xué)習(xí)中函數(shù)思想的滲透，用變量思想來(lái)提高學(xué)生對(duì)于數(shù)列知識(shí)的認(rèn)知性．

本教學(xué)是筆者在高三復(fù)習(xí)課時(shí)設(shè)計(jì)的．在本數(shù)列教學(xué)中，筆者有意識(shí)地挖掘利用教材中的函數(shù)素材，對(duì)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)思想的熏陶．（本文所選講的問(wèn)題中，都是從函數(shù)的角度展開(kāi)，實(shí)際上每個(gè)問(wèn)題都還有其他的解決方法，請(qǐng)讀者充分利用數(shù)列綜合的相關(guān)知識(shí)，從函數(shù)的視角來(lái)研究數(shù)列）

一、以函數(shù)概念為載體，合理消化數(shù)列問(wèn)題

設(shè)計(jì)意圖：本題引導(dǎo)學(xué)生掌握分析an與n、Sn與n之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，通過(guò)通項(xiàng)公式和求和公式之間的特定關(guān)系解決問(wèn)題，將函數(shù)思想滲透進(jìn)這樣的基本問(wèn)題中是看透這類(lèi)數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵．

分析：初看本題是一個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，考查了數(shù)列通項(xiàng)的意義，請(qǐng)學(xué)生分析的是第n+1項(xiàng)和第n項(xiàng)的值的差為多少？若我們將an用f（n）進(jìn)行替換，即問(wèn)題的本質(zhì)躍然紙上：即分析函數(shù)值之間的差為多少！這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題舉不勝舉，學(xué)生對(duì)其的運(yùn)算并非難點(diǎn)，而是在解決問(wèn)題過(guò)程中學(xué)生是否很自然地聯(lián)想到了函數(shù)思想，利用函數(shù)思想來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題才是對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題獲得的最大收獲．

二、以函數(shù)圖像為工具，直觀簡(jiǎn)化數(shù)列問(wèn)題

我們知道，既然數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么數(shù)列的各種通項(xiàng)公式一定具備了函數(shù)表達(dá)式的模型，教師可以將數(shù)列通項(xiàng)公式制作成一種對(duì)比的表格，使學(xué)生將兩者之間的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比認(rèn)知，這樣有利于學(xué)生理解數(shù)列作為特殊函數(shù)的特點(diǎn)，也可以培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)思想來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題的意識(shí)．

表一數(shù)列通項(xiàng)公式和函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

表二數(shù)列求和公式和函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：將函數(shù)思想與數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行整合，對(duì)于我們理解其表達(dá)式，并利用函數(shù)圖形解決數(shù)列問(wèn)題有很大的作用．教材P37“由于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為an=kn+b，因此從圖像上看，表示這個(gè)數(shù)列的各點(diǎn)均在一條直線(xiàn)上．當(dāng)k≠0時(shí)，各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=ax+b的圖像上；點(diǎn)（n，an）是一次函數(shù)y=ax+b的圖像上的一些孤立點(diǎn)．”另一方面，教師通過(guò)這樣的方式可以引導(dǎo)學(xué)生，數(shù)列中還有更多的遞推公式、求和公式、通項(xiàng)公式等，這些公式背后都隱含著一定的函數(shù)解析式，若教師能用函數(shù)的思想時(shí)時(shí)刻刻提醒學(xué)生，用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)嘗試解決數(shù)列問(wèn)題，這對(duì)于學(xué)生而言是一種眼界的開(kāi)拓，也是一種知識(shí)的融匯，有利于學(xué)生培養(yǎng)特殊和一般的數(shù)學(xué)思想，并將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的極為成熟，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)將函數(shù)圖像知識(shí)合理的整合，既高效又精準(zhǔn)．筆者建議：對(duì)于上述表一、表二，教師在教學(xué)中要對(duì)學(xué)生適當(dāng)引導(dǎo)，使學(xué)生能主動(dòng)分析和總結(jié)，對(duì)類(lèi)似的問(wèn)題歸納形成一定的知識(shí)積累，利用數(shù)列中展示的圖像關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，常常會(huì)起到意想不到的效果．

案例2：若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，ap=q，aq=p，求ap+q的值．

思路導(dǎo)引：很多同學(xué)拿到這個(gè)題目心中立馬就有方法了，以下是學(xué)生首選解法．

甲：因?yàn)閍p=q，aq=p，所以a1+（q-1）d=p，a1+（p-1）d=q，解得a1=p+q-1，d=-1.所以ap+q=0．

說(shuō)明：這兩名同學(xué)就是通過(guò)求等差數(shù)列的基本量a1、d的方法來(lái)解決該題目的．我們可以充分利用等差數(shù)列的圖像性質(zhì)解題．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)的圖像是一條直線(xiàn)，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)是分布在這個(gè)一次函數(shù)圖像上的一些離散的點(diǎn)．因?yàn)椋鸻n｝是等差數(shù)列，那么（n，an）（n∈N*）是共線(xiàn)點(diǎn)，即（p，aq），（q，ap），（p+q，ap+q）三點(diǎn)是共線(xiàn)的，然后就可以利用斜率相等來(lái)求．同時(shí)也肯定乙同學(xué)的解法本質(zhì)是直線(xiàn)的斜率．

三、以函數(shù)性質(zhì)為手段，有效分化數(shù)列問(wèn)題

案例3：已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，其公比q≠1，且bi＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，試比較a6，b6的大?。?/p>

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)最基本的分析方式是利用三要素、三大性質(zhì)，以函數(shù)性質(zhì)為手段，將數(shù)列的分析有效地分解到函數(shù)性質(zhì)中去，利用單調(diào)性、周期性等性質(zhì)有效降低了問(wèn)題解決的復(fù)雜性．通過(guò)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖像的分析，我們迅速可以找到數(shù)列問(wèn)題的突破口，來(lái)分析問(wèn)題．

思路導(dǎo)引：等比數(shù)列bi＞0（i=1，2，3，…）分q＞1或0＜q＜1討論，在指數(shù)型函數(shù)上有A（1，b1）、B（11，b11）兩點(diǎn)，由等差數(shù)列圖像是直線(xiàn)上的孤立點(diǎn)知，連接AB后，取n=6，即可判別a6，b6的大小，如圖1、圖2．

圖1

圖2

四、以構(gòu)造函數(shù)為途徑，巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)列問(wèn)題

案例4：記遞增數(shù)列｛an｝，若an=n2+λn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求λ．

設(shè)計(jì)意圖：新課程倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方法．而學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)，一方面體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)、思考與參與，另一方面也培養(yǎng)了學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)．構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是函數(shù)思想中的中心所在，其實(shí)質(zhì)是把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以函數(shù)為背景的問(wèn)題，再利用函數(shù)的有關(guān)概念、圖像、性質(zhì)來(lái)幫助解決，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法與解題能力．

評(píng)注：構(gòu)造輔助函數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題常用的手段，當(dāng)我們碰到一個(gè)比較棘手的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們也可以通過(guò)輔助函數(shù)牽線(xiàn)搭橋，從而使得問(wèn)題“柳暗花明”．

總之，在數(shù)列的教學(xué)中，我們應(yīng)重視函數(shù)思想的滲透，應(yīng)該把函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中，通過(guò)數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的相互交匯，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善，同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高．另外，對(duì)上述問(wèn)題還有許多其他的解法，應(yīng)注意引導(dǎo)與發(fā)散．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)數(shù)列和函數(shù)的綜合學(xué)習(xí)和運(yùn)用，能加深對(duì)函數(shù)的理解和對(duì)數(shù)列基本性質(zhì)的掌握，進(jìn)而形成知識(shí)的理解和靈活運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展思維的目的．借助解析式、表格、圖像，用函數(shù)的方法研究數(shù)列，幫助學(xué)生深化對(duì)數(shù)列概念的理解．

1.國(guó)麗娟.從函數(shù)視角解決數(shù)列問(wèn)題［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（9）.

2.潘佩.話(huà)說(shuō)高考試題中的函數(shù)思想的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（1）.F