張思卿， 張新好， 黨寶軍， 李九凌

(1北京理工大學(xué)信息與電子工程學(xué)院北京100191 2中國人民解放軍94326部隊(duì)濟(jì)南250023)

引 言

Fresnel面積分是一個(gè)積分下限含有自變量的雙重復(fù)指數(shù)積分，無法通過直接求解得到。多年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多近似計(jì)算方法［1～4］，其中文獻(xiàn)［1，4］利用線積分的漸近展開式，給出了Fresnel面積分的近似計(jì)算，但其計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜、繁瑣，在對角度γ1、γ2分類的基礎(chǔ)上，還需對η值進(jìn)行分類、判斷，不便于工程應(yīng)用。本文對文獻(xiàn)［2，3］給出的Fresnel面積分計(jì)算公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)和分析，基于Jacobi-Anger恒等式和Bessel函數(shù)的性質(zhì)，提出了一種新的Fresnel面積分近似計(jì)算公式，并與文獻(xiàn)［3～5］的結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。

1 Fresnel面積分的類型

由文獻(xiàn)［6］可知，雙雷達(dá)柵多路徑傳播損耗模型中的八個(gè)場分量，均含有Fresnel面積分

式中，q1、q2、u0、m和n均為實(shí)常數(shù)。I下標(biāo)的正負(fù)號與m的正負(fù)號相對應(yīng)，其分類及計(jì)算公式見表1。

令

式中，hf1為第一個(gè)雷達(dá)柵的高度，hf2為第二個(gè)雷達(dá)柵的高度，hA為天線的高度，hT為目標(biāo)的高度。

則

式中，λ為波長，d1、d2、d3分別為天線與第一個(gè)雷達(dá)柵、第一個(gè)雷達(dá)柵與第二個(gè)雷達(dá)柵、第二個(gè)雷達(dá)柵與目標(biāo)間的距離。

式(6)～(9)中，α、p、ρ0、q、β等參數(shù)的物理意義見圖1。

當(dāng)p≥0、q＞0且式(1)中m前面的符號為負(fù)時(shí)，式(1)的積分區(qū)域如圖1中的陰影部分S1、S2所示。圖中，陰影部分的頂點(diǎn)為o′，oo′的長度為ρ0，γ1=β，γ2=π-αβ。oo′的延長線o′N將陰影區(qū)域分為兩個(gè)部分S1、S2(其它條件下的積分區(qū)域圖形見參考文獻(xiàn)［1］)。

圖1 Fresnel面積分I-的積分區(qū)域示意圖(p≥0，q＞0)Fig.1 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral I-

Table 1 Type of Fresnel surface integral表1 Fresnel面積分的類型［1］

2 G(ρ0，γ)的計(jì)算

Fresnel面積分的一般形式為

式(10)的積分區(qū)域見圖2。

圖2 Fresnel面積分的積分區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic diagram of integral domain of Fresnel surface integral

為便于計(jì)算，由

可得

將式(13)代入式(10)，化簡并令

由雅可比-安格爾(Jacobi-Anger)恒等式有［7］

代入式(14)，得

因

有

由Bessel函數(shù)的性質(zhì)［7］

可將式(18)分解為下列五項(xiàng)之和

式中

利用Bessel函數(shù)積分的關(guān)系式［7］

式中，a＞0，b＞0，1/2＞Ren＞-1(Re:實(shí)部)。

式中，a＞0，b＞0，Ren＞-4。

式中，a＞0，b＞0，Ren＞-2。

將式(24)、式(27)中積分項(xiàng)化簡為

將式(20)代入式(14)，得

由式(21)、式(24)和式(27)可知

將上式代入式(33)，得

圖3 由本文計(jì)算方法得到的文獻(xiàn)［3］圖1算例的計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of Literature 3 Fig.1 by the proposed method in this paper(f=1GHz，d1=d2=d3=10m，h=h1=h2=-4m～4m，hA=hT)

此即為本文所得的Fresnel面積分近似計(jì)算公式。

3 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文近似計(jì)算公式的有效性，利用式(35)分別計(jì)算文獻(xiàn)［3～5］給出的算例。圖3為由式(35)得到的文獻(xiàn)［3］圖1算例的計(jì)算結(jié)果(注:圖3中的縱坐標(biāo)abs(A)為復(fù)衰減函數(shù)A的絕對值，A=E/EO，E為設(shè)置雷達(dá)柵時(shí)目標(biāo)處的電場強(qiáng)度，EO為無雷達(dá)柵時(shí)目標(biāo)處的電場強(qiáng)度，詳見文獻(xiàn)［3］)，圖4為由式(35)得到的文獻(xiàn)［5］圖4算例的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時(shí)式(35)中的n取1～100。表2給出了文獻(xiàn)［4］第8節(jié)算例的計(jì)算結(jié)果對比。由圖3、圖4可以明顯看出，利用本文的計(jì)算公式可得到與文獻(xiàn)［3，5］完全一致的結(jié)論。從表2可以看出:當(dāng)n取1～50時(shí)，其結(jié)果已滿足計(jì)算精度要求。

圖4 由本文計(jì)算方法得到的文獻(xiàn)［5］圖4算例的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results of Literature 5 Fig.4 by the proposed method in this paper(VV-polarization，f=0.9GHz，d1=3000m，d2=2000m(Single Radar Fence，d2=5000m)，d3=3000m，h f1=h A=100m，h f2=0，Γ1=Γ2=Γ3=1)

表2 與文獻(xiàn)［4］計(jì)算結(jié)果的對比Table 2 Comparison of the calculation resultswith themethods in this paper and in Literature 4

4 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)Fresnel面積分計(jì)算方法存在的參數(shù)(γ1、γ2、η等)分類、判斷多元，計(jì)算過程復(fù)雜、繁瑣等問題，提出了一種新的近似計(jì)算方法。仿真結(jié)果表明:與傳統(tǒng)計(jì)算方法相比，本文提出的近似計(jì)算方法物理意義清晰，計(jì)算方法簡單，計(jì)算量小且收斂速度快，為Fresnel面積分的相關(guān)工程應(yīng)用提供了便利。

［1］趙雄文.計(jì)及反射的刃峰、尖劈、平頂障礙繞射場的一致性解法［D］.青島:中國電波傳播研究所碩士學(xué)位論文，1992.

［2］Schneider Michael， Luebbers R J.A General， Uniform Double Wedge Diffraction Coefficient［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1991，39(1):8～14.

［3］Savov SV， Andersen JB.Efficient Method for Calculation of Fresnel Double Integral［J］.Electronics Letters， 1995， 31(6):435～437.

［4］Millington G， Hewitt R， Immirzi F S.The Fresnel Surface Integral［J］.IEE Proceedings， 1962， 109C(162):430 ～437.

［5］Zhao Xiongwen， Vainkainen Pertti.Multipath Propagation Study Combining Terrain Diffraction and Reflection［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2001，49(8):1204～1209.

［6］張新好.0.8GHz-18GHz全頻段外場散射及天線測量技術(shù)研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文，2011:63～66.Zhang Xinhao.Study on the 0.8GHz-18GHz Outdoor RCS and Airborne Antenna Measurement System［D］.Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2011:63～66(in Chinese).

［7］《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊［M］.北京:高等教育出版社，1979:628.

［8］Gradshteyn IS， Ryzhik IM.Tables of Integrals， Series and Products［M］.7th edition.New York:Academic Press， 2007:706，739.