李虹， 李義斌， 郭震

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

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E.Cartan定理的新證明*

李虹， 李義斌， 郭震

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

用Moebius幾何的方法給出定理“維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面是一族球的包絡(luò)”的另一證明.

Moebius幾何；共形平坦；Moebius主曲率

定理“維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面是一族球的包絡(luò)”對(duì)于共形平坦超曲面的分類(lèi)具有重要作用，該定理將維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面歸為一類(lèi)，是微分幾何一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果.由于該定理是由élie Joseph Cartan提出并證明的[1]，故將該定理稱(chēng)為E.Cartan定理.本文用Moebius幾何的方法證明該定理,證明方法比文[1]簡(jiǎn)單.

1 記號(hào)與公式

Moebius第二基本形式

Moebius形式

詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1],其中

Bij=ρ-1(hij-Hδij)

1≤i,j,…≤n

Hessij和為關(guān)于度量I=dx·dx在基底下的Hessian矩陣和梯度算子.為Weyl共形曲率張量的分量為Schoten張量的分量.

給定n+3為歐式向量空間Rn+3,定義內(nèi)積〈·,·〉如下

〈X,Z〉=-x0z0+x1z1+…+xn+2zn+2

其中

X=(x0,x1,…,xn+2)、Z=(z0,z1,…,zn+2)∈Rn+3

定義

Y=ρ(1,x)

記

Yi:=Ei(Y),E:=(H,Hx+en+1)

其中en+1為x在Sn+1中的單位法向量場(chǎng).

在文[2]中，已得到下列結(jié)構(gòu)方程:

定義Bij的協(xié)變導(dǎo)數(shù)如下:

則有

Bij,k-Bik,j=δijCk-δikCj[2]

2 定理的證明

2.1 維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面的主曲率的討論

引理1 設(shè)x:Mn→Sn+1(n≥4)是共形平坦超曲面，則M具有兩個(gè)不同的主曲率.

證明：由Mn為共形平坦超曲面知

(1)

共形幾何的高斯方程為

(2)

在(2)式中，令j=l求和可得

(3)

在(3)式中，令i=k求和可得

(4)

由(3)、(4)式可得：

(5)

因?yàn)?/p>

(6)

所以將(1)、(2)、(5)式代入(6)式可得：

在一點(diǎn)p∈M處，取Ei,使Bij=λiδij,Bij=0(i≠j),令i=k,j=l,i≠j,則上式可化為

當(dāng)n≥4時(shí)，若λi、λj、λk、λl為主曲率,則可得如下方程組

利用上面的方程組經(jīng)計(jì)算可得M的Moebius第二基本形式至多有兩個(gè)不同的主曲率，又由x無(wú)臍點(diǎn)，則至少有兩個(gè)不同的主曲率，故只有兩個(gè)不同的主曲率.

引理2 設(shè)x:Mn→Sn+1(n≥3)是具有兩個(gè)不同主曲率的超曲面，則x具有兩個(gè)不同的常Moebius主曲率，分別為

其中k為λ的重?cái)?shù).

證明： 由

可得

由λ、μ都是關(guān)于點(diǎn)p連續(xù)函數(shù)，若在不同點(diǎn)的主曲率的重?cái)?shù)不同，則λ、μ就不是連續(xù)函數(shù)，故k是不變的常數(shù).解上面的方程組可得

設(shè)B的兩個(gè)不同的特征值分別為λ、μ,其重?cái)?shù)分別為k、n-k.記V1(p)為在點(diǎn)p處對(duì)應(yīng)于λ的特征子空間，V2(p)為在點(diǎn)p處對(duì)應(yīng)于μ的特征子空間，則可定義M上的兩個(gè)分布

⊕V2

V1=span{E1,……,Ek},V2=span{Ek+1,……,En}

設(shè)

1≤a,b,…≤k;k+1≤α,β,…≤n;2≤α',β′,…≤n

則在此標(biāo)架場(chǎng)下,有

Baj=λδaj,Bαj=μδαj

同理可得

由

Bij,k-Bik,j=δijCk-δikCj

可得

Baj,b-Bab,j=δajCb-δabCj,Baα,b-Bab,α=δaαCb-δabCα

從而有

因?yàn)?/p>

所以

-(n-1)Cα=-kCα

Cα=0或k=n-1

同理可得:

Ca=0或k=1

由

Baα,b=-δabCα,Baα,β=-δαβCa

可得

2.2 維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面的幾何解釋

(i)當(dāng)λ、μ的重?cái)?shù)都不為1時(shí)，有Ca=Cα=0,故θaα=0.下設(shè)λ的重?cái)?shù)為k(k≠1),μ的重?cái)?shù)為n-k(n-k≠1),設(shè)

V1=span{E1,……,Ek},V2=span{Ek+1,……,En}

則

dimV1=k, dimV2=n-k,TpM=V1(p)⊕V2(p),V1⊥V2

分布V1、V2可積.事實(shí)上

有Pfaff方程

θa=0,θα=0

由

和Frobenius定理知分布V1、V2可積.設(shè)V1、V2的積流形分別為L(zhǎng)k、Nn-k,?p∈M,?U(p)?M使得U(p)=Lk×Nn-k是黎曼積,設(shè)Lk上的局部坐標(biāo)為ua,Nn-k上的局部坐標(biāo)為vα,則U上的局部坐標(biāo)為(u1,u2,…,uk,vk+1,vk+2,…,vn),則

TqU=TuaL⊕TvαN,q∈(ua,vα)

類(lèi)比歐氏空間的主曲率球，構(gòu)造如下的Moebius主曲率球:

Pμ=E+μY

則經(jīng)計(jì)算可得

故有

Eβ(Pμ)=0

即Pμ是k參數(shù)的.故當(dāng)C=0且λ、μ的重?cái)?shù)都不為1時(shí)，共形平坦超曲面Mn(n≥4)是Dupin超曲面，也是k參數(shù)Moebius主曲率球E+μY的包絡(luò)，文[3]中對(duì)Dupin超曲面進(jìn)行了具體的討論.

(ii) 當(dāng)λ、μ的重?cái)?shù)有一個(gè)為1時(shí)，假設(shè)λ的重?cái)?shù)k為1，此時(shí)有Cα′=0[4].設(shè)

V1=span{E1},V2=span{E2,……,En}

則

dimV1=1, dimV2=n-1,TpM=V1(p)⊕V2(p),V1⊥V2

分布V1、V2可積.事實(shí)上:

有Pfaff方程：

θ1=0,θα'=0

經(jīng)計(jì)算可得

利用Frobenius定理知分布V1、V2可積.設(shè)V1的積流形為L(zhǎng),V2的積流形為Nn-1,?p∈M,?U(p)?Mn,使得U(p)=L×Nn-1,設(shè)L上的局部坐標(biāo)為u,Nn-1上局部坐標(biāo)為vα',則U上的局部坐標(biāo)為(u,v2,v3,…,vn),則

TqU=TuL⊕Tvα'N,q∈(u,vα′)

令

Pμ=E+μY

為Moebius主曲率球,經(jīng)計(jì)算可得

dPμ=dE+μdY=(μ-λ)θ1Y1-C1θ1Y

故Eβ′(Pμ)=0,即Pμ是單參數(shù)的.故當(dāng)λ、μ的重?cái)?shù)有一個(gè)為1時(shí),共形平坦超曲面Mn(n≥4)是單參數(shù)Moebius主曲率球E+μY的包絡(luò).

綜上，維數(shù)大于等于4的共形平坦超曲面是一族Moebius主曲率球E+μY的包絡(luò).

[1] éLIEJOSEPHCARTAN.Ladéformationdeshypersurfacesdansléspaceconformeréelàn≥5dimensions[J].Bull.Soc.Math.France,1917,45:57-121.

[2]WANGCHANGPING.M?biusgeometryofsubmanifoldsinSn[J].ManuscriptaMath.,1998,96(4):517-534.

[3]LIHAIZHONG,LIUHUILI,WANGCHANGPING.MoebiusisoparametricHypersurfacesinSn+1withtwoprincipalcurvatures[J].ActaMath.Sinica,EnglishSeries,2002,18(3):437-446.

[4]LINLIMIAO,GUOZHEN.ClassificationofhypersurfaceswithtwodistinctprincipalcurvaturesandclosedMoebiusforminSm+1[J].ScienceChinaMath.,2012,55(7):1463-1478.

New Proof of the E.Cartan Theorem

LI Hong, LI Yi-bin， GUO Zhen

(School of Mathematics,Yunnan Normal University,Kunming 650500,China)

Cartan proved the famous theorem that any conformally flat hypersurface with dimension great than or equal to four is envelope of a 1-parameter family of spheres.In this paper,using the Moebius geometric method to prove this theorem.

Moebius geometry; Conformally flat; Moebius principal curvature

2015-04-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11161056).

李 虹(1990-)，女，云南曲靖人，碩士，主要從事微分幾何研究.E-mail：15198766747@163.com.

郭 震(1956-)，男，教授，主要從事微分幾何研究.E-mail：gzh2001y@yahoo.com.

O186.13

A

1007-9793(2015)04-0028-06