☉湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強

五套高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材例習(xí)題的比較研究
——以“函數(shù)的應(yīng)用”為例

☉湖北省黃石市第一中學(xué) 楊瑞強

按高中新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的高中數(shù)學(xué)教科書有人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版等五套，它們目前已經(jīng)被全國15個實驗區(qū)廣泛選擇使用.在數(shù)學(xué)教材中，例題和習(xí)題是重要的組成部分，它是師生進行有效教與學(xué)的重要載體，它的配置數(shù)量、類型、綜合難度等方面都直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，因此有必要對高中數(shù)學(xué)教材中的例習(xí)題進行比較分析.本文以《數(shù)學(xué)1》中的第三章“函數(shù)的應(yīng)用”的例習(xí)題為研究對象，對現(xiàn)行五套高中數(shù)學(xué)教材中例習(xí)題的配置數(shù)量、類型、綜合難度等方面進行比較研究，探悉高中數(shù)學(xué)新教材中例習(xí)題結(jié)構(gòu)體系設(shè)置的一些特點，并對教材中例習(xí)題的編寫和修訂給出自己的思考和建議.

一、例習(xí)題數(shù)量的比較

高中課標(biāo)對本章的內(nèi)容劃分為兩節(jié)，規(guī)定的課時數(shù)約9課時，其中“函數(shù)與方程”約3課時，“函數(shù)模型”約4課時，“小結(jié)與復(fù)習(xí)”約2課時.

表1：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的例習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計比較

統(tǒng)計方法說明：按題號統(tǒng)計，其中明確指出小題號的分別按一題算.

經(jīng)表1統(tǒng)計表明：（1）五套課標(biāo)教材的例題題量，除湘教版外，其他四種版本的差異并不大.人教A版共8個例題，人教B版共9個例題，北師大版共10個例題，湘教版共4個例題，蘇教版共9個例題.可見，多套課標(biāo)教材的例題題量基本上都保持在平均每課時1道題左右.（2）五套課標(biāo)教材的習(xí)題題量的差異卻十分明顯.從表1可以算得，平均每課時習(xí)題量分別為：人教A版約6.1題，人教B版約7.9題，北師大版約3.2題，湘教版約4.2題，蘇教版約5.0題.相對而言，人教B版的習(xí)題最多，北師大版的習(xí)題最少，最多與最少的題量相差4.7題/課時（前者是后者兩倍還多）.當(dāng)然，人教B版的習(xí)題多的原因是課程劃分比較細致，它將此內(nèi)容穿插于兩章內(nèi)容中講解，分“函數(shù)應(yīng)用（Ⅰ）”（第二章內(nèi)容）、“函數(shù)與方程”和“函數(shù)應(yīng)用（Ⅱ）”（第三章內(nèi)容）；人教A版單獨成為一章內(nèi)容，習(xí)題也較多；而其他三種版本均在一章中的兩小節(jié)講解，習(xí)題自然較少.

二、習(xí)題類型的比較

為進一步說明的方便，我們可將五套課標(biāo)教材中“函數(shù)的應(yīng)用”的習(xí)題劃分為九類，分別為選擇題、填空題、計算題、簡答題、作圖題、證明題、應(yīng)用題、探究題和利用計算機或計算器完成的題，其中簡答題包含的范圍比較廣：判斷、敘述、舉例、寫作等都歸入這一類.

表2：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)習(xí)題九種類型統(tǒng)計對比

統(tǒng)計方法說明：按題號統(tǒng)計，其中明確指出小題號的分別按一題算.

經(jīng)表2統(tǒng)計對比表明：五套課標(biāo)教材的習(xí)題各種題型的數(shù)量分布均有不同.應(yīng)用題型含量都相對較大，其次計算題和探究題含量差異相對也較大，選擇題、填空題的含量都相對較小，作圖題人教A版和湘教版含量相對其他版本稍大，而簡答題人教B版和蘇教版含量相對其他版本稍大.

綜合以上方式統(tǒng)計對比表明，五套課標(biāo)教材的題型在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面各有側(cè)重點，以下通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)和具體例子說明習(xí)題類型的特點.

1.應(yīng)用題型占絕對主導(dǎo)地位

一方面，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促使學(xué)生逐漸形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力.另一方面，“函數(shù)的應(yīng)用”重在生活實際中的應(yīng)用，用函數(shù)模型解決實際問題.因此教材在習(xí)題編寫時，都注重了應(yīng)用題題型的主導(dǎo)地位，在較強的生活背景中，讓學(xué)生感受函數(shù)的廣泛應(yīng)用.從數(shù)量上看，人教A版15題，人教B版19題，北師大版12題，湘教版11題，蘇教版13題.從此類題目占總題量的百分比來看，人教A版占27.3%，人教B版占26.8%，北師大版占40.0%，湘教版占28.9%，蘇教版占28.9%.所有這些，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)對學(xué)生的要求“能初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題”.

2.重視計算機（器）的計算與探究功能

在本章中，由于方程的近似解一般都涉及較復(fù)雜的計算，多處函數(shù)應(yīng)用問題也涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此，部分題目明確或間接要求借助計算機（器）來完成，體現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容整合的思想.據(jù)統(tǒng)計，教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”中要求用計算機（器）完成的題目數(shù)量分別為：人教A版15題，人教B版11題，北師大版4題，湘教版4題，蘇教版4題.從此類題目占總題量的百分比來看：人教A版占27.3%，人教B版占15.5%，北師大版占13.3%，湘教版占10.5%，蘇教版占8.9%.無論是從絕對數(shù)量，還是從題目所占總題量的百分比來看，都是人教A版的多一些.借助計算機（器），更有利于學(xué)生探索問題，減少煩瑣計算，特別是一些實際問題，為方便筆算，以往都是經(jīng)過人為的簡化，而現(xiàn)在借助信息技術(shù)可以較容易解決.

3.突出研究性與開放性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

新課程主張，通過對問題的探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并在此過程中養(yǎng)成主動思考、積極探索的習(xí)慣.從探究型題目所占總題量的百分比來看：人教A版占12.7%，人教B版占2.8%，北師大版占6.7%，湘教版占15.8%，蘇教版占6.7%.存在型、操作型、開放型等探究性題型在五套課標(biāo)教材中各有體現(xiàn).相比而言，人教A版和湘教版對探究型題目更重視一些.部分題目答案不唯一，有助于學(xué)生自己發(fā)揮.如人教A版第106頁練習(xí)第1題：“根據(jù)所求函數(shù)的圖像，對這個公司的經(jīng)濟效益做出簡要分析”，人教A版第107頁習(xí)題3.2第5題：“分析這位游客的決定是否太冒險”，蘇教版第95頁習(xí)題2.6第5題：“估計施肥量為40kg時水稻的產(chǎn)量”，第6題“請你預(yù)測今年7，8兩個月的月利潤”等.要求學(xué)生自己“分析”、“估計”、“預(yù)測”來解決問題，也是新教材的一大亮點.

4.受制于本章內(nèi)容特點，證明題相對偏少

證明題也稱論證題，其基本形態(tài)是：給出一定的假設(shè)條件或已知條件，要求學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)的公理化體系，運用已知的公理、公設(shè)、法則、定理和公式等熟悉的知識與方法，合乎邏輯地推導(dǎo)和斷定試題中指定的結(jié)論.本章在證明題的設(shè)置上，人教A版占0%，人教B版占1.4%，北師大版占3.3%，湘教版占2.6%，蘇教版占6.7%.相比其他章節(jié)內(nèi)容，五套課標(biāo)教材在本章中的證明型習(xí)題的設(shè)置相對偏少了一些.即便如此，五套課標(biāo)教材所設(shè)置的極少量證明題也主要是集中在“函數(shù)的零點”的有關(guān)證明上.事實表明，證明題相對偏少與本章內(nèi)容特點有著極大的關(guān)系.

三、訓(xùn)練系統(tǒng)的難度模型

本文下面擬運用鮑建生教授在其博士論文《中英兩國初中數(shù)學(xué)課程綜合難度的比較研究》中建立的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，對五套課標(biāo)教材《數(shù)學(xué)1》中“函數(shù)的應(yīng)用”的習(xí)題（包括練習(xí)題、例題和復(fù)習(xí)參考題）進行難度分析.

表3：訓(xùn)練系統(tǒng)難度因素和等級水平的量化指標(biāo)

量化指標(biāo)說明：以上每個指標(biāo)從上往下分別權(quán)重賦值為1，2，3，4.

下面表4、表5是五個難度因素的量化指標(biāo)統(tǒng)計.

表4：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的例題難度量化指標(biāo)

由統(tǒng)計結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的例題難度量化指標(biāo)為：（1）知識量的加權(quán)平均分別為2.38、2.11、2.00、2.00、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，北師大版和湘教版含量較其他版本稍??；（2）要求量的加權(quán)平均分別為2.88、2.67、2.80、2.25、2.56，人教A版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍??；（3）背景量的加權(quán)平均分別為2.50、2.67、2.50、1.50、1.89，人教B版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍??；（4）運算量加權(quán)平均分別為2.50、2.44、2.40、2.25、2.11，人教A版的含量較其他版本稍大，蘇教版的含量較其他版本稍?。唬?）推理量加權(quán)平均分別為2.75、2.44、2.80、2.50、2.67，北師大版的含量較其他版本稍大，人教B版的含量較其他版本稍小.

表5：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的習(xí)題難度量化指標(biāo)

由統(tǒng)計結(jié)果表明，人教A版、人教B版、北師大版、湘教版、蘇教版五套教材的習(xí)題難度量化指標(biāo)為：（1）知識量的加權(quán)平均分別為2.35、2.11、2.03、1.97、2.02，人教A版的含量較其他版本稍大；（2）要求量的加權(quán)平均分別為2.36、2.25、2.30、2.37、2.31，各版本的含量基本持平；（3）背景量的加權(quán)平均分別為2.04、1.89、1.90、1.82、2.07，蘇教版的含量較其他版本稍大，湘教版的含量較其他版本稍小；（4）運算量加權(quán)平均分別為2.16、220、2.17、2.16、2.13，各版本的含量基本持平；（5）推理量加權(quán)平均分別為2.20、2.10、2.20、2.18、2.18，人教B版的含量較其他版本稍小，其他各版本的含量基本持平.

表6：五套課標(biāo)教材必修1“函數(shù)的應(yīng)用”訓(xùn)練系統(tǒng)的綜合難度比較

說明：確定每個訓(xùn)練系統(tǒng)的綜合難度，主要從例題難度和習(xí)題難度兩個方面進行考慮，例題和習(xí)題的知識量、要求量、背景量、推理量和運算量五個難度因素的權(quán)重，通過層次分析法依次確定為0.25，0.20，0.10，0.20，0.25.

四、研究分析結(jié)果

主要根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照五個難度因素分別進行比較，再利用綜合難度模型進行整體的分析，得出比較結(jié)論，并從相同點和不同點兩個角度給出相應(yīng)的定性結(jié)論.

1.相同點

（1）習(xí)題難度量化五個指標(biāo).

知識量方面：基本上以一個或兩個知識點為主.

要求量方面：基本上以理解、運用和要求為主，且五種版本基本持平.

背景量方面：背景比較單一，以公共常識為主，涉及個人生活的背景較少.

運算量方面：以數(shù)字運算為主，且涉及利用信息技術(shù)輔助計算的題目較多.

推理量方面：基本上以單一推理為主，且五種版本基本持平.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標(biāo)教材中的知識量、要求量、背景量、推理量和運算量五個方面，例題基本大于習(xí)題（除個別版本基本持平外）.

②五套課標(biāo)教材中例題的難度比習(xí)題的難度大0.30左右（除湘教版基本持平外）.

③五套課標(biāo)教材中的例習(xí)題的綜合難度基本持平（人教A版稍高）.

2.不同點

（1）習(xí)題難度量化五個指標(biāo).

知識量方面：人教A版明顯高于其他版本，湘教版明顯低于其他版本.

要求量方面：五種版本在探究性題目數(shù)量上差異較大，人教A版7題，北師大版2題.

背景量方面：蘇教版和人教A版背景類型較其他版本豐富，且含量相對也較高.

運算量方面：涉及簡單符號運算的差異較大，需利用信息技術(shù)輔助計算的題目數(shù)量也有所不同.

推理量方面：人教A版和北師大版的推理量稍大，且涉及一定數(shù)量的簡單推理和復(fù)雜推理.

（2）綜合難度模型的整體分析.

①五套課標(biāo)教材中例題的難度差異較大，依次為2.61、2.43、2.49、2.18、2.32，五套課標(biāo)教材中例題的難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

②五套課標(biāo)教材中習(xí)題的難度差異甚小，依次為2.25、2.13、2.14、2.13、2.15，五套課標(biāo)教材中習(xí)題的難度從大到小依次是人教A版、蘇教版、北師大版、人教B版、湘教版.

③五套課標(biāo)教材中例題與習(xí)題的綜合難度差異較大，分別為2.43、2.28、2.32、2.15、2.23，五套課標(biāo)教材中例題與習(xí)題的綜合難度從大到小依次是人教A版、北師大版、人教B版、蘇教版、湘教版.

五、教材修訂建議

主要根據(jù)上述研究結(jié)論，本人對人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材訓(xùn)練系統(tǒng)的修訂提出幾點切實可行和具有參考價值的建議.

1.關(guān)于例習(xí)題配置數(shù)量方面

例習(xí)題是教材的重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面起著舉足輕重的作用.關(guān)于例習(xí)題數(shù)量方面，事實上，例習(xí)題的多與少，僅是教材中例習(xí)題研究的表面現(xiàn)象，而深層次的是例習(xí)題適度的研究，這取決于知識內(nèi)容的多少和要達到的程度，也就是課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求.科學(xué)的例習(xí)題量的確定，應(yīng)從理論研究到實踐中教師的經(jīng)驗再到學(xué)生成績的反饋進行反復(fù)的試驗，是需要專家和學(xué)者共同的努力.

2.關(guān)于例習(xí)題的類型設(shè)置方面

新教材增加了少量的選擇題和填空題（這一點在本章中的體現(xiàn)不明顯，它與本章的內(nèi)容特點有關(guān)），同時，新教材打破了在常規(guī)數(shù)學(xué)中僅有傳統(tǒng)題型（這里指的是作圖題、證明題、計算題和簡答題），還增設(shè)了探究題和信息技術(shù)題，探究題不僅激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣；信息技術(shù)題借助計算機（器），更有利于學(xué)生探索問題，減少了煩瑣的計算.

3.關(guān)于例習(xí)題難度方面

通過對例習(xí)題的難度對比可知，除去計算量指標(biāo)之外，其他四項難度指標(biāo)，人教A版教材都最高，主要體現(xiàn)在知識量大、探究成分多、知識背景豐富等方面，很多教師反映部分例題和習(xí)題設(shè)置過難.知識量大，對學(xué)生的綜合能力要求自然就高；探究成分過多，勢必造成課時不足，眾多教師反映按時完成教學(xué)任務(wù)存在困難.如教材第97頁的例2，解答繁長，計算量大，達不到使學(xué)生對不同增長的函數(shù)模型的體驗；第107頁的習(xí)題A組第1題、習(xí)題B組第1題等難度過大.例習(xí)題配置還需優(yōu)化，建議刪去習(xí)題中難度過大、探究過程復(fù)雜的題目，適當(dāng)增加中檔題，考慮到與高考題的搭配，是否在一冊書末增加一個復(fù)習(xí)與提高專欄供老師和學(xué)有余力的學(xué)生選用，不以習(xí)題形式出現(xiàn)，也不作統(tǒng)一要求.

4.關(guān)于信息技術(shù)要求方面

雖然信息技術(shù)的使用是社會發(fā)展的必然之路，但是必須考慮到信息技術(shù)受條件制約嚴(yán)重的問題.人教A版教材在編寫上大量使用計算機（本章直接或間接需要使用計算機（器）的題目占本章總題量的百分比為27.3%，明顯高于其他版本教材），對信息技術(shù)的要求非常高，但是受當(dāng)前我國客觀條件的限制，有的學(xué)校很難做到使用現(xiàn)代化信息技術(shù)解決問題.學(xué)生不能使用計算機作函數(shù)的圖像，達不到要求的教學(xué)效果.另外，信息技術(shù)在課堂上可以使用，但高考數(shù)學(xué)能否使用？人教A版沒有考慮到地域的差異限制，還有待完善.建議教材在例習(xí)題編寫時注意地域差異，適量使用計算機，使用量不宜過多，不能過于復(fù)雜.

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