近年來的高考越來越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，函數(shù)的零點(diǎn)問題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它主要涉及到基本初等函數(shù)的圖象，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問題，其形式逐漸多樣化，但都與初等函數(shù)圖像變換、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可分。

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點(diǎn)。即：方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。圍繞三者之間的關(guān)系，在高考數(shù)學(xué)中函數(shù)零點(diǎn)的題型主要①函數(shù)的零點(diǎn)的分布；②函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；③利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖像的變動(dòng)將兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。下面我就以這幾個(gè)月的福建省各地市質(zhì)檢試題為例加以剖析：

類型一：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

題1：（2014年一月廈門市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第6題：）

6.設(shè)函數(shù)則函數(shù)y=f（x）-（x2+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題答案B。

題2：（2014年一月泉州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第10題：）

10.設(shè)函數(shù)則函數(shù)y=f [f （x）]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題答案B。

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)圖像三者之間的關(guān)系：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。我們可將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。通常會(huì)結(jié)合函數(shù)性質(zhì)如周期對(duì)稱軸等考一些圖像的平移，對(duì)稱等變換，或是函數(shù)的嵌套，常規(guī)題目學(xué)生解起來并不太困難，如題1與題2；但遇到題3，學(xué)生就非常吃力了，最后基本都求不出正確解答.為什么題1題2會(huì)，而題3不會(huì)呢？請(qǐng)看題3的分析：

題3：（2014年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第9題：）

9.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）= f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，其圖像是四分之一圓（如圖所示）則函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.5 B.4 C.3 D.2

本題應(yīng)將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為y=|xex|與y=f（x）

兩函數(shù)圖像交點(diǎn)問題。學(xué)生在畫y=f（x）的圖像時(shí)

基本能利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到x∈[-1，0]時(shí)的圖像，

再利用f（2-x）=f（x）得到函數(shù)周期為2，或函數(shù)對(duì)稱軸方程為x=1；

進(jìn)而得出x∈[-3，-1]時(shí)的圖像（如下圖）

但學(xué)生在畫y=|xex|的圖像時(shí)也遇到上題中判斷函數(shù)極限的問題。

對(duì)于函數(shù)y=xex，g（x）=y=xex，則g′（x）=（1+x）ex；

當(dāng)x<-1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>-1時(shí)，g′（x）>0；

當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；

但它的圖像不是二次型的左減右增，而是x→-∞時(shí)，因?yàn)閑x>0，x<0于是g（x）=xex<0；g（x）→0；

而對(duì)于函數(shù)y=|xex|，將函數(shù)y=xex的圖像x軸下方的部分沿著x軸翻折到x軸上方，其大致圖像如右上圖，再把兩個(gè)圖像放到同一坐標(biāo)系中，如右圖，即可得出本題答案B.

但g（x）→0是為什么學(xué)生依然不理解，主要是因?yàn)檫@里遇到了0乘∞的極限的問題。

若沒注意x→-∞時(shí)，g（x）=xex<0；而只考慮單調(diào)性把函數(shù)圖像錯(cuò)畫成x→-∞時(shí)，g（x）→+∞的類型，或沒注意x=-1時(shí)，|g（-1）|=e-1<1；則本題就會(huì)錯(cuò)選為別的答案。

類型三：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的分布綜合問題

題1：：（2014年1月廈門市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第14題：）

14.已知函數(shù)f（x）=ex-x2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），y=f（x）與y=f′（x）在同一直角坐標(biāo)系下的部分圖像如圖所示，若方程f′（x）-f（a）=0在x∈（-∞，a|上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

答案：a≥ 2

本題學(xué)生主要遇到的問題是考試時(shí)因?yàn)榫o張而不會(huì)利用題中和所給的信息來判斷y=f（x）與y=f′（x）的圖形分別是哪個(gè)，再利用圖形信息將方程的根轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后錯(cuò)失了解題時(shí)機(jī)。但講評(píng)時(shí)學(xué)生還是接受得較好的。

題2：（2014年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第10題：）

10.已知方程|log2（x-1）|-（）x=0的兩個(gè)根為x1和x2（x1

A.b≤3 B.b

C.b=a D.b>a

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)圖像三者之間的關(guān)系：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。我們可將上述方程的根轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由上述方法我們可將方程轉(zhuǎn)化成log2（x-1）=（）x的解的個(gè)數(shù)，令h（x）=log2（x-1），g（x）=（）x，從而將原題轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=h（x），y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示：解本題時(shí)，部分教師和學(xué)生會(huì)走入一些死胡同：

錯(cuò)解1：由圖可知，原方程的2個(gè)解x1、x2（x12，想用不等式性質(zhì)接著求出x1+x2和x1x2的范圍；

錯(cuò)解2：又想到x1、x2應(yīng)為f′（x）=x2-ax+b的兩個(gè)根，則得到，接下來想通過這兩不等式的變換得出a，b的大小。這兩種方法都是不可行的，主要是因?yàn)樗鼈兌己雎粤撕瘮?shù)圖像告訴我們的重要特征——單調(diào)性。

正解：想到x1、x2應(yīng)為f′（x）=x2-ax+b的兩個(gè)根，則得到x1+x2=a，x1x2=b，要比較a，b的大小，用12，這個(gè)條件是不夠的。而應(yīng)該從圖像的單調(diào)性出發(fā)，這題將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)到了極致，令人大呼過癮。接著請(qǐng)看下一題：

題3：（2014年一月泉州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第20題：）

20.已知函數(shù)f（x）=ex（x2+mx+1-2m），其中m∈R，

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求證：對(duì)任意m∈R，函數(shù)y=f（x）的圖像在點(diǎn)（0，f（0））處的切線恒過定點(diǎn)；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m的值，使得函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出實(shí)數(shù)m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。

本題主要考察導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，第一二小題學(xué)生解決得很順利，但在做第三小題時(shí)普遍束手無策，不會(huì)做。

現(xiàn)摘錄部分解答如下：

（3）解法1：f′（x）=ex[x2+（m+2）x+（1-m]

令y1=x2+mx+（1-2m），

y2=x2+（m+2）x+（1-m）

Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4，

Δ2=（m+2）2-4（1-m）=m2+8m

①當(dāng)Δ2≤0即-8≤m≤0時(shí)，y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0

∴y2=x2+（m+2）x+（1-m）≥0

∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增

∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值。

②當(dāng)Δ2>0即m<-8或m>0時(shí)，設(shè)方程x2+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x1，x2，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）>0，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞

要使函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿足f（x2）≤0即y1≤0有解，∴Δ1=m2-4（1-2m）=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2或m≥-4+2

綜上可得，m≤-4-2或m≥-4+ 2

請(qǐng)注意上面解答中畫橫線的部分。講評(píng)時(shí)，我們可能很容易理解“x→-∞時(shí)，f（x）>0，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞”這句話，但因?yàn)楦咧须A段對(duì)極限的要求很低，課時(shí)很少，學(xué)生并不能理解這里極限部分的內(nèi)容，如有部分學(xué)生就對(duì)這一部分解答提出了自己的疑慮：“老師，x→-∞時(shí)，因?yàn)閑x>0，x2+（m+2）x+1-m于是f（x）>0；但f（x）→0是為什么呢？如果：x→-∞時(shí)，f（x）>0，但f（x）不趨向于0，而是趨向于某一個(gè)正數(shù)，那不是只要極小值比這個(gè)正數(shù)小就存在最小值了嗎？ （如下圖）”

這里主要還是遇到了0乘∞的極限的問題，學(xué)生并不能理解。

題4：：（2014年3月泉州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷第10題：）

10.如圖，對(duì)于曲線所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角α，使得α≥∠AOB對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B恒成立，則稱角為曲線相對(duì)于點(diǎn)O的“屆角”，并稱其中最小的“界角”為曲線相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”。已知曲線C：（其中e =2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線C相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為（）

A. B. C. D.

這個(gè)新定義題里還是有涉及切線和漸近線，學(xué)生仍然是止步于極限的問題，真正理解題意，掌握極限的思想后，本題不難得出答案A。

大多數(shù)學(xué)生對(duì)極限的認(rèn)識(shí)都是很有限的，很難理解無限觀念；他們對(duì)極限的理解只是表面的，沒有抓住極限的本質(zhì)；一部分原因是因?yàn)榇蠖鄬W(xué)生抽象思維能力欠缺，只憑主觀意愿做猜測(cè)難題答案，但更重要的是他們對(duì)現(xiàn)實(shí)中極限的認(rèn)識(shí)往往有很大的局限，根本無法理解作為穩(wěn)定值存在的極限。其實(shí)就算是數(shù)學(xué)家們對(duì)極限的認(rèn)識(shí)也不是一蹴而就的，而是有一個(gè)曲折的、漸進(jìn)的形成過程?！墩n標(biāo)》對(duì)微積分初步做了較大篇幅的調(diào)整。在結(jié)構(gòu)編排上做了很大的變化，將以往的完整“縮編”結(jié)構(gòu)（數(shù)列→數(shù)列極限→函數(shù)極限→函數(shù)連續(xù)→導(dǎo)數(shù)→微分→導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用→不定積分→定積分）變?yōu)閺膶?dǎo)數(shù)開始以直觀的形式引出微積分，刪除了極限的形式化定義，著重學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)。