嵇憲長

[摘 要]發(fā)現(xiàn)一個問題比解決一個問題更重要。在數(shù)學課堂中，要努力讓學生成為數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)者，并以此作為推進課堂進程和促進學生學習的重要方式。為了達成這一目標，教師要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等學生的“認知節(jié)點”，引導學生發(fā)現(xiàn)問題。通過教師引領(lǐng)、同伴互動、自我提問等角度，讓學生領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)問題的一些方法，不斷增強發(fā)現(xiàn)問題的本領(lǐng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學問題 發(fā)現(xiàn) 認知節(jié)點 提問方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-015

【課堂實踐】

一、激疑引新，喚醒經(jīng)驗

1.口算搶答——引出“準”

師：通過四年的數(shù)學學習，同學們已經(jīng)掌握了加、減、乘、除這四種運算的基本方法。今天這節(jié)課，首先進行一個關(guān)于加法的小測試，看誰的反應快。（大屏幕依次出現(xiàn)6、7、2、3、4、8，生按順序相加得到總和30）

師：恭喜！你們已經(jīng)達到計算水平的第一層次——準。（板書）

2.全面觀察——引出“巧”

師：當這六個數(shù)一起展現(xiàn)在你的面前，讓你求和時，除了按照剛才從左到右的順序依次相加外，現(xiàn)在又有什么新的想法？

生1：可以采用兩兩結(jié)合的方法求和，因為每組兩個數(shù)剛好湊十。

（呈現(xiàn)方法：6+7+2+3+4+8=（6+4）+（7+3）+（2+8）=30）

師：佩服！你們的計算水平已經(jīng)上升到——巧。（板書：巧）這種方法與按順序加相比，巧在何處？

生2：巧在把能“湊十”的兩個數(shù)先加。（板書：湊十）

師：請仔細觀察，為了湊十，我們對原來的算式做了哪些“手術(shù)”？

生3：把一些數(shù)的位置改變了，進行了調(diào)換。

生4：沒有按照從左到右的順序計算，而是把湊十的兩個數(shù)先算。

（適時提煉板書：“交換加數(shù)位置”“改變運算順序”）

3.無疑生疑——促探索

師：對于你們大膽地給這道連加算式實施的這兩個“手術(shù)”，老師產(chǎn)生了疑問。你們知道老師產(chǎn)生了什么疑問嗎？

（生討論、猜想、提問）

二、舉例說理，提煉經(jīng)驗

1.教學加法交換律

師：請注意，老師產(chǎn)生的疑問是“交換加數(shù)的位置，和會發(fā)生變化嗎？”（在“交換加數(shù)位置”上打上一個“？”）

生1：不會。比如4+3和3+4，都等于7，它們的和是一樣的。（板書：4+3=3+4）

師：你不僅回答了問題，而且舉了一個簡單的例子證明自己的想法，值得表揚。（板書：舉例）不過一個例子能證明一個結(jié)論是正確的嗎？

生2：不能。必須舉很多的例子。

師：你們還有其他不同類型的例子嗎？

生3：有。比如20+60=60+20。（板書）

師：為什么說這是不同類型的例子呢？

生3：剛才是一位數(shù)加法，我這是兩位數(shù)加法。

師：說得很有道理。還有其他不同類型的例子嗎？

生4：220+340=340+220。

師：你是算了兩邊的得數(shù)以后才知道相等，還是一開始就知道相等？

生4：我沒有算。因為傻子都知道相等。

師：“傻子都知道”是什么意思？

生5：他的意思是這樣的兩個式子一定是相等的，不用算就知道。

生6：我們以前在考試中就經(jīng)常有這樣的兩個式子讓我們選擇“﹥”“﹤”“=”填空，我們每次選擇“=”都是正確的。

師：也就是說這樣的兩個式子相等，不是偶然的，而是必然的！既然如此，這當中就一定蘊含著某種道理。你能從道理上講一講嗎？（板書：說理）

生6：因為在列式時不管你先寫哪個數(shù)，后寫哪個數(shù)，最后都是把這兩個數(shù)加起來，所以一定是相等的。

生7：把兩個部分合起來是不分先后順序的。

師：剛才我們先用 “舉例”證實了“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。又用“說理”證明了“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”。那么你喜歡用什么方法來表示這個規(guī)律呢？（生試寫、匯報）

生8：□+○=○+□。

生9：甲+乙=乙+甲。

生10：藍色+紅色=紅色+藍色。

生11：a+b=b+a。

師：剛才這么多方法，都比較形象、準確地表示了這條規(guī)律，那么你認為哪種表示方法最適合數(shù)學呢？為什么？

生12：我認為字母最適合，因為用字母比較簡單。

生13：我看過書了，書上就是用字母表示的。（板書：a+b=b+a）

師：想一想美國的數(shù)學書上會怎么表示？其他國家的數(shù)學書上會怎么表示？

生14：美國的數(shù)學書上肯定用字母表示，因為他們就說英語。其他國家的數(shù)學書上也應該用字母表示吧。

師：說得對。這是全世界數(shù)學界的統(tǒng)一規(guī)定。之所以選擇用字母表示，最主要的原因當然是因為它簡單方便，但你們有沒有想過或許有其他的原因呢？

生15：我想可能是因為美國的科學領(lǐng)先，經(jīng)濟發(fā)達，所以英語是世界上最通用的語言。不過隨著我們中國越來越強大，學漢語的人也會越來越多。

師：是的，現(xiàn)在世界上確實掀起了一股“漢語熱”。試著給這條規(guī)律起個名字吧？

生16：加法交換律。（板書）

2.教學加法結(jié)合律

師：剛才我們討論了兩個手術(shù)中的第一個手術(shù)“交換加數(shù)位置”，接下來我們討論第二個手術(shù)“改變運算順序”。你們能像剛才老師那樣針對它提出一個問題嗎？

生17：在加法中，改變運算順序，會不會改變結(jié)果呢？

生18：不會。比如（3+4）+5=3+（4+5）。

師：請大家注意觀察，生18舉的這個例子中，等式兩邊什么沒有變化？什么發(fā)生了變化？

生19：三個數(shù)的位置沒有變化，結(jié)果沒有變化。

生20：兩邊計算的順序不同。

生21：兩邊結(jié)合的方式不一樣。

師：我想請問剛才那個同學，你在舉這個例子時，是先計算然后知道相等，還是一開始就知道相等？

生18：不用計算。因為不管你采用什么順序合并，最后都是把這三個部分合在一起，所以改變運算順序，和不變。

師：你的意思是不用舉例了，這也是一條規(guī)律。大家同意嗎？這條規(guī)律叫什么名稱？在數(shù)學中怎樣表示呢？試著自己寫一寫、議一議。

（生試寫、交流，板書揭示“加法結(jié)合律”）

師：這就是加法運算中存在的兩條重要規(guī)律，我們把它們統(tǒng)稱為“加法運算律”（板書）。這兩條運算律的關(guān)鍵詞分別是什么？你是如何理解的？

生19：加法交換律的關(guān)鍵詞是“交換”，意思是在加法中可以交換加數(shù)的位置；加法結(jié)合律的關(guān)鍵詞是“結(jié)合”，意思是可以改變原來的運算順序，進行重新結(jié)合。

三、回顧既往，貫通經(jīng)驗

師：其實，這兩條規(guī)律早就陪伴著我們了，只是在今天這個合適的時機把它們提煉出來罷了。瞧，這是我們一年級時候經(jīng)常練習的“一圖兩式”，同學們想想看，這里面就有誰的影子？

生1：加法交換律。

師：后來，在計算比較復雜的加法時，為了保證結(jié)果的準確，我們也經(jīng)常像這樣用交換兩個加數(shù)位置的方法進行驗算?，F(xiàn)在看來，這是哪一條規(guī)律的應用？

生2：加法交換律。

師：用湊十法幫助我們計算20以內(nèi)進位加法，需經(jīng)歷這樣的思考過程。這當中有誰的影子？

生3：加法結(jié)合律。

師：解決這樣一個實際問題可以用兩種不同的思路，最后得到的結(jié)果一樣。這其實是對哪種規(guī)律的有力證明？

生4：加法結(jié)合律。

師：如此看來，今天所學的新知識還算是新知識嗎？

生5：不是！其實我們早就知道了。

師：是的。這正是數(shù)學知識發(fā)展的特點“舊中有新，新中有舊”。但不要忘了一個前提條件，那就是要想學好新知識，先要——

生6：學好舊知識。

四、練習延伸，提升經(jīng)驗

1.讓學生練習書上“想想做做”第1題和第2題（過程略）

2.介紹“高斯求和問題”

師：在人類的數(shù)學發(fā)展史上，曾經(jīng)有一位偉大的數(shù)學家把加法的交換律和結(jié)合律用到了極致，同學們想了解嗎？（依次出示高斯問題的背景和思維過程）請同學們比較一下，為了實現(xiàn)“巧算”，我們運用加法運算律是為了“湊整”，而高斯是為了什么？

生1：是為了把每一組的和都變成101，這樣就有50個101，就是5050。

師：簡單地說，高斯是為了“湊同”。這樣就可以把一道復雜的加法變成乘法，簡稱為“變加為乘”。你覺得這樣的思維方式怎么樣？

生2：真是太絕妙了！

五、課堂總結(jié)，積淀經(jīng)驗（略）

【教后反思】

一、經(jīng)驗貫通，彰顯課堂的邏輯力量

好的數(shù)學課堂是自然流淌的，應該有一股內(nèi)在的、強大的邏輯力量在推動著課堂朝著預定的目標不斷前行。

鑒于學生經(jīng)驗系統(tǒng)中已經(jīng)儲存了關(guān)于新知的豐厚經(jīng)驗，本節(jié)課以經(jīng)驗的激活、提煉、拓展和積淀貫通全課。課伊始，用六個數(shù)激活學生既有的加法經(jīng)驗，通過“依次相加”和“結(jié)合湊十相加”兩種不同的方法對比，指明學生提高計算水平的方向——由“準”到“巧”。這六個數(shù)，雖然簡單，卻是一個結(jié)構(gòu)性的學習材料（所謂結(jié)構(gòu)性學習材料是指教師把所要學的知識隱蔽地鑲嵌到學習材料中，便于學生通過主動探索重新“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)造”相應的知識）。利用這一簡明的結(jié)構(gòu)性材料，順利引出本節(jié)課的兩個關(guān)鍵問題——“交換加數(shù)位置”和“改變運算順序”，給接下來的探討、交流和對話提供話題。

圍繞“交換加數(shù)位置”進行交流，是學生既有加法經(jīng)驗的自然輸出，最后通過歸納總結(jié)，抽象表達出規(guī)律，引導學生經(jīng)歷了數(shù)學模型的建構(gòu)過程，培養(yǎng)了符號意識，提升了經(jīng)驗水平。探討“改變運算順序”，則是剛剛獲得的思維活動經(jīng)驗和建模經(jīng)驗的主動遷移和再次強化，它為今后探索其他運算律打下伏筆。

“對以往學習歷程的回顧”，既直接檢驗了學生對加法運算律的記憶、辨認和理解，又有效地溝通了新舊知識的聯(lián)系，使學生清晰地感悟到數(shù)學知識“舊中帶新、新舊聯(lián)系”的發(fā)展特點。

整節(jié)課，遵循“數(shù)學學習就是學生既有經(jīng)驗的改造”，以嚴整、精煉的課堂結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的內(nèi)在邏輯力量推進課堂，力求達到“教學思路”“學習思路”和“知識發(fā)展之路”的“三路”統(tǒng)一，使課堂呈現(xiàn)出自然、合理的生長質(zhì)態(tài)，引領(lǐng)學生順利建構(gòu)新知。

二、舉例說理，體驗數(shù)學的理性特征

本節(jié)課，我采用了雙線推進的方式，引導學生確認加法運算律的事實存在。

一條線索是舉例證實。在利用準備題讓學生初步感知“交換加數(shù)位置，和不變”的現(xiàn)象后，嘗試讓學生列舉出更多的有這類現(xiàn)象的等式，進行更多的驗證，從而體驗現(xiàn)象的普遍性。當然，這并不是為了舉例而舉例，舉的例子越多就越好，而是要通過教師引導使學生感受到要舉出與眾不同的例子，要舉出特殊的例子才能更充分地說明問題。

另一條線索是說理證明?！凹热徊皇桥既唬潜厝?，就說明其中一定蘊藏著某種道理。你能試著講一講嗎？”由于這個問題帶有邏輯推理的意味和性質(zhì)，學生對此明顯不太適應，課堂上頓時安靜下來。在接下來的討論交流中，學生逐步認識到“無論你先寫哪個數(shù)，再寫哪個數(shù)，結(jié)果都是把這兩部分合起來，所以和不變?！边@種說理方法讓大家茅塞頓開。等到了加法結(jié)合律的學習，有很多學生已經(jīng)不太愿意“舉例證實”了，他們紛紛主動地選擇“說理證明”的方法——“不管你采用什么順序結(jié)合，最后都是把這三個部分合到一起，所以和不變?！边@無疑提高了教學效率，提升了學生的認識水平。

三、相機滲透，感悟生活的教育意蘊

課堂即生活，生活即教育，數(shù)學課堂也不例外。其實，一個民主、尊重、開放的數(shù)學課堂，一個學生感到“心理安全、自由”的數(shù)學課堂，一個教師始終對學生真誠關(guān)注、由衷欣賞、恰當指導的數(shù)學課堂，一個學生能積極主動展現(xiàn)真性情、表白真想法的數(shù)學課堂，本身就是一幅溫馨的生活畫卷，充滿濃濃的教育意蘊。

本節(jié)課，我從“生態(tài)課堂”的角度，尋找了兩個滲透點。第一個點是關(guān)于字母表述規(guī)律的討論?！癮+b=b+a，為什么用字母表示最適合數(shù)學？”“國外的數(shù)學書上也是這樣表示的嗎？”“除了簡單方便之外，有沒有其他的原因呢？”透過對這些問題的追尋，除了促進學生理解數(shù)學的符號意蘊外，有沒有可能開拓了部分學生的國際視野？有沒有可能激起部分學生的民族自豪感？這些誰也說不準，因為教學本身就是確定性和可能性的結(jié)合。第二個點是關(guān)于“高斯求和”問題的討論。課堂上，讓學生穿越時空想象當時小高斯和其他同學面臨“1+2+3+…+98+99+100”這一復雜問題情境時的不同表現(xiàn)，此種對比，更加凸顯了靜心思考的獨特魅力、敢于超越的精神力量和高超完美的人類智慧。這是一種人文精神，也是一種科學精神，這種精神正是推動數(shù)學不斷發(fā)展的內(nèi)在動力之一。

（責編 金 鈴）