☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張寧

軸對(duì)稱(chēng)搭臺(tái)，相似三角形唱戲
——淺談一道聯(lián)考試題的分析過(guò)程及對(duì)講評(píng)設(shè)計(jì)的兩點(diǎn)思考

☉寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張寧

一、前言

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2014年第8期刊載了王四寶老師的文章《一道聯(lián)考試題的分析過(guò)程與講評(píng)設(shè)計(jì)》（下稱(chēng)文1），王老師對(duì)2013年浙江省紹興市中考試題中的一道填空題進(jìn)行了深度解讀，并以此題為數(shù)學(xué)活動(dòng)素材，設(shè)計(jì)了兩個(gè)有趣的探究活動(dòng)，不僅對(duì)本題的解答過(guò)程分析的一清二楚，而且對(duì)本題也做了拓展性的研究.從文1可以看出，王老師通過(guò)添加四條輔助線，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、證明“三點(diǎn)共線”的方法、面積法等知識(shí)與方法給出了本題的分析過(guò)程.這里有兩點(diǎn)值得大家思考，一是文中添加的輔助線和所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)之多，著實(shí)令人望而生畏.二是根據(jù)王老師所添加的輔助線和試題分析過(guò)程，解答之前必須證明三點(diǎn)共線，這對(duì)學(xué)生而言又是一個(gè)難點(diǎn).筆者認(rèn)為，不用添加輔助線，不用證明三點(diǎn)共線，只需利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理即可破解此題.

二、試題呈現(xiàn)及解答

試題（2013年紹興）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AD、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是G、H.若由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長(zhǎng)為_(kāi)________.

圖1

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，DE=DP，DH=DQ.

所以EH=DE+DH=DP+DQ=

2

DP+PQ.

同理可知，GF=2BQ+PQ.

若由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形恰好為菱形，則EH= GF.

從而可知，DP=BQ，故EH=2DP+PQ=5，即菱形EFGH的邊長(zhǎng)為5.

筆者查閱了2013年紹興市中考數(shù)學(xué)試題的參考答案，其解答過(guò)程與文1所給的分析過(guò)程大同小異，如果按照參考答案所給思路求解，正如文1所說(shuō)，教師在思考本題時(shí)也都不能給出解答完整的思考過(guò)程，對(duì)學(xué)生而言，這道題又有什么意義呢？上述解法運(yùn)用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)潔求解，這種“軸對(duì)稱(chēng)搭臺(tái)，相似三角形唱戲”的解法是不是更精彩呢？

三、對(duì)講評(píng)設(shè)計(jì)的兩點(diǎn)思考

按照上述解題方法與思路，對(duì)于文1中探究活動(dòng)2中的兩個(gè)問(wèn)題的解答，筆者認(rèn)為有必要改進(jìn)一下.一是問(wèn)題（2），點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形有可能為矩形嗎？這個(gè)問(wèn)題可利用相似三角形求解；二是問(wèn)題（3），點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形有可能為正方形嗎？這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有深入討論的必要.

1.問(wèn)題（2）的求解思路

2.問(wèn)題（3）的思考由原題知，當(dāng)點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形為菱形時(shí)，PQ=.又由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形為矩形時(shí)，PQ=由于正方形既是菱形，也是矩形，PQ的長(zhǎng)不能同時(shí)為兩個(gè)值，故點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形不可能為正方形.

四、結(jié)束語(yǔ)

正如文1所說(shuō)，命題者在命制本題時(shí)可謂獨(dú)具匠心，頗有創(chuàng)意.透過(guò)本題，留給大家更多的思考也許是“不論是命題者還是解題者，為什么想不到相似三角形？”這是教學(xué)的缺失，還是思維定勢(shì)？這一系列問(wèn)題都值得一線教師思考.

1.王四寶.一道聯(lián)考試題的分析過(guò)程與講評(píng)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.W