☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 童揚(yáng)平 徐章韜

在習(xí)題的講解過程中滲透數(shù)學(xué)的思想與方法*

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 童揚(yáng)平 徐章韜

一、引言

要解決“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象.很多老師可能都有這樣的困惑：講解習(xí)題時(shí)，講得非常清楚了，學(xué)生卻不能理解；或者學(xué)生聽“懂了”，遇到類似的習(xí)題還是不知道該如何動(dòng)手；學(xué)生能聽懂老師的講解，可是自己做題時(shí)就是難得“想到點(diǎn)子上”.學(xué)生能聽懂，卻不會(huì)想，這表明教師只是教會(huì)學(xué)生某些具體的招式，卻沒有教會(huì)學(xué)生思考.有可能講解過程只是展示了思維的結(jié)果，卻沒有幫助學(xué)生經(jīng)歷思維的過程.在思維過程中，體現(xiàn)了運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法解決問題的方式.如果只是就題論題，沒有思維的過程，會(huì)出現(xiàn)許多“不自然”的地方，有些步驟就好像從天而降，也因此學(xué)生很難真正地從教師講解習(xí)題中有所收獲.教師講解習(xí)題時(shí)，應(yīng)該明白解題中蘊(yùn)含的思想方法，并結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生經(jīng)歷思維的過程，從而“自然地”弄懂解題過程.只有真正的“懂了”，意識(shí)到解題所用到的思想方法，學(xué)生才能更加靈活地解決問題［1］.

二、現(xiàn)象描述

某師范院校的六位數(shù)學(xué)免費(fèi)師范生，在一所重點(diǎn)高中見習(xí).學(xué)校安排每個(gè)人在不同的班級(jí)講一節(jié)課，內(nèi)容是“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”.他們講解的過程表述十分清楚、明了，學(xué)生完全能夠“聽懂”教師的講解，可是卻不能夠靈活應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決問題.本文將對(duì)這一次的講解過程進(jìn)行具體的分析，探究教師是如何讓學(xué)生“聽懂的”，學(xué)生的這種“懂了”是真還是假.

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系

如圖1，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y），MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線.根據(jù)圖1，利用勾股定理得到了sin2α+cos2α=1，并且利用比值關(guān)系得到了.關(guān)于這一部分的講解過程不是本文的重點(diǎn)，所以在此不再贅述.

圖1

2.講解例題

問題2：已知tanα=1，求sinα、cosα.這個(gè)問題是為了幫助學(xué)生鞏固對(duì)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系”的理解和應(yīng)用，也是希望學(xué)生能夠利用方程解題，并且考慮角所在的象限.但是問題出來之后，有學(xué)生利用幾何方法得到了結(jié)果.作出三角函數(shù)線得到圖2，利用△ATO∽△MPO，得到兩個(gè)直角三角形的斜邊與直角邊的比值相等，從而算出一組結(jié)果.

學(xué)生的解題結(jié)果中只包含了第一象限時(shí)的情況，而忽略了第三象限時(shí)的情況，但是師范生并沒有分析學(xué)生的解題過程，而是直接就利用第一題的講題模式開始講解.仍舊先判斷角α所在的象限，然后分情況討論得到結(jié)果.

問題3：已知tanα=m，求sinα、cosα.

此時(shí)，正切值不再是一個(gè)確定的值，所以角α所在的象限不能夠確定.當(dāng)師范生請(qǐng)學(xué)生說解題思路時(shí)，大多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)出不自信，不知該如何著手.有學(xué)生說，進(jìn)行分類，分成m＞0和m＜0，然后每一種分類對(duì)應(yīng)著兩組解.然后師范生帶領(lǐng)學(xué)生按照這種思路解題，得到了六組解，最后進(jìn)行綜合成了四組解.

圖2

三、分析與討論

在聽課的過程中，師范生講解完前兩個(gè)例題，筆者詢問周圍的學(xué)生：“懂了沒有”，他們都非常自信的說：“懂了”.但是，當(dāng)他們看到第三題時(shí)，大多數(shù)都表現(xiàn)得很不自信，有點(diǎn)兒不敢動(dòng)手做.其實(shí)，讀者很容易看到第三個(gè)題目與前兩個(gè)是非常類似的，唯一的區(qū)別就是正切值不是確定的，如果學(xué)生對(duì)前面兩題真的懂了就不會(huì)表現(xiàn)得如此不自信，因此可以看出學(xué)生的這種“懂了”并非真正意義上的“懂了”.接下來，筆者將對(duì)三個(gè)問題的講解過程進(jìn)行詳細(xì)的分析，探討出現(xiàn)上述“懂而不會(huì)”的問題的真正原因.

對(duì)于問題1，從學(xué)生給出的答案，可以看出他們已經(jīng)知道運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程求解了，而且計(jì)算也是正確的.只不過他們?cè)趯懘鸢笗r(shí)，沒有注意到這代表著四組結(jié)果.教師的講解，一開始就對(duì)α進(jìn)行討論，首先對(duì)角分象限，討論當(dāng)角分別在第三和第四象限時(shí)，對(duì)應(yīng)的余弦和正切值.學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑問：“為什么在開頭就要討論角的象限，明明對(duì)任何角都有sin2α+，我一開始就能列出方程.”再遇到類似的題目時(shí)，有的學(xué)生還是用自己原來的方法，而盲目接受老師觀點(diǎn)的學(xué)生一開始就會(huì)分類，根本不能明白為什么要這么做，這樣的教學(xué)效果可想而知.實(shí)際上，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解三角函數(shù)就是一種方程思想，之所以會(huì)分出不同的情況，只是因?yàn)榻夥匠虝r(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)根.開始時(shí)對(duì)角所在的象限進(jìn)行討論有如從天而降，并不符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯，也不符合方程的思想.

對(duì)于問題2，有學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法解題可能是老師始料未及的.雖然結(jié)果并不完整，但是很明顯這位學(xué)生在這一題中很好地應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的方法，教師不應(yīng)該不予理會(huì).正確的處理方法應(yīng)該是先肯定學(xué)生的思維，給予他表揚(yáng)和鼓勵(lì).但是老師也需要指出來，如果說正切值變得更加復(fù)雜甚至于變成一個(gè)代數(shù)式子時(shí)，這種方法就不再巧妙了.而且用幾何方法解題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)漏掉一個(gè)象限的情況.所以稱贊之后，還是要重點(diǎn)講解利用方程組解題的方法.

對(duì)于問題3，這是這一節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，方程的思想也得到了充分的體現(xiàn).教師對(duì)這一題的處理明顯也非常的不自然，不管m的正負(fù)如何，都有sin2α+cos2α=1，完全沒必要先對(duì)m進(jìn)行分類.

問題1和問題2都是教材上的例題，教材編寫這兩個(gè)問題的意圖很明顯，是希望學(xué)生能夠利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程求解三角函數(shù)值，分類討論只是因?yàn)榻堑恼?fù)決定了角所在的象限，并不是解決問題的必要步驟.教師的講解過程沒有意識(shí)到這一點(diǎn)，只是照本宣科地把教材中的解答過程給學(xué)生“講”了一遍，這樣講解習(xí)題學(xué)生也能聽的懂，但是缺乏真正的啟發(fā)，學(xué)生難以體會(huì)解題中所蘊(yùn)含的真正的思想方法，沒有經(jīng)歷將新知識(shí)化歸為已有的知識(shí)的心理過程，所以出現(xiàn)“懂而不會(huì)”也就在所難免了.問題3的出現(xiàn)本身可以幫助學(xué)生進(jìn)一步地鞏固對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的理解，但是教師的講解卻完全模仿前面的解題步驟，使得這一節(jié)課的習(xí)題講解成了典型的“題型+技巧”模式.這種模式就是教師講學(xué)生看，學(xué)生再模仿老師的解題過程進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中本應(yīng)該經(jīng)歷的直覺、想象、類比、概括等一系列思維過程，使得學(xué)生在解題中不顧題目的具體特征而照搬技巧，完全不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練價(jià)值.

四、總結(jié)與思考

解題教學(xué)占據(jù)了教學(xué)的大部分時(shí)間，學(xué)數(shù)學(xué)也離不開解題，學(xué)生通過解題可以加深對(duì)概念的理解，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高自身分析和解決問題的能力.著名的數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”；羅增儒說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)”.解題教學(xué)的過程就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知、發(fā)展智力、提高能力的過程，當(dāng)然也是幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)解題”的過程.解題教學(xué)不應(yīng)該只注重“題型+技巧”，而是要注重思想和方法的滲透，因?yàn)樗枷牒头椒ㄊ菍?duì)知識(shí)融會(huì)貫通的理解和升華，而“題型+技巧”只是通過強(qiáng)化訓(xùn)練達(dá)到能夠熟練地解決舊問題.至于該如何在講解習(xí)題的過程中滲透思想和方法，我們認(rèn)為需要從以下幾個(gè)方面入手.

1.精選能夠體現(xiàn)思想和方法的習(xí)題

要想講好習(xí)題課，首先教師得選擇好的習(xí)題，也就是能夠體現(xiàn)思想和方法的習(xí)題，那么何謂能夠體現(xiàn)思想和方法的習(xí)題呢？數(shù)學(xué)是自然的、清楚的，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展是自然而然的，而數(shù)學(xué)的思想和方法就是其本質(zhì)和精要所在，所以能體現(xiàn)思想和方法的好習(xí)題應(yīng)該也是自然的、清楚的，它們應(yīng)該具備以下特征：首先，與重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相關(guān)，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的關(guān)聯(lián)性；其次，解題的方法是自然、多樣的，同時(shí)對(duì)學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)；再次，表述清晰、明了、流暢.有些偏題、怪題，把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行生硬的疊加，故意制造出大量的障礙，使原本簡單的數(shù)學(xué)概念變得晦澀難懂，不利于提高學(xué)生的思維素質(zhì)和創(chuàng)造性.

2.給予學(xué)生思考的權(quán)利

根據(jù)奧蘇泊爾的有意義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生有意義的接受學(xué)習(xí)需要經(jīng)過一系列積極的思維將新知識(shí)融入到已有的知識(shí)系統(tǒng)中，也就是說即便是接受學(xué)習(xí)也需要學(xué)生主動(dòng)地參與思維過程，而不是被動(dòng)地“被告知”.因此，學(xué)生要做到真正的“懂了”而且“會(huì)用”，還需要學(xué)生自己獨(dú)立地思考、嘗試、探究，要親自經(jīng)歷概念的概括過程，結(jié)論的歸納過程，以及結(jié)論推理的演繹過程.教師提出問題之后，要給學(xué)生足夠的時(shí)間讓他們自己嘗試著去解決，教師要做的是循循善誘，給予心智的啟迪，而不是越俎代庖剝奪學(xué)生思考的權(quán)利，“牽”著學(xué)生的鼻子走.

3.提高教師自身的數(shù)學(xué)教學(xué)水平

當(dāng)教師把某一種題型向?qū)W生講了多次而學(xué)生還不會(huì)做的時(shí)候，教師就應(yīng)該開始問自己，“是否了解所教內(nèi)容所蘊(yùn)含的思想和方法？”“是否懂得學(xué)生解決這一問題關(guān)鍵要克服什么？”“自己講授習(xí)題的方式學(xué)生能不能懂？”出現(xiàn)“懂而不會(huì)”的情況，我們要懷疑的往往是自身的數(shù)學(xué)教學(xué)水平是不是有待提高，而不應(yīng)該一味地去懷疑學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.因此，在講授習(xí)題的過程中進(jìn)行思想和方法的滲透，也需要教師不斷地提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)水平.

1.章建躍.為什么學(xué)生聽懂了卻不會(huì)用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2010（12）.

2.熊惠民.數(shù)學(xué)思想方法通論（第二版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2012.

3.徐章韜.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)——基于數(shù)學(xué)發(fā)生的視角［M］.北京：科學(xué)出版社，2013.A

*本文系華中師范大學(xué)研究生教學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教育方向研究生學(xué)術(shù)能力提升的研究”（編號(hào)：2013JG37）的階段性研究成果.