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        菲涅爾面積分的計(jì)算

        2015-05-03 01:48:07張思卿張新好黨寶軍李九凌
        遙測遙控 2015年6期
        關(guān)鍵詞:將式算例計(jì)算公式

        張思卿, 張新好, 黨寶軍, 李九凌

        (1北京理工大學(xué)信息與電子工程學(xué)院北京100191 2中國人民解放軍94326部隊(duì)濟(jì)南250023)

        引 言

        Fresnel面積分是一個(gè)積分下限含有自變量的雙重復(fù)指數(shù)積分,無法通過直接求解得到。多年來,國內(nèi)外學(xué)者提出了許多近似計(jì)算方法[1~4],其中文獻(xiàn)[1,4]利用線積分的漸近展開式,給出了Fresnel面積分的近似計(jì)算,但其計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜、繁瑣,在對角度γ1、γ2分類的基礎(chǔ)上,還需對η值進(jìn)行分類、判斷,不便于工程應(yīng)用。本文對文獻(xiàn)[2,3]給出的Fresnel面積分計(jì)算公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)和分析,基于Jacobi-Anger恒等式和Bessel函數(shù)的性質(zhì),提出了一種新的Fresnel面積分近似計(jì)算公式,并與文獻(xiàn)[3~5]的結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

        1 Fresnel面積分的類型

        由文獻(xiàn)[6]可知,雙雷達(dá)柵多路徑傳播損耗模型中的八個(gè)場分量,均含有Fresnel面積分

        式中,q1、q2、u0、m和n均為實(shí)常數(shù)。I下標(biāo)的正負(fù)號與m的正負(fù)號相對應(yīng),其分類及計(jì)算公式見表1。

        式中,hf1為第一個(gè)雷達(dá)柵的高度,hf2為第二個(gè)雷達(dá)柵的高度,hA為天線的高度,hT為目標(biāo)的高度。

        式中,λ為波長,d1、d2、d3分別為天線與第一個(gè)雷達(dá)柵、第一個(gè)雷達(dá)柵與第二個(gè)雷達(dá)柵、第二個(gè)雷達(dá)柵與目標(biāo)間的距離。

        式(6)~(9)中,α、p、ρ0、q、β等參數(shù)的物理意義見圖1。

        當(dāng)p≥0、q>0且式(1)中m前面的符號為負(fù)時(shí),式(1)的積分區(qū)域如圖1中的陰影部分S1、S2所示。圖中,陰影部分的頂點(diǎn)為o′,oo′的長度為ρ0,γ1=β,γ2=π-αβ。oo′的延長線o′N將陰影區(qū)域分為兩個(gè)部分S1、S2(其它條件下的積分區(qū)域圖形見參考文獻(xiàn)[1])。

        圖1 Fresnel面積分I-的積分區(qū)域示意圖(p≥0,q>0)Fig.1 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral I-

        Table 1 Type of Fresnel surface integral表1 Fresnel面積分的類型[1]

        2 G(ρ0,γ)的計(jì)算

        Fresnel面積分的一般形式為

        式(10)的積分區(qū)域見圖2。

        圖2 Fresnel面積分的積分區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral

        為便于計(jì)算,由

        可得

        將式(13)代入式(10),化簡并令

        由雅可比-安格爾(Jacobi-Anger)恒等式有[7]

        代入式(14),得

        由Bessel函數(shù)的性質(zhì)[7]

        可將式(18)分解為下列五項(xiàng)之和

        式中

        利用Bessel函數(shù)積分的關(guān)系式[7]

        式中,a>0,b>0,1/2>Ren>-1(Re:實(shí)部)。

        式中,a>0,b>0,Ren>-4。

        式中,a>0,b>0,Ren>-2。

        將式(24)、式(27)中積分項(xiàng)化簡為

        將式(20)代入式(14),得

        由式(21)、式(24)和式(27)可知

        將上式代入式(33),得

        圖3 由本文計(jì)算方法得到的文獻(xiàn)[3]圖1算例的計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of Literature 3 Fig.1 by the proposed method in this paper(f=1GHz,d1=d2=d3=10m,h=h1=h2=-4m~4m,hA=hT)

        此即為本文所得的Fresnel面積分近似計(jì)算公式。

        3 算例驗(yàn)證

        為驗(yàn)證本文近似計(jì)算公式的有效性,利用式(35)分別計(jì)算文獻(xiàn)[3~5]給出的算例。圖3為由式(35)得到的文獻(xiàn)[3]圖1算例的計(jì)算結(jié)果(注:圖3中的縱坐標(biāo)abs(A)為復(fù)衰減函數(shù)A的絕對值,A=E/EO,E為設(shè)置雷達(dá)柵時(shí)目標(biāo)處的電場強(qiáng)度,EO為無雷達(dá)柵時(shí)目標(biāo)處的電場強(qiáng)度,詳見文獻(xiàn)[3]),圖4為由式(35)得到的文獻(xiàn)[5]圖4算例的計(jì)算結(jié)果,計(jì)算時(shí)式(35)中的n取1~100。表2給出了文獻(xiàn)[4]第8節(jié)算例的計(jì)算結(jié)果對比。由圖3、圖4可以明顯看出,利用本文的計(jì)算公式可得到與文獻(xiàn)[3,5]完全一致的結(jié)論。從表2可以看出:當(dāng)n取1~50時(shí),其結(jié)果已滿足計(jì)算精度要求。

        圖4 由本文計(jì)算方法得到的文獻(xiàn)[5]圖4算例的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results of Literature 5 Fig.4 by the proposed method in this paper(VV-polarization,f=0.9GHz,d1=3000m,d2=2000m(Single Radar Fence,d2=5000m),d3=3000m,h f1=h A=100m,h f2=0,Γ1=Γ2=Γ3=1)

        表2 與文獻(xiàn)[4]計(jì)算結(jié)果的對比Table 2 Comparison of the calculation resultswith themethods in this paper and in Literature 4

        4 結(jié)束語

        本文針對傳統(tǒng)Fresnel面積分計(jì)算方法存在的參數(shù)(γ1、γ2、η等)分類、判斷多元,計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣等問題,提出了一種新的近似計(jì)算方法。仿真結(jié)果表明:與傳統(tǒng)計(jì)算方法相比,本文提出的近似計(jì)算方法物理意義清晰,計(jì)算方法簡單,計(jì)算量小且收斂速度快,為Fresnel面積分的相關(guān)工程應(yīng)用提供了便利。

        [1]趙雄文.計(jì)及反射的刃峰、尖劈、平頂障礙繞射場的一致性解法[D].青島:中國電波傳播研究所碩士學(xué)位論文,1992.

        [2]Schneider Michael, Luebbers R J.A General, Uniform Double Wedge Diffraction Coefficient[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,1991,39(1):8~14.

        [3]Savov SV, Andersen JB.Efficient Method for Calculation of Fresnel Double Integral[J].Electronics Letters, 1995, 31(6):435~437.

        [4]Millington G, Hewitt R, Immirzi F S.The Fresnel Surface Integral[J].IEE Proceedings, 1962, 109C(162):430 ~437.

        [5]Zhao Xiongwen, Vainkainen Pertti.Multipath Propagation Study Combining Terrain Diffraction and Reflection[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2001,49(8):1204~1209.

        [6]張新好.0.8GHz-18GHz全頻段外場散射及天線測量技術(shù)研究[D].北京:北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文,2011:63~66.Zhang Xinhao.Study on the 0.8GHz-18GHz Outdoor RCS and Airborne Antenna Measurement System[D].Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2011:63~66(in Chinese).

        [7]《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊[M].北京:高等教育出版社,1979:628.

        [8]Gradshteyn IS, Ryzhik IM.Tables of Integrals, Series and Products[M].7th edition.New York:Academic Press, 2007:706,739.

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