廖家鋒， 張 鵬(. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563002; 2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 北碚 40075)

?

一類奇異次線性橢圓方程基態(tài)解的存在性

廖家鋒1,2， 張 鵬1
(1. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563002; 2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 北碚 400715)

奇異橢圓問題起源于非牛頓流體力學(xué)、粘性流體的邊層現(xiàn)象以及電材料的熱傳導(dǎo)理論.利用變分方法,研究一類次線性奇異橢圓問題.在一些較弱的條件下,獲得該問題正基態(tài)解的存在性,從而補(bǔ)充了奇異橢圓問題正解的存在性結(jié)果.

奇異次線性橢圓方程; 基態(tài)解; 變分法

本文考慮如下奇異次線性橢圓問題

(1)

其中,Ω?RN(N≥3)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,0

自1977年M. G. Crandall[1]利用上下解方法獲得了一類奇異橢圓問題解的存在性,隨后奇異橢圓問題逐漸引起人們的關(guān)注[2-11].由于奇異項(xiàng)產(chǎn)生的困難,很多常用的臨界點(diǎn)理論不能直接應(yīng)用使得該問題的研究發(fā)展相對(duì)緩慢.一方面,人們借助上下解方法獲得奇異次線性橢圓問題經(jīng)典解的存在性[1-3,12-14].另一方面,人們利用變分方法,截?cái)嗉夹g(shù)結(jié)合臨界點(diǎn)理論獲得奇異超線性橢圓問題的弱解的存在性及多重性,如文獻(xiàn)[4-7,10].受前人的啟發(fā),在前期的工作[12-16]基礎(chǔ)上研究了問題(1)基態(tài)解的存在性.據(jù)查閱文獻(xiàn)所知,該結(jié)果還沒有被人們研究過,從而研究具有一定的理論意義.

‖u‖2-

(2)

在給出本文的主要結(jié)果之前，先給出如下一個(gè)重要引理.

證明 由于0

是強(qiáng)制且下方有界的.因此,

首先利用Vitali定理[15]可得

|un|1-γdx=

(3)

事實(shí)上,只需要證明

|un|1-γdx,n∈N}

是等度絕對(duì)連續(xù)的.由{un}的有界性,依據(jù)Sobolev嵌入定理可得存在一個(gè)C>0使得|un|2*≤C<∞.再由H?lder不等式可知

(4)

(5)

|un|1-γdx≤

其中最后一個(gè)不等式依據(jù)

|

的絕對(duì)連續(xù)性.因此(3)式成立.類似依據(jù)Vitali定理及(5)式可得

(6)

|▽un|2dx=

(7)

因此,依據(jù)(3)、(6)和(7)式可得

定理 1 假設(shè)0

且g≥0,g?0,則問題(1)至少有一個(gè)基態(tài)解.

證明 依據(jù)引理1,只需證明u*是問題(1)的基態(tài)解.由于I(u*)=m<0,顯然可得在Ω中u*(x)?0.下面分3步證明u*是問題(1)的基態(tài)解.

(8)

由中值定理可得

其中當(dāng)t→0+時(shí),θ→0+,η→0+,且

(9)

而由Lebesgue控制收斂定理可得

(10)

▽u*,▽?duì)?dx-

(11)

特別地,在(11)式中取φ=e1有

這就意味著u*>0在Ω中幾乎處處成立.

φ′(0)=‖u*‖2-

(12)

(u*+φ)+=max{u*+φ,0}.

顯然,Ψ≥0.在(11)式中用Ψ替代φ,結(jié)合(12)式可得

▽u*,▽?duì)?dx-

其中，Ω1={u*+φ>0},Ω2={u*+φ≤0}.因?yàn)楫?dāng)→0+時(shí)meas(Ω2)→0,則上式兩邊同時(shí)除以并讓→0+,有

因此,不等式對(duì)-φ也成立,從而可得u*滿足(2)式,即u*是問題(1)的解.

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2010 MSC：35H20

(編輯 陶志寧)

Existence of Ground State Solutions for a Class of Singular Sublinear Elliptic Equation

LIAO Jiafeng1,2ZHANG Peng1
(1.SchoolofMathematicsandComputationalScience,ZunyiNormalCollege,Zunyi563002,Guizhou;2.SchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqingi400715)

Singular elliptic problems are originated from the study of non-Newtonian mechanics, the theories of boundary layer phenomena for viscous fluids, and heat conduction in electrically materials. In the present paper, a class of singular sublinear elliptic problem is considered, and a ground state solution is obtained for this problem by the varaitional method. This result supplements the theory of the existence of positive solutions for the singular elliptic problems.

singular sublinear elliptic equations; ground stae solution; varaitional method

2014-09-06

貴州省教育廳自然科學(xué)基金(黔教科2010086)和貴州省科學(xué)技術(shù)科學(xué)基金(LKZS[2014]22、LKZS[2014]30和LH[2015]7001)

廖家鋒(1983—),男,副教授,主要從事非線性分析研究,E-mail:liaojiafeng@163.com

O175.25

A

1001-8395(2015)06-0867-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.015