李廣印， 孫云平, 賈納豫

(1.云南師范大學 信息學院,云南 昆明 650092;2.玉溪師范學院 信息技術(shù)工程學院,云南 玉溪 653100)

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一類控制方向未知不確定性系統(tǒng)的自適應(yīng)迭代學習控制*

李廣印1， 孫云平1, 賈納豫2

(1.云南師范大學 信息學院,云南 昆明 650092;2.玉溪師范學院 信息技術(shù)工程學院,云南 玉溪 653100)

采用了一種自適應(yīng)迭代學習的控制方法,對于一類含有未知控制方向以及參數(shù)化和非參數(shù)化不確定性系統(tǒng)進行了研究.結(jié)合連續(xù)的Nussbaum增益技術(shù),很好地處理了系統(tǒng)中控制方向未知的問題.在滿足局部Lipschitz連續(xù)條件下,非參數(shù)化不確定性可以得到有效的解決.通過構(gòu)造微分-差分耦合參數(shù)自適應(yīng)律,提出一種自適應(yīng)迭代學習控制方案,保證系統(tǒng)跟蹤誤差沿迭代軸方向漸進收斂于零.基于一個構(gòu)造的Lyapunov泛函,給出閉環(huán)系統(tǒng)收斂的一個充分條件.實例仿真結(jié)果驗證了設(shè)計方法是有效的.

不確定性系統(tǒng);Nussbaum增益;未知控制方向;局部Lipschitz連續(xù);Lyapunov泛函

1 引 言

迭代學習控制(ILC)能夠高效的處理在一個有限的時間區(qū)間上的各種控制跟蹤以及周期擾動問題,它的基本思想是基于前一次操作的錯誤信號來修正當前的控制輸入,以此達到提高響應(yīng)質(zhì)量的效果[1-2].對于迭代學習控制的研究還存在如下問題.

一是關(guān)于系統(tǒng)的初始條件問題.系統(tǒng)初始條件可分為相同的初始條件和對接條件兩種情況.在迭代學習控制中相同的初始條件要求在每一個迭代過程有相同的初始狀態(tài),而對接條件則將上一次迭代的結(jié)束狀態(tài)作為當前迭代的初始狀態(tài),同樣要求參考目標在每一次迭代過程當中的初始狀態(tài)參數(shù)等于末尾狀態(tài)參數(shù).基于壓縮映射的迭代學習控制,要求相同的初始條件是非常有必要的[4],其本質(zhì)上是為了能夠產(chǎn)生一個能夠收斂到某一個固定點的序列，但是在實際應(yīng)用中要求比較完美的重置效果,實現(xiàn)起來還是比較困難的.初始條件存在細微的誤差就有可能導致系統(tǒng)跟蹤誤差的發(fā)散[1].為了削弱系統(tǒng)的限制條件進行了大量的嘗試工作,對接條件在實際應(yīng)用當中好像表現(xiàn)得更為出色.文獻[1,3]針對一類一階參數(shù)化迭代學習控制系統(tǒng),利用Lyapunov技術(shù)[4],基于五種不同的初始條件進行了討論.文獻[5]基于對接條件對自適應(yīng)迭代學習控制進行了探究.

二是控制方向未知的問題.控制方向在系統(tǒng)的設(shè)計過程起著關(guān)鍵性的作用.在許多事實結(jié)果當中,都會做一個很有必要的控制方向已知的假設(shè),為了不失一般性,然后繼續(xù)假設(shè)方向為正的情況.然而,在一些特殊情況下,很難根據(jù)物理意義判別系統(tǒng)的控制方向.現(xiàn)在Nussbaum增益技術(shù)是解決控制方向未知問題的一種常用方法[6-8].

怎樣處理系統(tǒng)的不確定性是第三個問題.系統(tǒng)不確定性一般都假設(shè)能夠參數(shù)化[9-10],系統(tǒng)不確定性的結(jié)構(gòu)是知道的,但是只能對一些未知常參數(shù)或未知周期時變的參數(shù)進行適當?shù)膮?shù)化.所以,基于參數(shù)化的迭代學習控制方法的分析以及性能都依賴于上述假設(shè),當參數(shù)化假設(shè)不滿足時,這種方法就會不起作用[11].但是,還沒有涉及雙線性耦合參數(shù)的參數(shù)化問題.本文設(shè)計了一種自適應(yīng)迭代學習控制方案,基于對接條件,對于含有未知控制方向以及參數(shù)化和非參數(shù)化不確定性系統(tǒng)進行了討論.通過設(shè)計的自適應(yīng)控制策略,使得跟蹤誤差沿迭代軸方向漸進趨于零.然后利用構(gòu)造的一個Lyapunov泛函,給出閉環(huán)系統(tǒng)收斂的一個充分條件.數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所設(shè)計方法是有效的.

2 問題描述

考慮下列非線性不確定系統(tǒng)：

(1)

其中i是迭代次數(shù),t∈[0,T],T是一個已知大于零的常數(shù).xi=[x1,i,x2,i]T∈R2為可測的系統(tǒng)的狀態(tài)向量,ui(t)∈R為系統(tǒng)的控制輸入,?(t)∈R為連續(xù)未知的時變參數(shù),θ∈R為未知的常參數(shù),ξ(xi,t)∈R為已知的連續(xù)非線性函數(shù),f(xi,t)為一個未知非線性函數(shù).b≠0為一個符號及值均未知的常參數(shù),b的符號決定系統(tǒng)的控制方向.

對于給定的參考信號xd(t)∈R2，有：

(2)

其中xd=[xd,1,xd,2]T∈R2,s(xd,t)是一個已知的光滑函數(shù),xd(0)是參考信號的初值.

假設(shè)1θ是一個未知常參數(shù),但是符號已知,可以設(shè)定θ>0.

假設(shè)2xi(0)=xi-1(T)，xd(0)=xd(T).

假設(shè)3f(x,t)是非線性函數(shù),滿足局部李普希茨連續(xù)條件,即

定義1ν(·)是一個光滑的Nussbaum函數(shù),具有以下特點:

(3)

引理V(·)和k(·)是定義在區(qū)間[0,tf]上的光滑函數(shù),?t∈[0,tf],V(t)≥0，ν(·)是一偶的光滑的Nussbaum類型函數(shù),b≠0是一個已知的常數(shù),如果下列不等式成立:

(4)

3 自適應(yīng)迭代學習控制設(shè)計

對于?t∈[0,T],跟蹤誤差動態(tài)方程如下

(5)

ATP+PA=-Q

(6)

因此,對?w∈R2,不等式-wTQw≤-λQ‖w‖2都成立,其中λQ是矩陣Q的最小特征值.

定義Lyapunov函數(shù)

(7)

對(7)式中的V1,i(t)求導得

(8)

根據(jù)假設(shè)3,利用Young's 不等式,可得

(9)

將(9)式代入(8)式得

(10)

構(gòu)造的第i次迭代的學習控制律如下:

(11)

時變參數(shù)?(t)的學習律為:

(12)

時不變參數(shù)θ的學習律為:

(13)

投影函數(shù)proj(·)定義為:

(14)

證明 首先證明第一個式子.

(15)

由(12)式可得

(16)

4 收斂性分析

證明 構(gòu)造的Lyapunov泛函為

(17)

對任意t∈[0,T],Vi(t)在區(qū)間[0,T]上的差分為

(18)

根據(jù)(10)式,計算(18)式右邊第一項,得

(19)

(20)

根據(jù)參數(shù)學習律(13)式,計算(18)式右邊第四項,得

(21)

把(19)、(20)和(21)式分別代入(18)式

(22)

(23)

重復利用(23)式可以得到

(24)

(25)

可以進一步得到Vi(t)的導數(shù)為

(26)

從而求得

(27)

定義E(t+(i-1)T)=Vi(t),對任意?t∈[0,T].由(25)式和(27)式得

(28)

當i→,可以得到

(29)

下面證明V0(T)的有界性

(30)

(31)

(32)

因為?(t)在區(qū)間[0,T]上連續(xù),所以?(t)在區(qū)間[0,T]上有界,又因為θ是未知常數(shù),所以存在如下有限正常數(shù)

(33)

將(33)式代入(32)式

V0(0)=M1+M2+M3<

(34)

5 仿真例子

考慮如下時變系統(tǒng)

(35)

目標軌線

(36)

情況1 當b>0時,取b=4,最大跟蹤誤差|ei|sup的曲線如圖1所示,Nussbaum增益函數(shù)ν(·)的曲線如圖2所示,時變參數(shù)?(t)的估計曲線如圖3所示,時不變參數(shù)θ的估計曲線如圖4所示,控制律ui(t)的曲線如圖5所示.

情況2 當b<0時,取b=-4,最大跟蹤誤差|ei|sup的曲線如圖6所示,Nussbaum增益函數(shù)ν(·)的曲線如圖7所示,時變參數(shù)?(t)的估計曲線如圖8所示,時不變參數(shù)θ的估計曲線如圖9所示,控制律ui(t)的曲線如圖10所示.

圖1 最大跟蹤誤差的曲線 圖2 Nussbaum-type函數(shù)的曲線

圖3 時變參數(shù)?(t)的估計曲線 圖4 時不變參數(shù)θ的估計曲線

圖5 控制器ui(t) 圖6 最大跟蹤誤差的曲線

圖7 Nussbaum-type函數(shù)的曲線 圖8時變參數(shù)?(t)的估計曲線

圖9 時不變參數(shù)θ的估計曲線 圖10 控制器ui(t)

6 結(jié) 論

基于對接條件,對于含有未知控制方向以及參數(shù)化和非參數(shù)化不確定性系統(tǒng),提出了一種自適應(yīng)迭代學習的控制方法.利用Nussbaum增益技術(shù),使得系統(tǒng)控制方向未知的問題得到處理.雙線性耦合參數(shù)的參數(shù)化問題的解決得益于構(gòu)造的微分-差分耦合參數(shù)自適應(yīng)律.系統(tǒng)的非參數(shù)化不確定性輸入增益通過滿足局部Lipschitz連續(xù)條件也得到了很好的處理.最后在設(shè)計的自適應(yīng)迭代學習的控制方案下,使得系統(tǒng)的跟蹤誤差沿著迭代軸的方向逐漸趨向于零.基于構(gòu)造的一個Lyapunov泛函,給出了閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號有界的一個充分條件.實例數(shù)值仿真結(jié)果驗證了該方法是有效的.

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Adaptive Iterative Learning Control for a Class of Uncertain Systems with Unknown Control Direction

LI Guang-yin1, SUN Yun-ping1, JIA Na-yu2

(1.School of information,Yunnan Normal University,Kunming 650092,China；2.School of Information Technology and Engineering,Yuxi Normal University,Yuxi 653100,China)

A method of adaptive iterative learning control is searched for a class of uncertain systems with unknown control direction and both parametric and non-parametric uncertainties.A technique of the continuous Nussbaum gain is incorporated into the control design to counteract the lack of a priori knowledge of the control direction which determines the motion direction of the system under any input.Nonparametric uncertainties satisfying local Lipschitz continuous condition can be effectively handled. A new adaptive iterative learning control mechanism is constructed with both differential and difference updating laws to guarantee the asymptotic convergence of the system tracking error sequence along the iteration axis. Based on a constructed Lyapunov functional,a sufficient condition of the convergence of the closed-loop system is given.The simulation result shows the effectiveness of the proposed method.

Uncertain systems; Nussbaum gain; Unknown control direction; Local Lipschitz continuous; Lyapunov functional

2014-11-15

國家自然科學基金資助項目(61164017)；云南省科技廳基金資助項目(2010ZC069)；云南省教育廳基金資助項目(2010Y006，2014Y412).

李廣印(1989-),男, 河南安陽人，碩士研究生,主要從事自適應(yīng)控制與學習控制方面研究.

孫云平.E-mail:sunypxd@163.com.

TP13

A

1007-9793(2015)04-0019-09