“好”題還要講“好”
——高三數(shù)學復習課教學的一點體會

☉安徽省潛山縣教育局教研室王曉蘇

新一年的高考復習早已開始.由于時間緊任務重，高三數(shù)學復習課的教學不可能像講授新課那樣開展教學，其基本模式大都是首先教師引導學生把本節(jié)課要復習的知識點逐個羅列出來，然后講解事先準備好的例題.所以例題以及教師對例題的分析講解成為一節(jié)復習課的主要內(nèi)容.當然，題目本身沒有好與壞，好題是相對的，符合某個人或某群人的學習需要，能夠使其數(shù)學知識和能力高效率地得到鞏固和提高的數(shù)學題，對他們來說就是好題.但是“好”題還要講“好”.教師精辟的分析與講解不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，增強復習的信心，還能讓學生更深刻地理解基礎知識，進一步熟練掌握基本方法，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及分析和解決問題的能力，從而幫助師生擺脫題海戰(zhàn)術，以一當十，起到“做一題，通一類，悟一法”的作用.

一、要深入挖掘題目內(nèi)在的價值，不能淺嘗輒止

實例1：數(shù)列｛an｝滿足aN*.

（Ⅰ）令bn=an+1-an，n∈N*，證明數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

這是在一節(jié)高三“等比數(shù)列”的復習課上，教師作為例題講解的一道高考試題.

首先是教師的分析：要證數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，只需證非零常數(shù)，然后老師請一位學生上黑板演示（Ⅰ）的證法.

這位學生的證法如下所示.

則2an+2-2an+1=-an+1+an.

則2（an+2-an+1）=-（an+1-an）.

又bn=an+1-an，所以

又b1=a2-a1=1，故數(shù)列｛bn｝是首項為1、公比為等比數(shù)列.

學生的解法當然沒有問題，甚至可以說是完美的.遺憾的是，教師只肯定了學生解法的正確性，沒有對學生的解法與教師開始分析的思路不同而做出說明（雖然學生的證明同樣也是利用了等比數(shù)列的定義，但解題思路上明顯存在難點，即要將遞推關系式進行變形），更沒有進一步拓展.接著教師講解（Ⅱ），給出的解法如下所示.

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+1+

教師的解法當然也沒有任何問題.然而，回顧以上師生對這一題的解答，我們不難發(fā)現(xiàn)這道好的例題還有很多有價值的地方?jīng)]有發(fā)掘出來.

其一，教師關于（Ⅰ）的分析思路“要證數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，只需證非零常數(shù)，n∈N*”是證明數(shù)列是等比數(shù)列的一種通法（等差數(shù)列類似），這種方法避免了將遞推關系式變形所需的技巧，幾乎不存在任何難點，所以應該要求學生熟練掌握.

具體證明如下所示.

又b1=a2-a1=1，所以數(shù)列｛bn｝是首項為1、公比為-的等比數(shù)列.

最后教師再給出此類遞推數(shù)列問題的一般性處理方法：形如an+2=pan+1+qan（其中n∈N*，p、q為常數(shù)）的遞推關系，可通過設an+2+xan+1=y（an+1+xan），然后由解出x和y，得到等比數(shù)列｛an+1+xan｝（注：可能只有一個等比數(shù)列或an+1+xan=0），從而可將相鄰三項之間的遞推關系轉(zhuǎn)化為兩項之間的遞推關系，化難為易，化未知為熟知.

其三，（Ⅱ）的另一種解法也很有價值：在得到一個等比數(shù)列｛an+1-an｝和一個常數(shù)數(shù)列｛2an+1+an｝的通項后，可以通過聯(lián)立

二、既要注重通性、通法，又不可墨守成規(guī)

單墫教授在談數(shù)學課程改革時曾說過這樣的話“數(shù)學教師要做題.教師備課那就是備題啊，給學生做的題首先自己要會做，做得好！”然而，我們常常發(fā)現(xiàn)有些教師在講解題目時，由于沒有認真?zhèn)漕}，機械、呆板地套用所謂的題型模式，把本來用很簡單的知識或方法就能解決的問題復雜化，給學生的理解、接受帶來困難.

實例2：設函數(shù)f（x）=（-x2+ax）ex，若f（x）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.

這是一位老師在復習導數(shù)時講解的一道例題.筆者推測教師講解這道題的主要目的應該是復習導數(shù)的求法、導數(shù)與單調(diào)性的關系以及恒成立問題的處理方法.

老師給出的解法如下所示.

解：由f（x）=（-x2+ax）ex，得f′（x）=［-x2+（a-2）x+a］ex.

顯然教師給出的解法是套用了“恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍時，先分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值”的常規(guī)模式.事實上，在得到結論（1）后，完全不必要構造這樣一個復雜的函數(shù)因為不等式-x2+（a-2）x+a≥0的左邊就是一個二次函數(shù).

由圖像易知：要使結論（1）成立，只需h（1）≥0，即-1+（a-2）+ a≥0，解得

圖1

或者在得到結論（2）后，我們在同一個坐標系中作出一次函數(shù)y=a（x+ 1）和二次函數(shù)y=x2+2x的圖像，注意函數(shù)y=a（x+1）的圖像過定點（-1，0），如圖2所示.由圖像易知要使結論（2）成立，只需a（1+1）=2a≥（12+2×1）=3，解得

圖2

這兩種處理方法顯然簡單得多，而且很好地滲透了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

三、分析講解要合情合理，切忌照本宣科

這是2013年蘇錫常鎮(zhèn)四市一模試卷中的一道試題.

原卷給出的解答如下所示.

關于拮抗菌通過何種方式激發(fā)寄主產(chǎn)生抗菌物質(zhì)，涉及分子識別、信號轉(zhuǎn)導、基因表達和蛋白修飾等一系列的過程，必須從分子層面對誘導果蔬抗性的生理生化反應和基因調(diào)控情況進行探究，目前這一方面的研究還比較欠缺。

或許出題者的意圖是通過此題考查函數(shù)的對稱性（由g（x）+g（-5-x）=0知函數(shù)y=g（x）的圖像關于點對稱），但為什么由函數(shù)y=g（x）的解析式就能想到g（x）+ g（-5-x）=0呢？教師講解時對著答案照本宣科，學生一臉茫然.

所以f（x1）+f（x2）=8.

所以教師在講解題目之前，一定要自己先認真地做一遍，然后選擇一種學生易于理解的方法講解.當然，在講解的時候可以尋求多一些解法以拓寬學生的思路，但切不能丟棄最基本、最簡便的方法.

四、要重視解題后的回顧反思，避免虎頭蛇尾

由于高考復習時間緊，任務重，所以有些教師一味追求講練題目的數(shù)量，而不做解題后的回顧與反思.

數(shù)學家喬治·波利亞說：“數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”.解題反思是解題教學的重要環(huán)節(jié).反思不僅能使學生鞏固所學知識，積累基本活動經(jīng)驗，而且如果從數(shù)學思想方法上反思，體會解題中蘊含的數(shù)學思想方法，更能促進學生思維的發(fā)展，使其產(chǎn)生認識上的飛躍.

（Ⅰ）求證：f（x）≤0；

這是2014年高考北京理科數(shù)學第18題.標準答案如下所示.

解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx-sinx，得f′（x）=cosx-xsinxcosx=-xsinx.

令g（x）=sinx-cx，則g′（x）=cosx-c.

因為g（x）在區(qū)間（0，x0）上是增函數(shù)，所以g（x0）＞g（0） =0.進一步，“g（x）＞0對任意恒成立”當且僅當

上述解法屬于解決此類問題的常規(guī)方法，學生容易理解、接受.但我們?nèi)杂斜匾匦聦徱?，進行回顧與反思.

回顧與反思一：本題兩問的實質(zhì)是什么？

（Ⅰ）的實質(zhì)是證明函數(shù)f（x）的最大值不大于0；（Ⅱ）的實質(zhì)是考察函數(shù)的取值范圍.

回顧與反思二：從上述解答中了解到本題主要考查哪些基礎知識？

主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的求導、導數(shù)與單調(diào)性的關系.

回顧與反思三：解答中涉及的基本方法是什么？

通過構造函數(shù)，把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（值域）問題，這是解決函數(shù)題中出現(xiàn)不等式問題的基本方法.

回顧與反思四：有沒有不同的思路？是否可以用其他的方法求解？

（Ⅰ）既然是證明不等式，我們就按照證明不等式的思路進行分析：要證f（x）≤0，即證xcosx-sinx≤0?xcosx≤sinx.

所以要證原不等式成立只要證x≤tanx成立.

圖3

有人說數(shù)學題目是做不盡的，但也有人說數(shù)學題目是可以做盡的.雖然我們不能說哪種講法一定正確，但至少說明作為教師不能自己盲目講題，讓學生盲目做題，而要真正做到精選精講，多思多想，這樣才能切實減輕教師和學生的負擔，實施素質(zhì)教育，實現(xiàn)“高質(zhì)輕負”.A