☉江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué) 錢(qián)雨森

過(guò)程重于結(jié)果，思維精益求精
——一道導(dǎo)數(shù)綜合題的課堂思維導(dǎo)引

☉江蘇省如東縣掘港高級(jí)中學(xué) 錢(qián)雨森

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合問(wèn)題，在歷年各省市的高考命題中常以把關(guān)題或壓軸題的形式出現(xiàn)，對(duì)同學(xué)們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求.同樣一道題目，面對(duì)不同的解題對(duì)象，有的解法繁，有的解法簡(jiǎn)，有的草紙遍地，有的一望而答，有的順利求解，有的半途而廢.可見(jiàn)問(wèn)題的分析過(guò)程至關(guān)重要.本文以一道導(dǎo)數(shù)綜合題為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思維過(guò)程的優(yōu)化.

一、問(wèn)題引出

導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的有力工具，導(dǎo)數(shù)的引入使函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、零點(diǎn)等問(wèn)題的解答實(shí)現(xiàn)了程序化的處理.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用導(dǎo)數(shù)法求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，那么反過(guò)來(lái)，如果已知含參函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，讓我們求參數(shù)的范圍，應(yīng)如何處理？

題目已知函數(shù)f（x）=（2ax-x2）eax，其中a為常數(shù)，且a≥0.

（1）略；

本題綜合性強(qiáng)，思維含量高，對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)基本功提出了更高的要求，要完整順利地解答本題，不僅需要我們具有鍥而不舍的精神和頑強(qiáng)的毅力，還需要具有較強(qiáng)的運(yùn)算推理能力和探索創(chuàng)造精神.請(qǐng)同學(xué)們思考后，給出解答方法.

二、問(wèn)題探究

思考幾分鐘后，教師請(qǐng)有思路的同學(xué)回答.

生1：我們也可以先求單調(diào)區(qū)間，再將所給的范圍置于相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，通過(guò)解不等式求解參數(shù)的范圍.

師：思維直接，銜接前后，具體如何操作？

生1：求導(dǎo)得f′（x）=［-ax2+（2a2-2）x+2a］eax，令f′（x）= 0，即-ax2+（2a2-2）x+2a=0，利用求根公式得……

師：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)理不等式求解，思路可行，但實(shí)際操作過(guò)程中難度較高.能否轉(zhuǎn)變一下思維？

生2：利用導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上的正負(fù)符號(hào)，可得函數(shù)在該區(qū)間上的增減性，反之，若已知函數(shù)在某區(qū)間上的增減性，也可得到導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間的正負(fù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該區(qū)間內(nèi)不等式恒成立問(wèn)題求解.

師：思維更上一層樓，但導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求，不等式如何解？

生3：不一定直接求零點(diǎn)，前面我們學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，討論所給區(qū)間與零點(diǎn)的關(guān)系.

師：非常好，將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化我們所熟悉的問(wèn)題求解.繼續(xù).

生3：當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-2x，顯然f′（x）≤0對(duì)任意x∈恒成立.

當(dāng)a＞0時(shí)，易知判別式Δ=（2a2-2）2+8a2＞0恒成立，故二次函數(shù)g（x）=ax2-（2a2-2）x-2a有兩個(gè)零點(diǎn).

師：至此問(wèn)題得到解決，我們?cè)賹徱曇幌?，在?wèn)題的求解中仍需要求解無(wú)理不等式，對(duì)此能否進(jìn)一步優(yōu)化？

生4：可通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的正負(fù)，來(lái)避免解答無(wú)理不等式.

當(dāng)a＞0時(shí)，令h（x）=ax2-（2a2-2）x-2a，則函數(shù)h（x）的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

師：還有沒(méi)有其他解法？

貓眼女人看著他。她用指頭沾點(diǎn)地上的血，舉到鼻子上聞了聞。她明白了什么。她說(shuō)那你等著吧，我叫人送錢(qián)來(lái)！貓眼女人打個(gè)電話(huà)，一輛黑色的奔馳商務(wù)車(chē)開(kāi)過(guò)來(lái)，嘎地一聲在他跟前停下。車(chē)上下來(lái)幾個(gè)穿黑衣黑褲手里拎鋼管的大漢，揪著大福的脖領(lǐng)子問(wèn)那疼。大福手指指腰，鋼管就砸到腰上；大福手指指腿，鋼管就砸到腿上。直砸得他渾身青腫，跪在地上求饒才罷手。

生5：對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，如果能實(shí)現(xiàn)參數(shù)分離，可考慮用分離參數(shù)法求解！可是不等式ax2-（2a2-2）x-2a≥0中的a卻不能分離出來(lái).

師：當(dāng)參數(shù)不能單獨(dú)分離時(shí)，應(yīng)如何考慮？

生6：可考慮參數(shù)整體分離.

當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）≤0等價(jià)于ax2-（2a2-2）x-2a≥0.

師：本題的解答需要同學(xué)們具備頑強(qiáng)的品質(zhì)，并保持思路清晰，目標(biāo)明確，及時(shí)變通，方法得當(dāng)，才能順利得解.成功地解答一道題目，我們不應(yīng)滿(mǎn)足于此，而應(yīng)對(duì)相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行多角度變式探究，這樣既可以鍛煉我們的解題思維，又能培養(yǎng)解題能力.

變式1：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生7：題意等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2+2ax+1≤0對(duì)任意恒成立，即二次方程f（′x）=0的兩根中，一根小于或等于，一根大于或等于

變式2：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.

（1）略；

生8：f′（x）=3x2+2ax+1，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′（x）在區(qū)間）內(nèi)有零點(diǎn).

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下四種形式.

圖1

圖2

圖3

圖4

列出不等式組求解：

生9：利用命題的否定，求參數(shù)的范圍，再運(yùn)用補(bǔ)集思想求出答案.

綜上，每種方法的適用性可能有所局限，在不同特征的題型中應(yīng)選取不同的方法，各種方法又不是相互獨(dú)立的，往往需互相結(jié)合使用，切不可被所謂方法局限思維，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大忌.因此，平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，要進(jìn)一步加強(qiáng)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，加強(qiáng)推理探索的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生勇往直前的頑強(qiáng)品質(zhì)，提高學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.A