張恒巍，韓繼紅，張 健，王晉東，寇 廣

（信息工程大學，河南 鄭州450001）

0 引 言

由于傳統(tǒng)粗糙集理論要求數據對象具有離散性和清晰性，但是在現(xiàn)實應用中很多數據具有連續(xù)性，因此傳統(tǒng)粗糙集理論的使用受到較大的限制。

許菲菲等［1］提出模糊粗糙集模型，設計了一種基于數值優(yōu)化理論的連續(xù)值屬性約減方法；王莉等［2］基于模糊決策粗糙集模型，定義高斯核模糊T－等價關系，從模糊隸屬度角度給出條件概率，實現(xiàn)對連續(xù)型數據的屬性約簡。上述文獻采用對連續(xù)數據離散化處理的方法，使粗糙集適用于連續(xù)屬性約減問題，但是離散化處理會帶來屬性值數據的失真，造成一定程度的信息損失。胡清華等［3］提出一種構建在實數空間的粗糙集模型，通過對樣本數據的?；幚?，在模型中用樣本數據的領域關系表示屬性之間的關系；宋小威等［4］基于變精度粗糙集模型，根據下近似分布不變性定義了區(qū)間約簡模型，并給出一種基于有序分辨矩陣的區(qū)間約簡方法；杜俊慧［5］利用灰色聚類代替粗糙集中的等價關系進行分類，采用F統(tǒng)計量確定灰色聚類的臨界值，能夠實現(xiàn)對連續(xù)值屬性的約減；王磊等［6］提出一種基于灰色絕對關聯(lián)度的屬性約簡算法，上述方法都未考慮不同屬性間的重疊計算問題和信息損失問題。

針對以上問題，本文在灰關聯(lián)分析的基礎上，通過研究不同類型指標之間的關聯(lián)性，定義了條件指標的重要性測度和條件指標之間的影響力測度，提出了一種基于灰關聯(lián)分析的指標約簡與權重分配算法IRA－GCA （index reduction algorithm based on grey－correlation analysis，IRAGCA）。仿真實驗和對比分析結果表明，本文提出的算法具有能夠同時處理離散型決策表和連續(xù)型決策表、權重分配準確、運算效率高的優(yōu)點。

1 灰關聯(lián)分析簡介

在粗糙集研究領域中，屬性約簡是研究的重點和熱點之一。本文關注的指標體系構建中的指標約簡問題，是屬性集約簡問題在指標體系領域的具體表現(xiàn)。張任偉等［7］對現(xiàn)有的屬性約簡算法進行了分析和比較，指出Pawlak約簡算法、基于差別矩陣及其改進的約簡算法［8，11］都存在較為顯著的缺點，在實際使用中限制條件多，實用性較差。啟發(fā)式約減算法能夠根據信息熵［1，13］、屬性重要度［12］或差別集［14］等信息進行指標約減，但是存在對啟發(fā)信息量依賴程度較高的缺點。

灰關聯(lián)分析作為一種多指標分析方法，根據不同指標的樣本數據變化趨勢的相似程度來表征指標間的關聯(lián)程度和相似程度。近一段時期，基于面積的灰關聯(lián)算法［15］和線性灰關聯(lián)算法［16］對傳統(tǒng)灰關聯(lián)分析進行了改進和提高，受此啟發(fā)，針對現(xiàn)有約減算法的不足，本文提出一種基于灰關聯(lián)分析的指標約減算法。首先給出灰關聯(lián)分析的過程。

（1）決策數據表建立：決策數據表包含條件指標和決策指標的樣本數據，是進行指標約減的基礎。

定義1 決策表T：用四元組T＝（U，Q，V，f）定義決策表，其中U＝｛x1，x2，…，xm｝是決策對象的非空有限集合，Q是指標集，V為指標的值域集，f是U×Q→V的映射。Q＝C∪D，其中條件指標集合C＝ ｛c1，c2，…，cn｝中有n個指標，決策指標D一般只有一個，用d來表示。

（2）數據標準化：由于不同指標的單位和量級不同，不能直接進行比較。因此，在進行灰關聯(lián)分析之前將指標數據按某種效用函數進行歸一化處理。針對收益型數據和代價型數據的歸一化處理公式如下。

收益型數據的歸一化處理公式

代價型數據的歸一化處理公式

式中：xi（j）——歸一化后的指標值。

（3）關聯(lián)系數和關聯(lián)度計算

定義2 關聯(lián)系數ξid（k）：設決策表T＝（U，Q，V，f），在樣本uk中條件指標ci與決策指標d之間的關聯(lián)系數ξid（k）可定義為

其中，根據樣本的重要性，可以定義第i個條件指標值在第k個樣本中的權重為ωik。取P＝2，采用歐氏距離。

定義3 條件指標關聯(lián)度γ（ci，d）：條件指標ci與決策指標d的灰關聯(lián)度簡稱為條件指標關聯(lián)度γ（ci，d）

在本文的決策表約簡算法中，令P＝2，ωi為歸一化的等權向量，則式 （5）可以簡化為

2 條件指標重要度與影響度

指標重要度是條件指標的關鍵性質，而關聯(lián)度表征條件指標與決策指標相互影響的程度。一般來說，關聯(lián)度和重要度具有正相關性，由此定義條件指標的重要度。

定義4 條件指標重要度IMP（ci，d）：條件指標ci相對決策指標d的重要度IMP（ci，d）定義為

每個條件指標代表系統(tǒng)某一方面的屬性。雖然不同指標的描述角度、方式和方法不一樣，但是指標之間不是孤立的，存在或強或弱的聯(lián)系，因此不同指標之間存在重疊的情況［13］。兩個條件指標的重疊性越大，則它們對信息系統(tǒng)描述的相似程度就越大。條件指標之間的重疊對指標約簡和權重分配的準確性造成了干擾，為消除這種干擾，本文借鑒灰關聯(lián)分析理論，建立了條件指標影響系數和影響度的概念，用以定量描述指標之間的重疊程度。在此基礎上，提出了條件指標的去重疊化方法，設計了指標約簡與權重分配算法IRA－GCA，以實現(xiàn)更加準確的指標約簡和權重分配。

定義5 條件指標影響系數ηij（k）：設決策表T＝（U，Q，V，f），在樣本uk中條件指標ci對cj的影響系數ηij（k）可定義為

定義6 條件指標影響度κ（ci，cj）：定義條件指標ci對cj的影響程度為κ（ci，cj）

式中：κ（ci，cj）代表了條件指標ci對cj的影響程度，說明cj在多大程度上受到ci的影響，0≤κ（ci，cj）≤1。當κ（ci，cj）＝0時，說明ci與cj毫不相關，ci對cj不具有任何影響；當κ（ci，cj）＝1時，說明ci對cj具有完全程度的影響；當0＜κ（ci，cj）＜1時，說明ci對cj具有影響，但又不能完全影響cj。同時，κ（ci，cj）不具有對稱性，即指標ci對cj的影響程度κ（ci，cj）和cj對ci的影響程度κ（cj，ci）通常不相同，所以一般情況下κ（ci，cj）≠κ（cj，ci）。

借助條件指標影響度的定義，可以定量描述指標之間的重疊關系。不失一般性，設4個條件指標之間的關系如圖1所示

圖1 指標重疊關系

我們對條件指標是否重疊提出以下3條判定標準：

（1）兩個條件指標完全重疊的判定標準：①兩個指標的重要性相同IMP（ci，d）＝IMP（cj，d）；②指標之間影響度為1。

兩個條件指標完全重疊表示這兩個指標實際是同一個指標，是對系統(tǒng)同一屬性不同角度或方式的表述。此時，兩個指標可以看作是一個指標。

（2）兩個條件指標完全不重疊的判定標準：指標之間影響度為0。

（3）當兩個指標之間既有重疊又未達到完全重疊時，定義指標之間的重疊部分為

一般來說，條件指標的重要度越大，與其它指標的重疊越小，對決策指標的影響就越大；反之，條件指標對決策指標的影響就越小。

3 指標約簡與權重分配

3.1 指標去重疊化方法

假設圖1中的指標重要度分別為IMP（c1，d）＝0.5，IMP（c2，d）＝0.7，IMP（c3，d）＝0.4，IMP（c4，d）＝0.8?？梢钥闯?，c1，c2，c3之間有重疊，但不是完全重疊。設c1和c2之間的 影響度 分別是κ（c1，c2）＝ 0.125和κ（c2，c1）＝0.25，c2和c3之間的影響度分別是κ（c2，c3）＝0.75和κ（c3，c2）＝0.25。指標的重疊部分是指標描述中的冗余信息，去除指標重疊信息的操作稱為指標去重疊化。去重疊化的原則為兩個有重疊的指標對重疊部分重新分配，可以不失一般性地假設每個指標獲得重疊部分的一半。

定義7 條件指標絕對重要度I（ci，d）：若兩個指標ci和cj之間具有重疊關系，則去重疊化后得到指標絕對重要度I（ci，d）和I（cj，d）分別為

對圖1中4個指標去重疊化后，得到I（c1，d）＝0.45，I（c2，d）＝0.56，I（c3，d）＝0.31，I（c4，d）＝0.8?？梢钥闯?，去重疊化后的指標絕對重要度有所減小，這是由于對指標重要度中的重疊部分進行了重新分配。

定義8 約簡閾值t：設定 （0，1）上的實數t為約簡閾值，用于判斷條件指標ci能否進入約簡集。

將條件指標的絕對重要度I（ci，d）與t作比較，若I（ci，d）≥t，認為該條件指標重要，可以進入約簡集；若I（ci，d）＜t，則認為該條件指標不夠重要，不能進入約簡集。

根據上述分析可知，對于復雜的指標體系來說，指標之間通常有著某種關聯(lián)關系，因此指標的重要度IMP（c，d）之間存在重疊，如果直接利用IMP（c，d）進行指標權重的分配，將會影響權重的準確性和合理性。只有從重要度IMP（c，d）中剔除關聯(lián)影響，得到指標的絕對重要度I（c，d），才能準確描述條件指標獨立影響決策指標的程度，依據I（c，d）進行權重分配，更加準確、合理。

定義9 指標權重wi：根據絕對重要度I（ci，d）確定條件指標ci的權重wi

由 此 可 以 得 到 指 標 的 權 重 向 量W ＝ （w1，…，wi，…wn）。

3.2 指標約簡與權重分配算法IRA－GCA

依據上述分析和研究，提出基于灰關聯(lián)分析的指標約簡與權重分配算法IRA－GCA。算法以決策表數據為基礎，首先依據本文的定義對指標進行去重疊化操作，然后逐次選擇最重要的條件指標添加到約簡集中，最后對約簡指標集中的指標依據絕對重要度進行權重分配。算法的步驟如下所示。

輸入：決策表T＝（U，Q，V，f）；約簡閾值t。

輸出：約簡閾值t下的約簡指標集B和權重向量W。

步驟1 對決策表T的數據進行標準化處理；

步驟3 計算條件指標集C中元素之間的重疊部分R（ci，cj）；

（1）對條件指標集C中每個指標ci，根據式 （8）和式（9）計算ci對其它條件指標的影響度κ（ci，cj）i，j ＝ 1，2，…，n，i≠j；

（2）對條件指標集C中任意兩個指標ci和cj，當κ（ci，cj）＝0時，R（ci，cj）＝0；當0＜κ（ci，cj）＜1時，根據式（10）計算R（ci，cj）；

步驟4 對條件指標集C中每個指標ci進行去重疊化，根據式 （11）計算指標的絕對重要度I（ci，d）；

步驟5 依據指標絕對重要度I（ci，d）對條件指標集C進行約簡，構建約簡指標集B。若I（ci，d）≥t，則將其選入約簡集B；若I（ci，d）＜t，則將其去除，不作為約簡集B的元素；

步驟6 對約簡指標集B的元素，利用指標絕對重要度I（ci，d），根據式 （12）計算指標權重wi；

步驟7 輸出約簡指標集B和指標權重向量W。

IRA－GCA算法通過完整保留原始數據信息，解得的指標約簡集合理性更強。算法的時間復雜度為O（mn2），存儲原始數據矩陣是本算法的主要空間消耗。

4 仿真實驗與分析

4.1 算法有效性驗證

為驗證IRA－GCA算法的有效性，選取美國加州大學UCI數據庫中的指標數據集進行實驗。

實驗數據集基本信息見表1。

表1 實驗數據集基本信息

同時選擇代數約簡算法ARA、信息熵約簡算法CEBARKCC和基于區(qū)分矩陣的約簡算法AM－RASR來進行對比實驗。實驗用計算機配置為Core2處理器，2G內存，操作系統(tǒng)是Windows XP，算法用Matlab2010b實現(xiàn)。設本算法的約簡閾值t＝0.5，分別對4個數據集做指標約簡的結果見表2。

表2 不同算法給出的約簡指標集

可以看出，IRA－GCA算法的約簡結果在其它算法的結果集中，驗證了本算法的有效性。同時，由于約簡閾值t＝0.5，結果更加精簡；在不同的應用中可以通過調整t的取值，靈活適應用戶的約減精度。

4.2 算法運行效率分析

從上述實驗對象數據集中取前N個對象作為實驗樣本，N分別為10，20，…，50。設置本算法的約簡閾值為0.5，分別運行IRA－GCA算法、ARA算法、CEBARKCC算法和AM－RASR算法，記錄算法得到各自約簡結果的運行時間，如圖2～圖5所示。

可以看出，一方面，本文提出的算法IRA－GCA在樣本數量較小時優(yōu)勢并不突出，當樣本數量增加時IRA－GCA的優(yōu)勢開始顯著，求解時間明顯較少。另一方面，當條件指標的個數較大時，IRA－GCA的運行時間仍然較少，但與其它算法相比區(qū)別不大，圖5表明了這一特點。因此，IRA－GCA算法更適合于樣本數較多且指標數較少情況下的約簡應用。

圖2 White數據集運行結果

圖3 Ice數據集運行結果

圖4 Atom數據集運行結果

5 結束語

本文利用灰關聯(lián)分析理論量化定義了指標重要度和指標之間的影響度，提出了條件指標去重疊化方法，設計了指標約簡與權重分配算法IRA－GCA。與其它算法相比，本文提出的算法具有以下特點和優(yōu)勢：

圖5 Stone數據集運行結果

（1）算法能夠處理離散型決策表和連續(xù)型決策表，以及二者同時存在的混合決策表等復雜情況，有效避免了將連續(xù)值轉化為離散值時的信息損失。

（2）算法對條件指標集進行去重疊化操作，使指標之間相互獨立，有效降低了指標之間的關聯(lián)對約簡結果產生的影響。

（3）算法在保持指標約簡能力的同時，約簡過程更加高效。在樣本數目越大的時候本算法優(yōu)勢越顯著；而隨著指標數目的增加，本算法的優(yōu)勢逐步減弱。所以本算法更適合于大樣本空間、小指標空間的情形。

（4）算法利用去重疊化后的條件指標絕對重要度進行權重分配，更加準確合理。

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