[摘 要]新課程用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，提升了單位圓、三角函數(shù)線的地位，三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法體系也發(fā)生了一些變化，利用單位圓本身直觀、形象、準(zhǔn)確、方便等特點(diǎn)，再結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路清晰，方法明確。探究它在新課程三角函數(shù)公式推導(dǎo)和性質(zhì)中的應(yīng)用及解題中的應(yīng)用，這樣不但能使學(xué)生掌握用單位圓解題的方法，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵字：?jiǎn)挝粓A；三角函數(shù)；應(yīng)用

一、引言

新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自習(xí)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動(dòng)，不但能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，而且可以大大減少課堂的教學(xué)時(shí)間。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)充分挖掘教材的問題背景，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主探索等學(xué)習(xí)習(xí)慣?；谶@種目的，在新課改下，我們可以將三角函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)統(tǒng)一在單位圓與三角函數(shù)線之下，利用數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生理解知識(shí)的來龍去脈、推導(dǎo)過程，最主要的是使學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看三角函數(shù)，研究三角函數(shù)的定義、公式、圖象與性質(zhì)，明白如何用單位圓與三角函數(shù)線研究問題，動(dòng)態(tài)地分析問題和解決問題。

二、單位圓的認(rèn)識(shí)

單位圓是新課標(biāo)里剛引進(jìn)的新概念，學(xué)生受老教材的影響對(duì)單位圓的認(rèn)識(shí)很模糊，為了讓學(xué)生能很好的利用單位圓解決三角函數(shù)問題，筆者認(rèn)為首先要了解單位圓的概念、為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)及用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的意義。

（一）單位圓的定義

所謂單位圓，就是在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓。

（二）為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)

用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)：

（1）利用單位圓定義了三角函數(shù)，而且圓具有很好的對(duì)稱性。

（2）簡(jiǎn)單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性。

（3）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！皢挝粓A定義法”以單位圓為載體，自變量a的三角函數(shù)值與x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。

（三）用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的意義

用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，除了考慮到使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性，為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)外，主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)。

三、單位圓在公式推導(dǎo)和性質(zhì)中的應(yīng)用

（一）“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”公式推導(dǎo)中的應(yīng)用

在單位圓中構(gòu)造出以任意角的正弦線、余弦線為直角邊的直角三角形，如2，公式推導(dǎo)：關(guān)系式一“”，即中的勾股“”。關(guān)系式二“”，即相似三角形比式“”。

（二）在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中的應(yīng)用

單位圓具有很好的對(duì)稱性，通過對(duì)單位圓上對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系來探究推出誘導(dǎo)公式。角π∠AOP1的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1（x，y），知角π∠AOP1的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P2（-x，-y），推出誘導(dǎo)公式（二）：sin（π+∠XOP1）=-sin∠XOP1；cos（ ∠XOP1）=-cos∠XOP1；tan（π+∠XOP1）= tan∠XOP1.角∠XOP2的終邊與角∠XOP1的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，由角∠XOP1的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1（x，y），知角∠XOP2的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P2（x，-y），推出誘導(dǎo)公式（三）：sin（∠XOP2）=-sin XOP1； cos（∠XOP2）= cos XOP1；tan（∠XOP2）=-tan XOP1.

四、單位圓和三角函數(shù)線在解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，引入了三角函數(shù)線，使三角函數(shù)具有了鮮明的幾何特征。單位圓結(jié)合三角函數(shù)線，是研究三角函數(shù)一種數(shù)形結(jié)合的工具，若能恰當(dāng)?shù)乩盟?，往往能使問題解決顯得直觀、新穎，過程簡(jiǎn)捷明了，以下簡(jiǎn)要介紹它們的具體應(yīng)用。

（一）利用單位圓定義三角函數(shù)來求三角函數(shù)值

例1、求的正弦、余弦和正切值。

解：在直角坐標(biāo)系中，作∠AO B=，則∠AO B的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（，）.

∴ sin=，cos=，tan=

方法總結(jié)：先求出這個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定義求解。

（二）利用單位圓中的三角函數(shù)線解三角函數(shù)不等式

數(shù)形結(jié)合的“形”不僅僅是指三角函數(shù)圖象，三角函數(shù)線有時(shí)比圖象能更好的解決問題.

例：利用單位圓解不等式3tanα+>0 。

解：要使3tanα+>0，即要tanα>-，由正切線可知，k ∈Z.

∴ 不等式的解集為

五、結(jié)語

通過以上總結(jié)單位圓在三角函數(shù)中的具體應(yīng)用，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步感受到用單位圓解題的簡(jiǎn)捷、直觀、巧妙，因此，我們務(wù)必充分理解掌握單位圓的定義以及應(yīng)用，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊.這樣不但能使學(xué)生掌握用單位圓解題的方法，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。